电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答

第六章 时变电磁场

6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场

B?ez5cos?tmT之中，如题6.1图所示。滑片的位置由x?0.35(1?cos?t)m确定，轨道终端接有电阻R?0.2?，试求电流i.

ya ib 0.2m Rd 0.7m c x 题6.1图

解 穿过导体回路abcda的磁通为

???B?dS?ezB?ezad?ab?5cos?t?0.2(0.7?x)故感应电流为

?cos?t[0.7?0.35(1?cos?t)]?0.35cos?t(1?cos?t)

i?Ein1d???RRdt1??0.35?sin?t(1?2cos?t)?1.75?sin?t(1?2cos?t)mAR

6.2 一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场B?ezB0中与z轴平行。设棒以角

速度?绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。

解 介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为 故介质棒内的极化强度为 极化电荷体密度为

E?v?B?e?r??ezB0?err?B0

P?Xe?0E?er(?r?1)?0r?B0?er(???0)r?B0

?P????P??极化电荷面密度为

1?1?(rP)??(???0)r2?B0r?rr?r??2(???0)?B0

则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为

?P?P?n?er(???0)r?B0?err?a?(???0)a?B0 QP??a2?1??P??2?a2(???0)?B0QPS?2?a?1??P?2?a2(???0)?B0

6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设a?0.2m、b?c?d?0.1m、i?1.0cos(2??10t)A，求回路中的感应电动势。

7a i i b c d 题6.3图 解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为

Ein??式中

dd?B?dS??B左dS??B右dS????? dtdtB左?故

?0i?0i,B右?2?r2?(b?c?d?r)

b?c则

?0i?aib?cadr?0ln()b2?r2?bsc?d?0i?0aib?cBdS?adr?ln()右??d2?(b?c?d?r)2?bs

?B左dS??Ein??2d??0aib?c?ln()?dt?2?b???ab?cd??0ln()[1.0cos(2??107t)]a2?b2?bdt4??10?7?0.2?ln2sin(2??107t)?2??107V??3.484sin(2??107t)V

6.4 有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源

供应电压U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。

解 设导线材料的电导率为?，横截面积为S，则导线的电阻为

R?而环形线圈的电感为L，故电压方程为

l?S

U?Ri?Ldidt

di?0dt当U=U0时，电流i也为直流，。故

llU0?Ri?JS?J?lE?S?

此时导线内的切向电场为

E?U0l

即

di(t)?0dt当U=U（t）时，，故 di(t)dU(t)?Ri(t)?L?R?E(t)S?L(?E(t)S)dtdtldE(t)??E(t)S?L?S?Sdt

dE(t)lE(t)U(t)??dtL?SL?S

求解此微分方程就可得到E(t)。

6.5 一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为

U0sin?t，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。

解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压

时的电场分布可视为相同（准静态电场），即

E?er故电容器两极板间的位移电流密度为

U0sin?trln(ba)

Jd?则

Ucos?t?D?er??0?trln(ba)

2?0id??Jd?dS??s?l0??U0cos?trln(ba)er?errd?dz

?C?式中，

流过电容器的传导电流为

2??lln(ba)是长为l的圆柱形电容器的电容。

ic?CdU?C?U0cos?tdt

2??l?U0cos?t?C?U0cos?tln(ba)

可见

id?ic

6.6 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。

解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程

??E?0和??D??

由??D??得

??Dd??????据散度定理，上式即为

?d?

??D?dS?qs利用球对称性，得

D?er故得点电荷的电场表示式

q4?r2 q4??r2

由于??E?0，可取E????，则得

即得泊松方程

E?er??D????E???????????2???

?2?????

6.7 试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。

解 （1）在直角坐标中

?D??Hz?Hy??Jx?x??y?z?t??Dy??Hx?Hz???Jy???z?x?t??Hy?Hx?Dz???Jz???x?y?t???Hx??Ez?Ey??????y?z?t??Hy??Ex?Ez???????z?x?t??Ey?Ex?Hz???????x?y?t?? ?Bx?By?Bz???0?x?y?z?Dx?Dy?Dz?????x?y?z

（2）在圆柱坐标中

（3）在球坐标系中

??D1?Hz?H???Jr?r?r???z?t???D?Hr?Hz???J?????z?r?t??D?1?1?Hr(rH?)??Jz?z?r?rr???t?? ??Hr1?Ez?E??????r???z?t???H??Er?Ez???????z?r?t??Hz?1?1?Er(rE?)????r?rr???t??? 1?1?B??Bz(rBr)???0r?rr???z1?1?D??Dz(rDr)????r?rr???z

?H?D?1?[(sin?H?)??]?Jr?r?rsin??????t??D11?Hr??[?(rH?)]?J????rsin????r?t???D??Hr1?[(rH?)?]?J???r?r???t?

?E?Hr?1?[(sin?E?)??]???rsin??????t???H11?Er??[?(rE?)]?????rsin????r?t???H??Er1?[(rE?)?]????r?r???t? 1?21?1?B?(rBr)?(sin?B?)??0r2?rrsin???rsin???1?21?1?D?(rD)?(sin?D)???r?2r?rrsin???rsin???

9E?e0.1sin10?xcos(6??10t??z)，求H和?。 y6.8 已知在空气中

提示：将E代入直角坐标中的波方程，可求得?。

解 电场E应满足波动方程

?2E?E??0?02?0?t

2将已知的E?eyEy代入方程，得

?2Ey?x2式中

??2Ey?z2??0?0?2Ey?t2?0

?2Ey?x?2Ey?z22??0.1(10?)2sin10?xcos(6??109t??z)?0.1sin10?x[??2cos(6??109t??z)]?2Ey?t2?0.1?0?0sin10?x[?(6??109)2cos(6??109t??z)]?0?0故得 则

由

?(10?)2??2??0?0(6??109)2?0

???300?54.41rad/m

??E???0?H?t

得

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