2013年江西白鹭洲中学高一下期第二次月考数学试卷
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白鹭洲中学高一年级第二次月考数学试卷
时间120分 满分150分 命题:高一数学备课组
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
x21.已知全集U?R,集合A?x2?1,B?xx?3x?4?0, 则A?B? ( )
???? A.xx?0?? B.?xx??1或x?0? C.?xx?4? D.?x?1?x?4?
2.设{an}为等差数列,公差d = -2,Sn为其前n项和.若S10?S11,则a1= ( ) A.18 B.20 C.22 D.24
3.已知?ABC外接圆半径为1,且acosB?bcosA?2,则?ABC是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D. 等腰直角三角形 4.若a?0,b?0,且a?b?4,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.
5.按如下程序框图,若输出结果为170,则判断框内应补充的条件为 ( )
开111122?B.??1 C.ab?2 D.a?b?8 ab2 ab
i?1S?0S?S?2i否i?i?2结果是?输出S
A.i?5 B.i?7 C.i?9 D.i?9 6.欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔
入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3cm的圆,中间有边长为1cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是 ( ) A.
9?494? B. C. D.
4?949?父亲身高x(cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y(cm) 175 175 176 177 177 7.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:
则y对x的线性回归方程为 ( ) A.y?x?1 B.y?x?1 C. y?1x?88 D.y = 176 28.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种 树苗的长势情况,从两块地各随机抽取
x乙和中位数了10株树苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树苗的高度的平均数x甲、y甲、y乙进行比较,下面结论正确的是 ( )
A.x甲?x乙,y甲?y乙 B.x甲?x乙,y甲?y乙 C.x甲?x乙,y甲?y乙 D.x甲?x乙,y甲?y乙
9.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率
分布直方图如下图,由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在4.6到5.0
之间的学生数为b,则a,b的值分别为 ( )
A.0.27, 78 B.0.27, 83 C.2.7, 78 D.2.7, 83
????????OAOB10.如图所示,两个不共线向量,的夹角
为?,M,N分别为OA与OB的中点,点C在
????????????直线MN上,且OC?xOA?yOB(x,y?R),
BMCNA则x?y的最小值为 ( )
22O A.2211 B. C. D. 4282二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.某大型超市销售的乳类商品有四种:纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉,且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测,若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7,则n? .
?log3x,x?0,?12.已知函数f(x)???1?x 那么不等式f(x)?1的解集为 .
???,x?0,??3?
13.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 .
14.设?an?是等比数列,公比q?记Tn?2,Sn为?an?的前n项和,
17Sn?S2n?,n?N.设Tn0为数列?Tn?的最大项,
an?1,则no = ___________.
15.如图所示的螺旋线是用以下方法画成的,?ABC是边长为1的正 三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2 为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈;然后又以A 为圆心,AA3为半径画弧,如此继续下去,这样圈.设所得螺旋线CA1A2A3???A3n?2A3n?1A3n的总
A2画到第n长度为
Sn.则
(1)S1= ; (2)Sn= .
A3CBAA1三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)有编号为A1,A2,…,A10的10个零件,测量其直径(单位:cm),得到下面数据: 编号 A1 A2 1.49 A3 1.49 A4 1.51 A5 1.49 A6 1.51 A7 1.47 A8 1.46 A9 1.53 A10 1.47 直径 1.51 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (Ⅰ)从上述10个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率: (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取2个.
(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2个零件直径相等的概率.
17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足
,a1?1. Sn-Sn?1=Sn+Sn?1(n?2)(1)证明:数列{Sn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式; (2)若bn?11,Tn?b1?b2???bn,求证: Tn?.
anan?12
18.(本小题满分12分)已知A,B,C分别为?ABC的三边a,b,c所对的角,向量
????m?(sinA,sinB),n?(cosB,cosA),且m?n?sin2C. (1)求角C的大小;
???????? (2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且CA?CB?18,求边c的长.
19.(本小题满分12分)
一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号
为n,求n?m?2的概率..
?2)?(6,??)时,20.(本小题满分13分)已知函数f(x)?ax2?a2x?2b?a3,当x?(??,f(x)?0;当x?(?2,6)时,f(x)?0.
(1)求a、b的值; (2)设F(x)??
kf(x)?4(k?1)x?2(6k?1),则当k 取何值时, 函数F(x)的值恒为负数? 4an?1?12ana?2,??n?N??. 21.(本小题满分14分)已知数列?an?中的各项均为正数,且满足1an?1an?1记bn?a?an,数列?bn?的前n项和为xn,且f(xn)?2n(Ⅰ)数列
?bn?和?an?的通项公式;
1xn.2
f?xn?nn?1f?x1?f?x2????L???n?N??. (Ⅱ)求证:
2f?x2?f?x3?f?xn?1?2
白鹭洲中学高一年级第二次月考数学参考答案及评分标准
1.C 2.B 3.B 4. D 5.D 6.D 7.C 8.B 9.A 10.B 11. 20 .12. .13. .
