应用时间序列分析习题答案

第二章习题答案

2.1

（1）非平稳

（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376

（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图

2.2

（1）非平稳，时序图如下

（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图

2.3

（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.094 0.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.066 0.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118

（2）平稳序列

（3）白噪声序列

2.4

，序列LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平=0.05

不能视为纯随机序列。

2.5

（1）时序图与样本自相关图如下

（2） 非平稳

（3）非纯随机

2.6

（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)）

（2）差分序列平稳，非纯随机

第三章习题答案

3.1 解：1()0.7()()t t t E x E x E ε-=?+

0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01(

t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221 +++=-=- 229608.149

.011)(εεσσ=-=t x Var 49.00212==ρφρ 022=φ

3.2 解：对于AR （2）模型：

???=+=+==+=+=-3.05.021102112

12112011φρφρφρφρρφφρφρφρ 解得：???==15

/115/721φφ 3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=t x E 原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.0

111212230.5=0.5+(0.5)(0.5)+0.5t t t t t t x x μεθεθθεθε------+--，

与123=10+0.5+0.8+t t t t t x x C εεε----对照系数得

12120.510,0.500.50.80.5C

μθθθθ=??+=??-=??=?，故1

220,0.5,0.55,0.275C μθθ=??=-??=?

?=?。

解法2：将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为

()23

23223310.82010.510.8(10.50.50.5)t t

t

B CB x B

B CB B B B εε-+-=-=-+++++

展开等号右边的多项式，整理为

2233

4423243

4

10.50.50.50.50.80.80.50.80.50.5B B B B B B B CB CB +++++

--?-?-

++

+

合并同类项，原模型等价表达为

2

330

20[10.50.550.5(0.50.4)]k k t t k x B B C B ε∞

+=-=+-+-+∑

当30.50.40C -+=时，该模型为(2)MA 模型，解出0.275C =。 3.9解：：0)(=t x E

22222

165.1)1()(εεσσθθ=++=t x Var

5939.065.198

.012

2

212111-=-=+++-=

θθθθθρ 2424.065

.14.01222122==++-=

θθθρ 30≥=k k ，ρ。

3.10解法1：（1）)(21 +++=--t t t t C x εεε

)(3211 +++=----t t t t C x εεε

11111)1(------++=??

?

??+-+=t t t t t t t t C x C x C x εεεεε

即 t t B C x B ε])1(1[)1(--=-

显然模型的AR 部分的特征根是1，模型非平稳。

（2） 11)1(---+=-=t t t t t C x x y εε为MA(1)模型，平稳。 2

21122111+--=+-=C C C θθρ 解法2：（1）因为22()lim(1)t k Var x kC εσ→∞=+=∞，所以该序列为非平稳序列。

（2）11(1)t t t t t y x x C εε--=-=+-，该序列均值、方差为常数，

()0t E y =,22()1(1)t Var y C εσ??=+-??

自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关 121,0,21(1)k C k C ρρ-==≥+-

所以该差分序列为平稳序列。

3.11解：（1）12.1||2>=φ，模型非平稳； =1λ 1.3738 =2λ-0.8736

（2）13.0||2<=φ，18.012<=+φφ，14.112<-=-φφ，模型平稳。 =1λ0.6 =2λ0.5

（3）13.0||2<=θ，16.012<=+θθ，12.112<-=-θθ，模型可逆。 =1λ0.45＋0.2693i =2λ0.45－0.2693i

（4）14.0||2<=θ，19.012<-=+θθ，17.112>=-θθ，模型不可逆。 =1λ0.2569 =2λ-1.5569

（5）17.0||1<=φ，模型平稳；=1λ0.7 16.0||1<=θ，模型可逆；=1λ0.6

（6）15.0||2<=φ，13.012<-=+φφ，13.112>=-φφ，模型非平稳。 =1λ0.4124 =2λ-1.2124

11.1||1>=θ，模型不可逆；=1λ 1.1。

3.12 解法1： 01G =，11010.60.30.3G G φθ=-=-=，

1111110.30.6,2k k k k G G G k φφ---===?≥

所以该模型可以等价表示为：10

0.30.6k

t t t k k x εε

∞

--==+

?∑。

解法2：t t B x B ε)3.01()6.01(-=-

t t B B B x ε)6.06.01)(3.01(22 +++-= t B B B ε)6.0*3.06.0*3.03.01(322 ++++= j t j j t -∞

=-∑+=εε116.0*3.0

10=G ，16.0*3.0-=j j G

3.13解：3)()5.01(])(3[])([2

=-?Θ+=Φt t t x E B E x B E ε

12)(=t x E 。

3.14 证明：已知11

2

φ=

，114θ=，根据(1,1)ARMA 模型Green 函数的递推公式得：

01G =，2110110.50.25G G φθφ=-=-=，1111111,2k k k k G G G k φφφ-+-===≥

01ρ=

5

2

23211

1

1

1

22450

11111142422(1)

