2013-2014学年辽宁省鞍山市高一下学期期末考试数学试卷(带解析)

2013-2014学年辽宁省鞍山市高一下学期期末考试数学试卷（带解析）

一、选择题

1.sin 480°等于（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D ．

【解析】

试题分析：直接由三角函数的诱导公式得，

.

故应选D.

考点：任意角的三角函数；诱导公式.

2.某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）

A ．80

B ．40

C ．60

D ．20

【答案】B.

【解析】

试题分析：由分层抽样的特征可设一、二、三、四年级的人数分别为，则依据抽取的样本容量为200得，，即.所以应抽取三年级的学生人数为

.

故应选B.

考点：简单的随机抽样；分层抽样.

3.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）．

A ．e 1＝（0，0），e 2＝（1，－2）

B ．e 1＝（－1，2），e 2＝（5，7）

C ．e 1＝（3，5），e 2＝（6，10）

D ．e 1＝（2，－3），e 2＝

【答案】B ．

【解析】

试题分析：根据平面向量的基本定理知，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的向量为不共线向量．

对于选项A，e

1

＝（0，0）为零向量，而向量与任何非零向量是共线的，因此不合题意；

对于选项B，假设向量e

1向量e

2

共线，则由共线定理知，，即，此方程组无

解，故假设不成立，即向量e

1向量e

2

不共线，满足题意；

对于选项C，，由共线定理知，向量e

1向量e

2

共线，不合题意；

对于选项D，，由共线定理知，向量e

1向量e

2

共线，不合题意；

综上所述，应选B．

考点：平面向量的基本定理.

4.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（）

A．4，－2 B．4，1 C．1，4 D．－2，4

【答案】B．

【解析】

试题分析：根据程序框图知，首先执行赋值语句：，即；然后执行赋值语句：，即；最后输出，即可．故应选B.

考点：算法语句；赋值语句.

5.一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位：cm）分布茎叶图为

记录的平均身高为177 cm，有一名选手的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】D．

【解析】

试题分析：由茎叶图知，7名选手的平均身高为：，解得，所以.故应选D.

考点：茎叶图.

6.要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（）

A．向左平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向右平移个单位

【答案】C．

【解析】

试题分析：设经过向左平移个单位，将y=3sin2x的图象变换为，由题意知，，即，所以，即经过向左平移个单位可

将y=3sin2x的图象变换为的图象．故应选C．

考点：函数的图像的变换.

7.最小二乘法的原理是（）

A．使得最小

B．使得最小

C．使得最小

D．使得最小

【答案】D．

【解析】

试题分析：根据最小二乘法原理是保证样本数据到回归直线的距离的平方和最小，即所有使

得最小，故应选D.

考点：线性回归分析；最小二乘法.

8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）

A． B． C． D．

【答案】D．

【解析】

试题分析：根据程序框图知，该算法的目标是计算和式：

.

又因为，所以

.故应选D.

考点：程序框图与算法.

9.若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是（）A． B． C． D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：因为|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，所以

.

故应选B.

考点：数量积表示两个向量的夹角.

10.在△ABC中，a＝4，b＝，角A＝30°，则角B等于

A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°

【答案】D．

【解析】

试题分析：在△ABC中，应用正弦定理知，，即.

所以或．又因为，所以此时有两解，故上述两解

均符合题意，故应选D.

考点：正弦定理的应用.

11.设cosα＝，α∈（0，π），则α的值可表示为

A． B． C． D．

【答案】C．

【解析】

试题分析：由cosα＝，α∈（0，π）得，，所以，所以，由反三角函数的定义知，，即，故应选C.

考点：反三角函数.

12.已知cos（α－β）＝，sin β＝，且α∈，β∈，则sin α＝

A． B． C． D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：因为，所以，

又因为，且α∈，β∈，所以，所以；由且β∈，所以.

所以.

考点：两角和与差的正弦、余弦.

二、填空题

1.执行如图所示的程序框图，若输入x＝10，则输出y的值为_____．

【答案】．

【解析】

试题分析：当x＝10时，执行语句：，然后判断，再执行赋值语句：，即；第二次循环：执行语句：，然后判断，再执行赋值语句：，即；第三次循环：执行语句：，然后判断，再执行赋值语句：，即；第四次循环：执行语句：，然后判断，直接输出．故应填．

考点：程序框图；循环结构.

2.在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．

【答案】.

【解析】

试题分析：满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积

.

满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域如下图阴影部分（黄色区域）所示，则阴影部分的面积为，由几何概型的计算公式知，使点P到三个

顶点的距离至少有一个小于1的概率是.

考点：几何概型.

3.sin 1，sin 2，sin 3，sin 4的大小顺序是________．

【答案】sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.

【解析】

试题分析：因为1是第一象限，2、3是第二象限，4是第三象限，所以sin 4<0，sin2>sin3>0. 又因为sin 1= sin （π-1），且2<π-1<3，所以sin 2 >sin （π-1）>sin3，即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4. 故应填sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.

考点：正弦函数的图像.

4.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足（a －c ）·（b －c ）＝0，则|c|的最大值是________．

【答案】

.