14._____4 ______. 15.(1)S1= 4? ;(2)Sn= n?3n?1?? 16.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有6个.设“从10个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件A, 则P(A)=
63=. ……………………4分 105 (Ⅱ)(i)解:一等品零件的编号为A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这6个一等品零件中随机抽取2
个,所有可能的结果有:
?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,A4?,?A1,A5?,?A1,A6?,?A2,A3?,?A2,A4?,?A2,A5?,
?A2,A6?,?A3,A4?,?A3,A5?,?A3,A6?,?A4,A5?,?A4,A6?,?A5,A6? 共有15种.……8分
(ii)解:“从一等品零件中,随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有:?A1,A4?,?A1,A6?,?A4,A6?,?A2,A3?,?A2,A5?,?A3,A5?,共有6种.
所以P(B)=
62? .……………………12 分 155
17.(本小题满分12分) 解:(1?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2? ?易知Sn?0, ?Sn?Sn?1?1, …………2分 又S1?a1?1,所以数列?S?是一个首项为1公差为1的等差数列……3分 nSn?1??n?1??1?n , Sn?n2. …………4分 当n?2,an?Sn?Sn?1?n2?(n?1)2?2n?1 ;
a1?1适合上式,?an?2n?1(n?N*). …………7分
(2)bn?111?11?=????…………9分 anan?1?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?
Tn?b1?b2???bn
?1??1?2?1???3?11?1?1?11?1?1????K???????2n?2n1??3?5?25?7?2?1?; 21? =1?1?1111111?1??? …………11分 ?1????????? =?1?2?335572n?12n?1?2?2n?1?111?1?11?0,1??1,?1???,即Tn?.………12分 2n?12n?12?2n?1?22?n?N*,?18.(本小题满分12分)
解:(I)m?n?sinA?cosB?sinB?cosA?sin(A?B) ?ABC中,A?B???C,0?C??,
??…………2分
(?B)?sinC, ?sinAC ?m?n?sin?? …………3分
又m?n?sin2C,?sin2C?sinC,cosC???1?,C?. 23…………6分
(II)由sinA,sinC,sinB成等差数列,得2sinC?sinA?sinB,
由正弦定理得2c?a?b.
?CA?CB?18,
?abcosC?18,即ab?36.
222………10分
2 由余弦定理c?a?b?2abcosC?(a?b)?3ab,
?c2?4c2?3?36,?c?6.
…………12分
19.(本小题满分12分)
20.(本小题满分13分)
解:(1)∵f(x)?ax2?a2x?2b?a3
又x∈(-2,6),f(x)>0;x∈(-∞,-2)∪(6,+∞),f(x)<0。
∴-2和6是方程ax?ax?2b?a?0的两根。 ……………………3分
223??2?6??a?故?2b?a3 解得 ??2?6?a?此时,
?a??4 ………………………………6分 ?b??8?f(x)??4x2?16x?48
∴欲使f(x)<0恒成立,只要使kx?4x?2?0恒成立,则须要满足:
2 ①当k?0时,原不等式化为4x?2?0,显然不合题意,舍去。…………9分
②当k?0时,要使二次不等式的解集为x?R,则必须满足:
??k?0???4?4k?(?2)?02 解得k??2 ……………………12分
综合①②得k的取值范围为(??,?2)。 ………………………………13分
21.(本小题满分14分)解:(I)
an?1?12an22??an?1?an?1?2(an?an) …2分
an?1an?1
2?bn?an?an,bn?1?2bn,?数列{bn}是公比和首项均为2的等比数列,
?bn?2n, ……………………………………………………………………4分 1?1?2n?2即a?an?2?an?(?an?0).………………………………6分
22nn
2(2n?1)?2n?1?2, ……7分 (II)证明:因为等比数列{bn}的前n项和xn?2?1
所以f(xn)?2n?1. …………………………………………………………8分
f(xk)2k?1??故
f(xk?1)2k?1?12k?11?,k?1,2,3,?,n, ……………………10分 122(2k?)2 所以
f(xn)nf(x1)f(x2)?????. ………………………………11分 f(x2)f(x3)f(xn?1)21111f(xk)2k?111????, 另一方面?k?1??k?1k?1k?1k?122?2k?222f(xk?1)2?122(2?1) ……………………12分
?
f(xn)f(x1)f(x2)????f(x2)f(x3)f(xn?1)n111n11n?1?(2?3???n?1)??(1?n)?.22222222
?
?f(xn)nn?1f(x1)f(x2)??????. ………………………14分 2f(x2)f(x3)f(xn?1)2
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