2015届高三一轮复习教学案（附答案）10.5离散型随机变量及其分布

学案10.5离散型随机变量及其分布列

学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念，掌握常见分布（二点分布、超几何分布、几何分布、二项分布）及其导出过程，并能进行简单的应用．

2.离散型随机变量期望、方差的概念并能正确计算，掌握常见分布的期望、方差，并能解决一些实际问题． 3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，并能解决有关问题． 【自主梳理】

1．离散型随机变量及其分布列：

（1）离散型随机变量的分布列的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称X x1 x2 … xi … xn 表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量XP p1 p2 … pi … pn 的分布列，具有性质：（ⅰ）pi______0，i＝1,2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝______.

X 1 0 （2）常见分布：①二点分布：如果随机变量X的分布列为

P p q 其中0

②超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概

nkCkMCN－M

率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m

CnN

－

X 0 0C0CnM·N－M nCN－1 n1C1MCN－M CnN－… m nmCmMCN－M nCN－P … ＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称

分布列超几何分布．

③几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak，P(Ak)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事件的概率乘法

k?1分式：P(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qp(k?1,2,3,?)于

? 1 q 2 qp 3 q2p … … k qk?1p … … 是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?p.k?1,2,3?

P ④二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k

kn?k次的概率是：P(ξ?k)?Ck（其中k?0,1,?,n,q?1?p），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我npqkn?k们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B（n，p），其中n，p为参数，并记Ck?b(k;n?p).二npq项分布实际上是对n次独立重复试验而言的，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布。当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。

X x1 x2 … xi … xn 2.数学期望与方差：

P p1 p2 … pi … pn （1）期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如右

图，则称E(X)＝ 为X的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

（X）?0，故D（X）（2）方差、标准差的定义：D(X) ＝ 为X的方差. 显然D为ξ的根方差或标准差，随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散

的程度. D(X)越小，稳定性越高，波动越小. （3）均值与方差的常用性质：

1

(ⅰ)常见分布的期望与方差：若X服从二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝pq.一般地，若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；若X服从超几何分布，则E(X)＝

n?M1；若X服从几何分布：E(X)＝，D(X)Np＝

q. 如能分析所给随机变量是服从常见分布，可直接利用公式求解． p2 (ⅱ) 运算性质：①E(C)＝C(C为常数)；② E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)，特别的E(X?E?X?)?0；③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)；⑤D(X)＝E(X2)－(E(X))2；⑥D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．若已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用上述运算性质求解.

3. 正态分布：（1）密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间?a,b?内的概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

（2）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度函数为f(x)?1e2???(x??)22?2（x∈(－∞，＋∞)，

2实数μ和σ (σ>0)为参数），称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，用?～N?,?表示. f(x)的表达式

??22可简记为N?,?，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若?～N?,?，则ξ

????的期望与方差分别为：E???,D???2.

1?x2(3)标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为f(x)?e，则称ξ服从标准正态分布. 即?～

2?2N?0,1?。非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N??,?2?，则????x???～N?0,1?，据

此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：P???x0??P???x0???。 ???(4)正态分布密度曲线的特点：①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线

________对称；③曲线在________处达到峰值____________；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

（5）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(μ－σ

2结为如下三步：(ⅰ)提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N?,?.(ⅱ)确定一次试验中的

??取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋3σ).(ⅲ)做出判断：如果a?(μ－3σ，μ＋3σ)，接受统计假设. 如果a?(μ－3σ，μ＋3σ)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3?”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分

2

2布N?,?则 ξ落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为99.7％ 亦即落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.3％，

??此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

探究点一 离散型随机变量的分布列:

【例1】设离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．

1

变式训练1. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮

7流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，??，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．

探究点二 离散型随机变量的期望与方差:

【例2】袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当

两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量?为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量?的概率分布列；(2)随机变量?的数学期望与方差

3

变式迁移2. 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为

111，，；如果投资乙项目，一年244后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为? 和?（????1.（Ⅰ）如果把10）万元投资甲项目，用?表示投资收益（收益=回收资金－投资资金），求?的概率分布及E?；（Ⅱ）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求?的取值范围.