11112

01

1170.27126111j j

j j j j j

j j G G

G

φφφ

φφφφφρφφφφφ∞

∞

++==∞

∞

+==++

--+=

=

====-+++

-∑∑∑∑

()

1

1

1

1

1122200

,2j

j k

j

j k j

j k j j j k k j

j

j

j j j G G G G

G G

k G

G

G

φρφφρ∞

∞

∞

++-+-===-∞

∞

∞====

=

==≥∑∑∑∑∑∑

3.15 （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）不成立

3.16 解：（1）t t t x x ε+-=--)10(*3.0101， 6.9=T x

88.9])10(*3.010[)()1(?11=+-+==++T T t T x E x E x

ε 964.9])10(*3.010[)()2(?212=+-+==+++T T t T x E x E x

ε 9892.9])10(*3.010[)()3(?323=+-+==+++T T t T x E x E x

ε 已知AR(1)模型的Green 函数为：j j G 1φ=， ，，21=j 121213122130)3(++++++++=++=t t t t t t T G G G e εφεφεεεε 8829.99*)09.03.01()]3([22=++=T e Var 3+t x ％的置信区间：的95[9.9892-1.96*8829.9，9.9892＋1.96*8829.9] 即[3.8275,16.1509]

（2）62.088.95.10)1(?11=-=-=++T T T x

x ε 15.10964.962.0*3.0)()1(?21=+==++t T x E x

045.109892.962.0*09.0)()2(?31=+==++t T x E x

81.99*)3.01()]2([22=+=+T e Var 3+t x ％的置信区间：的95[10.045-1.96×81.9，10.045＋1.96*81.9] 即[3.9061,16.1839]。

3.17 （1）平稳非白噪声序列

（2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

3.18 （1）平稳非白噪声序列

（2）AR(1)

(3) 5年预测结果如下：

3.19 （1）平稳非白噪声序列

（2）MA(1)

(3) 下一年95%的置信区间为（80.41,90.96）

3.20 （1）平稳非白噪声序列

（2）ARMA(1,3)序列

（3）拟合及5年期预测图如下：

第四章习题答案

4.1 解：

11231?()4T T T T T x x x x x +---=+++

211212315551??()416161616

T T T T T T T T T x x x x x x x x x ++-----=+++=+++所以，在2?T x +中T x 与1T x -前面的系数均为516。

4.2 解 由

111(1)(1)t t t t t t x x x x x x αααα-++=+-??=+-?

代入数据得

5.255(1)5.26 5.5(1)t t x x αααα=+-??=+-?

解得

5.10.4(1)t x αα=??=>?

舍去的情况

4.3 解：（1） 21201918171611?(+)13+11+10+10+12=11.255x x x x x x =+++=（） 22212019181711??(+).2+13+11+10+10=11.0455x x x x x x =+++=（11）

（2）利用10.40.6t t t x x x -=+且初始值01x x =进行迭代计算即可。另外，222120??x x x == 该

题详见Excel 。11.79277

（3）在移动平均法下: 19212016

192221201711?55111??555i i i i X X X X X X X ===+=++∑∑

111655525a =+?=

在指数平滑法中:

2221202019??0.40.6x x x x x ===+

0.4b ∴=

60.40.1625b a ∴-=-=。

4.4 解：根据指数平滑的定义有（1）式成立，（1）式等号两边同乘(1)α-有（2）式成立 2323(1)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(2)t t x t t t t x t t t αααααααααααααα=+--+--+--+

-=-+--+--+

（1）-（2）得

22(1)(1)(1)(1)

1t t x

t x t t αααααααααα

=-----

=-----

-=-

则1lim lim 1t t t t x t t αα→∞→∞-??- ?== ? ???。

4.5 该序列为显著的线性递增序列，利用本章的知识点，可以使用线性方程或者holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.6 该序列为显著的非线性递增序列，可以拟合二次型曲线、指数型曲线或其他曲线，也能使用holt 两参数指数平滑法进行趋势拟合和预测，答案不唯一，具体结果略。

4.7 本例在混合模型结构，季节指数求法，趋势拟合方法等处均有多种可选方案，如下做法仅是可选方法之一，结果仅供参考

（1）该序列有显著趋势和周期效应，时序图如下

（2）该序列周期振幅几乎不随着趋势递增而变化，所以尝试使用加法模型拟合该序列：t t t t x T S I =++。（注：如果用乘法模型也可以）

首先求季节指数（没有消除趋势，并不是最精确的季节指数）

0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.116566

1.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179

消除季节影响，得序列t t t y x S x =-，使用线性模型拟合该序列趋势影响（方法不唯一）：

97.70 1.79268t T t =-+，1,2,3,t =

（注：该趋势模型截距无意义，主要是斜率有意义，反映了长期递增速率）

得到残差序列t t t t t I x S x y T =-=-，残差序列基本无显著趋势和周期残留。

预测1971年奶牛的月度产量序列为()

mod 12?,109,110,,120t t t x T S x t =+=

得到 771.5021 739.517 829.4208 849.5468 914.0062 889.7989 839.9249 800.4953 764.9547 772.0807 748.4289 787.3327

