高中数学排列组合

模块九 排列与组合、二项式定理 第一部分：排列、组合 一。计数原理

加法计数原理：如果完成一件事情可以分为m类，每一类的方法数分别是：N1，N2，N3，…..Nm,则完成这件事情共有N1+N2+N3+…..+Nm种方法。（又称分类计数原理）

乘法计数原理：如果完成一件事情须分为m步，每一步的方法数分别是：N1，N2，N3，…..Nm,则完成这件事情共有N1?N2?N3?…..?Nm种方法。（又称分类计数原理） 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，它贯穿于全章学习的始终，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决。正确区分和使用两个原理是学好本章的关键，其核心是“完成一件事”是“分类”完成，还是“分步”完成. 二。排列数、组合数的定义

①排列数：从n个元素中取出m个排成一列（即排入m个位置），共有An种排法。

Am（n－2）?（n－m+1）.特别的：An?n! n=n（n－1）

②组合数：从n个元素中取出m个形成一个组合，共有Cn种取法。 Cmn=

mnmn!0n特别地：Cn?1,Cn?1

(n?m)!m!组合数的两个性质：

n?mmm?1（1）Cm； （2）Cmn?1=Cn+Cn. n=Cn三。解决排列、组合问题的四大原则及基本方法 1. 特殊优先原则

该原则是指在有限制的排列组合问题中优先考虑特殊元素或特殊位置．

范例甲、乙、丙三个同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天１人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，则可以排出不同的值班表有（ ） Ａ．90种 Ｂ．89种 Ｃ．60种 Ｄ．59种

解析：特殊元素优先考虑，甲同学不值周一的班，则先考虑甲，分步完成：①从除周一

22CC的5天中任取2天安排甲有5种；②从剩下的4天中选2天安排乙有4种；③仅剩2

天安排丙有C2种．由分步乘法计数原理可得一共有C5·C4·C2?60种，即选Ｃ． 评注：特殊优先原则是解有限制的排列组合问题的总原则，对有限制的元素和有限制的

位置一定要优先考虑． 2.先取后排原则

2222 该原则充分体现了Cn·Am?An的精神实质，先组合后排列，从而避免了不必要的重复与遗漏．

范例将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）． Ａ．12种 Ｂ．24种 Ｃ．36种 Ｄ．48种

解析：先分组再排列：将4名教师分成3组有C4种分法，再将这三组分配到三所学校

3有A3种分法，由分步乘法计数原理知一共有C4·A3?36种不同分配方案．

mmm223 评注：先取后排原则也是解排列组合问题的总原则，尤其是排列与组合的综合问题．若

3本例简单分步：先从4名教师中取3名教师分给3所学校有A4种方法，再将剩下的1名教

3师分给3所学校有3种选择，则共有A4·3?72种分配方案，则有明显重复（如：甲、乙、

丙、丁和甲、乙、丁、丙）．因此，处理多元素少位置问题时一般采用先取后排原则． 3.正难则反原则

若从正面直接解决问题有困难时，则考虑事件的对立事件，从不合题意要求的情况入手，再整体排除．

范例在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少取到１件次品的不同取法的种数是（ ） Ａ．C6C94

12

Ｂ．C6C99

12Ｃ．C100?C94

33

Ｄ．A10033?C94

解析：从100件次品中取3件产品，至少有1件次品的对立事件是取到3件全部是正品，

333即从94件正品中取3件正品有C94种取法，所以满足条件的不同取法是C100，故选Ｃ．如?C94果从正面考虑，则必须分取到1，2，3件次品这三类，没有应用排除法来得简单．而本例最

12易迷惑人的是Ｂ：C6C99，即从6件次品中取1件确保了至少有1件次品，再从剩下的99

件产品中任取2件即可．事实上这样分步并不相互独立，第一步对第二步有明显影响，设次

12品为ABCDEF，正品为甲乙丙丁戊?则C6 C99可以是ＡＢ甲，也可能是ＢＡ甲，因而重复． 评注：正难则反原则也是解决排列组合问题的总原则，如果从正面考虑不易突破，一般寻找反面途径．利用正难则反原则的语境有其规律，如当问题中含有“至少”，“最多”等词语时，易用此原则． 4.策略针对原则

不同类型的排列、组合问题有着不同的应对策略，不同的限制条件要采用不同的解题方法．

①相邻问题捆绑法（整体法），不相邻问题插空法

范例17人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解析：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

522A5A2A2?480种不同的排法

甲乙丙丁 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 范例2例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解析:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5第二步将4舞蹈插入第一步排好5种，

4的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同4顺序共有A55A6种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两