探究点三 二项分布:

【例3】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为

149

和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)1050

设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)．

变式迁移3. 任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则D(X)等于 Ａ．

6 7 Ｂ．

48 49 Ｃ．

36 49 Ｄ．

24 49探究点四 正态分布的应用:

【例4】(2011湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

4

变式迁移4. 设随机变量?服从正态分布N（0，1），记?(x)?P(??x)，给出下列结论：①?(0)?0.5；②?(1)?1??(?1)；③P(|?|?3)?2?(3)?1；④ P(|?|?3)?1??(3)其中正确的序号是

当堂检测

a

1．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝k，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4)等于( )

2

1111A. B. C. D. 16543

2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0，1))，21

已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )．

a3b32281416A. B. C. D. 3333

13．(2013·日照二模)已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)等于( )．

3A．6 B．9 C．3 D．4

4．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布： 若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ） A．706元 B．690元

C．754元 D．720元

2

（x－μi）1

5．(2013·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝·e－

2σ2i2πσi

(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则( )． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

6. 某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在 分（已知φ（0.25）=0.6）．

7. (2006山东20)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。

5

17.(2013山东19) 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. 23 （1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望.

18.(2014山东18) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在

C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分。对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概

11

111，在D上的概率为；对落点在B上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的2353概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次，小明的两

5率为

次回球互不影响。求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和

DCAB?的分布列与数学期望.

12

学案10.5离散型随机变量及其分布列

学习目标：1. 理解离散型随机变量及其分布列的概念，掌握常见分布（二点分布、超几何分布、几何分布、二项分布）及其导出过程，并能进行简单的应用．

2.离散型随机变量期望、方差的概念并能正确计算，掌握常见分布的期望、方差，并能解决一些实际问题． 3.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，并能解决有关问题． 【自主梳理】

1．离散型随机变量及其分布列：

（1）离散型随机变量的分布列的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫做随机变量；如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量．设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称X x1 x2 … xi … xn 表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量XP p1 p2 … pi … pn 的分布列，具有性质：（ⅰ）pi______0，i＝1,2，…，n；（ⅱ）p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝______.

X 1 0 （2）常见分布：①二点分布：如果随机变量X的分布列为

P p q 其中0

②超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概

nkCkMCN－M

率为：P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，其中m

CnN

－

X 0 0C0CnM·N－M nCN－1 n1C1MCN－M CnN－… m nmCmMCN－M nCN－P … ＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N，则称

分布列超几何分布．

③几何分布：“??k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记

*

为Ak，事A不发生记为Ak，P(Ak)?q，那么P(ξ?k)?P(A1A2?Ak?1Ak).根据相互独立事件的概率乘法

k?1分式：P(ξ?k)?P(A1)P(A2)?P(Ak?1)P(Ak)?qp(k?1,2,3,?)于

? 1 q 2 qp 3 q2p … … k qk?1p … … 是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)?qk?1p，其中q?1?p.k?1,2,3?

P ④二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k

kn?k次的概率是：P(ξ?k)?Ck（其中k?0,1,?,n,q?1?p），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我npqkn?k们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作?～B（n，p），其中n，p为参数，并记Ck?b(k;n?p).二npq项分布实际上是对n次独立重复试验而言的，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布。当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列。

X x1 x2 … xi … xn 2.数学期望与方差：

P p1 p2 … pi … pn （1）期望：一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如右

图，则称E(X)＝ 为X的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望

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反映了离散型随机变量取值的平均水平.