（3）该序列使用x11方法得到的趋势拟合为

趋势拟合图为

4.8 这是一个有着曲线趋势,但是有没有固定周期效应的序列,所以可以在快速预测程序中用曲线拟合（stepar ）或曲线指数平滑（expo ）进行预测（trend=3）。具体预测值略。

第五章习题

5.1 拟合差分平稳序列,即随机游走模型 -1=+t t t x x ε,估计下一天的收盘价为289

5.2 拟合模型不唯一，答案仅供参考。

拟合ARIMA(1,1,0)模型，五年预测值为：

5.3 12(1,1,0)(1,1,0)ARIMA ?

5.4 (1)AR(1)， (2)有异方差性。最终拟合的模型为

-12

-1=7.472+=-0.5595+=11.9719+0.4127t t t t t t

t t t

t x v v h e h v εεε??????? 5.5(1)非平稳

（2） 取对数消除方差非齐，对数序列一节差分后，拟合疏系数模型AR(1，3)所以拟合模型为

ln ~((1,3),1,0)x ARIMA

（3）预测结果如下：

5.6 原序列方差非齐，差分序列方差非齐，对数变换后，差分序列方差齐性。

第六章习题

6.1 单位根检验原理略。

例2.1 原序列不平稳，一阶差分后平稳

例2.2 原序列不平稳，一阶与12步差分后平稳

例2.3 原序列带漂移项平稳

例2.4 原序列不带漂移项平稳

例2.5 原序列带漂移项平稳(=0.06)α，或者显著的趋势平稳。

6.2 （1）两序列均为带漂移项平稳

（2）谷物产量为带常数均值的纯随机序列，降雨量可以拟合AR （2）疏系数模型。

（3）两者之间具有协整关系

（4）23.55210.775549t t =+谷物产量降雨量

6.3 （1）掠食者和被掠食者数量都呈现出显著的周期特征，两个序列均为非平稳序列。但是掠食者和被掠食者延迟2阶序列具有协整关系。即-2{-}t t y x β为平稳序列。

（2）被掠食者拟合乘积模型：5(0,1,0)(1,1,0)ARIMA ?,模型口径为:

55

1=1+0.92874t t x B ε?? 拟合掠食者的序列为： -2-1=2.9619+0.283994+-0.47988t t t t y x εε

未来一周的被掠食者预测序列为：

Forecasts for variable x

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 70.7924 49.4194 -26.0678 167.6526

50 123.8358 69.8895 -13.1452 260.8167

51 195.0984 85.5968 27.3317 362.8651

52 291.6376 98.8387 97.9173 485.3579

53 150.0496 110.5050 -66.5363 366.6355

54 63.5621 122.5322 -176.5965 303.7208

55 80.3352 133.4800 -181.2807 341.9511

56 55.5269 143.5955 -225.9151 336.9690

57 73.8673 153.0439 -226.0932 373.8279

58 75.2471 161.9420 -242.1534 392.6475

59 70.0053 189.8525 -302.0987 442.1094

60 120.4639 214.1559 -299.2739 540.2017

61 184.8801 235.9693 -277.6112 647.3714

62 275.8466 255.9302 -225.7674 777.4606

掠食者预测值为：

Forecasts for variable y

Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits

49 32.7697 14.7279 3.9036 61.6358

50 40.1790 16.3381 8.1570 72.2011

51 42.3346 21.8052 -0.4028 85.0721

52 58.2993 25.9832 7.3732 109.2254

53 78.9707 29.5421 21.0692 136.8722

54 106.5963 32.7090 42.4879 170.7047

55 66.4836 35.5936 -3.2787 136.2458

56 41.9681 38.6392 -33.7634 117.6996

57 46.7548 41.4617 -34.5085 128.0182

58 39.7201 44.1038 -46.7218 126.1619

59 44.9342 46.5964 -46.3930 136.2614

60 45.3286 48.9622 -50.6356 141.2928

61 43.8411 56.4739 -66.8456 154.5279

62 58.1725 63.0975 -65.4964 181.8413

6.4 （1）进出口总额序列均不平稳，但对数变换后的一阶差分后序列平稳。所以对这两个序列取对数后进行单个序列拟合和协整检验。

（2）出口序列拟合的模型为ln ~(1,1,0)t x ARIMA ,具体口径为：

1ln =0.14689+1-0.38845t t x B

ε? 进口序列拟合的模型为ln ~(1,1,0)t y ARIMA ,具体口径为：

1ln =0.14672+

1-0.36364t t y B

ε? （3）ln t y 和ln t x 具有协整关系 （4）协整模型为：-1ln =0.99179ln +-0.69938t t t t y x εε

（5）误差修正模型为：-1ln =0.97861ln -0.22395ECM t t t y x ??

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