【解析】

试题分析：因为向量c 满足（a －c ）·（b －c ）＝0，且

，， 所以

，所以. 又因为，所以的最大值是，故填. 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

三、解答题

1.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（1）估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；

（2）从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．

【答案】（1）p 1＝0.5；（2）p 2＝．

【解析】

试题分析：

（1）由频率直方图知样本中身高在170～185 cm之间的学生人数为14＋13＋4＋3＋1，而全校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，知道每个个体被抽到的概率是0.1即样本容量为70，进而得到分层抽样比例为10%估计全校男生人数；

（2）由题意知本问题属于古典概型问题，通过树状图列举出实验发生包含的所有事件数，再从这些事件中找出满足条件的事件数，根据古典概型公式即可计算所求概率.

试题解析：（1）由统计图知，样本中身高在170～185 cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人），样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm之间的频率f＝＝0.5．故

＝0.5．

由f估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率p

1

（2）样本中身高在180～185 cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥．

从上述6人中任选2人的树状图为：

故从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人

＝．

身高在185～190 cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p

2

考点：频率分布直方图.

2.下表数据是水温度x（℃）对黄酮延长性y（%）效应的试验结果，y是以延长度计算的，且对于给定的x，y为变量．

（1）求y关于x的回归方程；

（2）估计水温度是1 000 ℃时，黄酮延长性的情况．

（可能用到的公式：，，其中、是对回归直线方程中系数、按最小二乘法求得的估计值）

【答案】（1）＝0．058 86x＋24．627；（2）水温度是1000℃时，黄酮延长性大约是83.487%.

【解析】

试题分析：（1）利用公式直接计算出，即可得出关于的线性回归方程；

（2）将代入回归方程，即可估计水温度是1000℃时，黄酮延长性的情况.

试题解析：（1）列出下表并用科学计算器进行有关计算．

1

300

x

i

40

12

000

90

000000000000000000

＝550；＝57；

＝1 990 000；＝198 400

于是可得

，

．

因此所求的回归直线的方程为：＝0．058 86x＋24．627．

（2）将x＝1 000代入回归方程得y＝0.058 86×1 000＋24.627＝83.487，

即水温度是1 000 ℃时，黄酮延长性大约是83.487%.

考点：线性回归方程.

3.在△ABC中，中线长AM＝2．

（1）若，求证：；

（2）若P为中线AM上的一个动点，求的最小值．

【答案】（1）证明：∵M是BC的中点，∴．

代入，得，即．

（2）当x＝1时，取最小值－2．

【解析】

试题分析：（1）由点M是线段BC的中点，利用向量的平行四边形法则可得，再利用已知，即可证明之；（2）设出＝x，则＝2－x（0≤x≤2）．由点M

是BC的中点，即可得出．于是计算并利用二次函数的单调性即可

得出答案.

试题解析：（1）证明：∵M是BC的中点，∴．

代入，得，即．

（2）设|＝x，则|＝2－x（0≤x≤2）．

∵M是BC的中点，∴．

∴＝－2x（2－x）＝2（x2－2x）＝2（x－1）2－2，

当x＝1时，取最小值－2．

考点：平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义.

4.如图△ABC中，已知点D在BC边上，且，，，．

（1）求AD的长；

（2）求cosC．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）通过向量的数量积，判断垂直关系，求出的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；（2）在△ABD中，由正弦定理求出，通过三角形是直角三角形，即可求出.

试题解析：（1）由知，

在△ABD中，由余弦定理知

即，解得或

显然，故.

（2）由得

在△ABD中，由正弦定理知，故

.

考点：余弦定理的应用；正弦定理.

5.已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象．

【答案】（1）f（x）的最小正周期期T＝，单调增区间为k∈Z）；（2）列表：

π

2x＋π2π

f（x）20－20

描点连线得图象，如图所示．

【解析】

试题分析：（1）先利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，用二倍角公式和两个

角的和的正弦公式，再根据化简后的解析式求三角函数的周期；（2）在所给的区间上找出

函数值域的几个特殊点：最大值和最小值点，再列出表格，在坐标系中描出点画出函数图像.试题解析：（1）f（x）＝（1－2sin2x）＋sin 2x＝sin 2x＋ cos 2x＝2sin（2x＋），

所以f（x）的最小正周期T＝．

由2kπ－<2x ＋<2kπ＋得

<2x ＋< 所以f （x ）的单调增区间为

（k ∈Z ）． （2）列表： π

2x ＋ π 2π

f （x ）

2 0－2 0

描点连线得图象，如图所示．

考点：三角函数中的恒等变换应用；五点法作图函数

的图像；函数的图像变换.

6.函数y ＝2cos （ωx ＋θ）

的图象与y 轴交于点（0，

），且该函数的最小正周期为π. （1）求θ和ω的值；

（2）已知点A

，点P 是该函数图象上一点，点Q （x 0，y 0）是PA 的中点，当y 0＝，x 0∈时，求x 0的值．

【答案】（1）ω=2；（2）x 0＝

，或x 0＝. 【解析】

试题分析：（1）将点坐标代入已知函数，计算可得，由范围可得其值，由

结合已知可得的值；（2）由已知可得点的坐标为

，代入，并结合和三角函数值运算即可得出所求答案.

试题解析：（1）将x ＝0，y ＝代入函数y ＝2cos （ωx ＋θ）中，得cos θ＝，

因为，所以．由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝.

（2）因为点A

，Q （x 0，y 0）是PA 的中点，y 0＝，所以点P 的坐标为. 又因为点P 在的图象上，且≤x 0≤π， 所以

，且，

从而得，或，即x 0＝，或x 0＝.

考点：三角函数的图像与性质；由的部分图像确定其解析式.

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