（X）?0，故D（X）（2）方差、标准差的定义：D(X) ＝ 为X的方差. 显然D为ξ的根方差或标准差，随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量X取值的稳定与波动，集中与离散

的程度. D(X)越小，稳定性越高，波动越小. （3）均值与方差的常用性质：

(ⅰ)常见分布的期望与方差：若X服从二点分布，则E(X)＝p，D(X)＝pq.一般地，若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；若X服从超几何分布，则E(X)＝

n?M1；若X服从几何分布：E(X)＝，D(X)Np＝

q. 如能分析所给随机变量是服从常见分布，可直接利用公式求解． p2 (ⅱ) 运算性质：①E(C)＝C(C为常数)；② E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)，特别的E(X?E?X?)?0；③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；④若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)；⑤D(X)＝E(X2)－(E(X))2；⑥D(aX＋b)＝a2·D(X)(a，b为常数)．若已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用上述运算性质求解.

3. 正态分布：（1）密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间?a,b?内的概率等于它与x轴.直线x?a与直线x?b所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x∈(－∞，＋∞)”是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

（2）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度函数为f(x)?1e2???(x??)22?2（x∈(－∞，＋∞)，

2实数μ和σ (σ>0)为参数），称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，用?～N?,?表示. f(x)的表达式

??22可简记为N?,?，它的密度曲线简称为正态曲线。正态分布的期望与方差：若?～N?,?，则ξ

????的期望与方差分别为：E???,D???2.

1?x2(3)标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为f(x)?e，则称ξ服从标准正态分布. 即?～

2?2N?0,1?。非标准正态分布与标准正态分布间的关系：若?～N??,?2?，则????x???～N?0,1?，据

此可以把非标准正态分布的概率转化为标准正态分布的概率：P???x0??P???x0???。 ???(4)正态分布密度曲线的特点：①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线

________对称；③曲线在________处达到峰值____________；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

（5）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：P(μ－σ

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③P(μ－3σ

2结为如下三步：(ⅰ)提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N?,?.(ⅱ)确定一次试验中的

??取值a是否落入范围(μ－3σ，μ＋3σ).(ⅲ)做出判断：如果a?(μ－3σ，μ＋3σ)，接受统计假设. 如果a?(μ－3σ，μ＋3σ)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3?”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分

2布N?,?则 ξ落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为99.7％ 亦即落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.3％，

??此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

探究点一 离散型随机变量的分布列:

【例1】设离散型随机变量X的分布列为

X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列． 解 由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.

首先列表为：

X 2X＋1 |X－1| 从而由上表得两个分布列为： (1)2X＋1的分布列为

2X＋1 P (2)|X－1|的分布列为

|X－1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 1

变式训练1. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮

7流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，??，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．

C21x解 (1)设袋中白球共有x个，根据已知条件2＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)．

C77即袋中原有白球的个数为3.

(2)X表示取球终止时所需要的次数，则X的取值分别为：1,2,3,4,5.

111

A13A12A26A3334A34A34A3因此，P(X＝1)＝1＝，P(X＝2)＝2＝，P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝4＝，

A77A77A735A7351

A414A3P(X＝5)＝5＝.则随机变量X的分布列为

A735

X

1 2 3 15

4 5

P 3 72 76 353 351 3536122(3)甲取到白球的概率为P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5)＝＋＋＝.

7353535

探究点二 离散型随机变量的期望与方差:

【例2】袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当

两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量?为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量?的概率分布列；(2)随机变量?的数学期望与方差

111C2C3C23解:(1)随机变量?可取的值为2,3,4,P(??2)??; 11C5C45312121AA2C3?AC31323C2 P(??3)??P;(??4)??; 1111111C5C4C310C5C4C3C210 得随机变量?的概率分布列为：

x P(??x) (2)随机变量?的数学期望为：随机变量?的方差为：

2 3 4 3 53 101 10；

变式迁移2. 某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10

﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为

111，，；如果投资乙项目，244一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为? 和?（????1. ）（Ⅰ）如果把10万元投资甲项目，用?表示投资收益（收益=回收资金－投资资金），求?的概率分布及E?；

（Ⅱ）若把10万元投资投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求?的取值范围. 解：（Ⅰ）依题意，ξ的可能取值为1，0，﹣1 当ξ=1时，P（ξ=1）=，当ξ=0时，P（ξ=0）=，当ξ=﹣1时，P（ξ=1）=

.