②合理分类直接分步法 范例在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）个． （ ）

Ａ．56 Ｂ．57 Ｃ．58 Ｄ．60 解析：所有大于23145且小于43521的数由以下几类构成：

23432由分类加法计数原理可得，一共有1?2A2?2A3?A4?2A3?2A2?1?58个，故选Ｃ．

评注：合理分类与直接分步是两个基本原理———分类加法计数原理和分步乘法计数原理最直接的体现，是解排列组合问题的最原始的方法．诸多排列组合问题总是从合理分类，直接分步得到解决的．

③顺序一定消序法（用除法）

范例17人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行

排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数

是：

A7A373

4 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置

4甲乙丙共有 1种坐法，则共有A7种方法。

范例2某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果

将这两个节目插入原节目中，那么不同插法的种数为（ ）．

Ａ．42 Ｂ．30 Ｃ．20 Ｄ．12

解析：新插入两个节目，而原来的5个节目顺序不变，从结果考虑，7个节目的全排列

7A71是A，而顺序不变的5个节目的全排列是A，不变的顺序是总体的5，则一共有5?42A5A57755种不同的插入种数，故选A．

评注：某些元素顺序不变的排列用除法解决，即若共有n个元素，其中m个元素顺序不变，则其不同的排列数为．当然本题可以这样考虑：最终有7个节目位置，从7个位置中任选2个位置安排新增节目有A72种方法，其他5个位置按原5个节目的固定顺序排列，因

2此共有A7?42种不同的插入方法．

④对象相同（元素相同的排列、分配）隔板法

范例10个相同的小球放到3个不同的盒中，每个盒不空，一共有______种不同的放法．

解析：10个相同的小球有9个空档（确保盒子不空）．从9个空档中选2个空档放入两块隔板，将小球分成三部分（每一种放档板的放法对应着10个小球分成3部分的分法），每部分一一对应着一个不同的小盒．因此一共有C92种不同的放法，即C92?36种． 四。几个特殊问题

1. 每个位置排入的元素个数不唯一的排列

范例1一辆公交车上有5个人，沿途有三个停靠站，则这5人的下车方法共有____种。 解析：由于5人必须都下车，每人都有3种下车方法，故有5种下车方法。 范例2把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解析:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法。 2. 不同元素分组问题 ①不平均分组问题

范例有9本不同的书，分为3堆，一堆4本，一堆3本，一堆2本，分法有______种。 答：C9?C5?C2

②平均分组问题

范例有9本不同的书，分为3堆，每堆3本，分法有______种。 答：

43263C9C6C3A33333

3. 不同元素分配问题

要点：先分组，再入位。 ①不平均分配问题

范例有9本不同的书，分给3人，一人4本，一人3本，一人2本，分法有______种。 答：先分为3组有C9?C5?C2种方法，再把3组数分给3人有A3种，故共有

4323C9?C5?C2A3方法。

4323 ②平均分组问题

范例有9本不同的书，分为3堆，每堆3本，分法有______种。

答：

C9C6C3A33333?A3即有C93?C63?C33种分法。

3第二部分：二项式定理 1.定理内容

即(a?b)n=Cnan?Cnan?1b?Cnan?2b2?Cnan?3b3????+Cnbn

0123n(a?b)n展开式的通项公式为：Cnan?rbr。注意：第r+1项为Cnan?rbr

范例(1?x)n?Cn?Cnx?Cnx2?Cnx3????+Cnxn 令x=1有Cn?Cn?Cn?Cn????+Cn=2 2.两个概念的区别

①二项式系数：特指展开式中的Cn，???，Cn Cn，Cn，Cn，②二项式展开式的系数： 以(3?x)n为例：

rrr (3?x)n展开式的第r+1项为Cn3n?（?1）x：

rr 其中二项式系数为Cn，二项式展开式的系数为：Cn3n?（ ?1）r01230rr123nnn0123nrr3.求展开式的系数的和 范例2?x?展开式的系数的和是________。

解析：令x=1，得?2?x?展开式的系数的和为(2?1)=1.

88?84. 求展开式的第r+1项的系数 范例12?x??展开式的第三项的系数是_______.

8解析：2?x2??展开式的第r+1项为：C82r828?r(?1)xr2r2，第三项的系数是

–C826=-1792

范例2(1?x)4(1?x)3的展开式x的系数是（ A ） (A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3 解析：(1?x)434的通项为C4(?1)rxr，(1?rrkkrx)3的通项为C3(?1)kx,故

2r?k2kk2(1?x)(1?x)的展开式的通项为C4(?1)C3(?1)x22，当r=1,k=2及r=2，k=0时，

会出现x，故x的系数为C4(?1)1C3(?1)2+C4(?1)2C3(?1)0=-6.

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