故?的分布列为

? p 1 0 ?1 1 216

1 41 4

111?= ??????????????6分 244（Ⅱ）设η表示10万元投资乙项目的收益，则?的分布列为

? 2 ?2 E?=

p

则Eη=2α﹣2β=4α﹣2．依题意要求

? ? ，又α＜1．即：≤α＜1，

探究点三 二项分布:

【例3】(2012·四川)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为

149和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；(2)1050

设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望E(ξ)． [审题视点] (1)依据题意及相互对立事件间的概率关系列出相关方程，通过解方程得出结论；(2)根据独立重复试验的相关概率公式列出相应的分布列，进而求出期望值．

1491

解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么1－P(C )＝1－·p＝，解得p＝.

10505

－

1?11?1??1－1?＝27， (2)由题意，P(ξ＝0)＝C03?＝，P(ξ＝1)＝C×3

?10?1 000?10??10?1 000P(ξ＝2)＝C23×

1?22431?37291?3?×1－＝，P(ξ＝3)＝C3?1－10?＝.

10?10?1 0001 000

32

所以，随机变量ξ的概率分布列为

ξ P 0 1 1 0001 27 1 0002 243 1 0003 729 1 00012724372927

故随机变量ξ的数学期望：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

1 0001 0001 0001 00010变式迁移3.任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则D(X)等于 Ａ．D

6 7 Ｂ．

48 49 Ｃ．

36 49 Ｄ．

24 49探究点四 正态分布的应用:

【例4】(2011湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

[教你审题] 由ξ服从正态分布N(2，σ2)可得出正态曲线关于直线x＝2对称，于是得到P(ξ<0)与P(ξ<4)的关系，进而求出解．

[一般解法] ∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)所以正态曲线关于

17

1

直线x＝2对称，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)

2＝0.3.答案 C

[优美解法] 画出正态曲线如图，结合图象知：

111

P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<4)＝[1－P(ξ<0)－P(ξ>4)]＝(1－0.2－0.2)

222

＝0.3.

变式迁移4. 设随机变量?服从正态分布N（0，1），记?(x)?P(??x)，给出下列结论：①?(0)?0.5；

②?(1)?1??(?1)；③P(|?|?3)?2?(3)?1；④ P(|?|?3)?1??(3).其中正确的序号是 ①②③

当堂检测

a

1．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝k，k＝1,2,3,4.则P(2<ξ≤4)等于( )

2

1111A. B. C. D. 16543

1616

1515211aaaa16

B [∵＋＋＋＝1，∴a＝.∴P(2<ξ≤4)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＝＋＝.]

248161581615155

2．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0，1))，21

已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )．

a3b32281416A. B. C. D. 3333

2

解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0

3213a＋2b?21?12ba10

＋＝3＋＋＋≥＋2 又＋＝a3b2?a3b?3a2b3

2ba16

·＝， a2b3

2ba112116

当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为，

a2b24a3b3故选D.答案 D

1

3．(2013·日照二模)已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)等于( )．

3A．6 B．9 C．3 D．4

1114

解析 E(ξ)＝(1＋2＋3)×＝2，E(ξ2)＝(12＋22＋32)×＝ 333142

∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝－22＝.∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.答案 A

33

4．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格

处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如下表所示的分布： 若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）

A．706元 B．690元 C．754元 D．720元

A.由分布列可以得到EX=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×

0.15=340，∴利润是（340×5+160×1.6）-500×2.5=706，故选A．

18

（x－μi）21

5．(2013·金华模拟)已知三个正态分布密度函数φi(x)＝·e－(x∈R，i＝1，2，3)的图象22σi2πσi

如图所示，则( )． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3

解析 正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标

值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.答案 D 6. 某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ=480，标准差σ=100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在 分（已知φ（0.25）=0.6）． 505

7. (2006山东20)袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等。用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；（3）计分介于20分到40分之间的概率。

3111C5?CC22?C2?2解：（I）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)? ?3C103解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字

121C5?C2?C81相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为P(B)? ?3C10312所以P(A)?1?P(B)?1??.

33（II）由题意?有可能的取值为：2，3，4，5.

21122112C2?C2?C2?C2C4?C2?C4?C212P(??2)??;P(??3)??; 33C1030C10152112112C6?C2?C6?C2C82?C2?C8?C238P(??4)??;P(??5)??; 33C1010C1015所以随机变量?的概率分布为

因此?的数学期望为

123813E??2??3??4??5??

301510153（Ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”

的事件记为C，则

? P 2 3 4 5 1 302313?? 1510302 153 108 15P(C)?P(\??3\或\??4\?P(\??3\?P(\??4\?

A案

1. 设随机变量X等可能取值1，2，3，?，n，如果P（X＜4）=0.3，那么n=( ) A.3 B.4 C.9 D.10 D

19

2. 从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )．

A．2 B．1 C．3 D．4

2313

A322C112C21132C13A32C13A3解析 ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝3＝.P(ξ＝1)＝＝.P(ξ＝2)＝＝.所以，33A1535A1535A1535

ξ的分布列为

ξ P 0 22 351 12 352 1 352212122

于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.故E(5ξ＋1)＝5E(ξ)＋1＝5×＋1＝3.答案 C

35353555

3.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X，则X的均值为E?X?? A.

12661687 B. C. D. 12551255【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以

E?X??3?836546?2??1??。故选B。 12512512554. (2012上海)设10≤x1

变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2.若记D(ξ1)、D(ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差，

22222则( )．

A．D(ξ1)>D(ξ2) B．D(ξ1)＝D(ξ2) C．D(ξ1)

解：E(ξ1)＝0.2x1＋0.2x2＋0.2x3＋0.2x4＋0.2x5＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)． x1＋x2x2＋x3x5＋x1

E(ξ2)＝0.2×＋0.2×＋?＋0.2×＝0.2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)．

222

－

∴E(ξ1)＝E(ξ2)，记作x，

－

∴D(ξ1)＝0.2[(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(x5－x)

222

＝0.2(x21＋x2＋?＋x5－5x)．

－

2

－

2

－

2

222

]＝0.2[x21＋x2＋?＋x5＋5x－2(x1＋x2＋?＋x5)x]

－－

x1＋x2??x2＋x3?x5＋x1?同理D(ξ2)＝0.2[?＋＋?＋?＋5x2－2(x1＋x2＋?＋x5)x]．

?2??2??2?－

－

222

22

x1＋x2?2x2x5＋x1?2x21＋x25＋x1??∵

?2?<2，?，?2?<2，

?x1＋x2?＋?x2＋x3?＋?＋?x5＋x1?D(ξ)．答案 A ∴?????2?1234512

?2??2???

20

222

5. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝1

·e2π·10

-(x-80)2002

(x∈R)，则下列命题中不正确的是( )

A．该市这次考试的数学平均成绩为80分

B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10

B [μ＝80，故A正确；σ＝10，故D正确；∵P(X>110)＝P(X>μ＋3σ)，P(X<50)＝P(X<μ－3σ)， ∴P(X>110)＝P(X<50)，故C正确. ]

6. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分（即得-1分）；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是 。 -1，0，1，2，3．

7．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．

1

解析 当l的斜率k为±22时，直线l的方程为±22x－y＋1＝0，此时坐标原点到l的距离d＝；当k

3152

为±3时，d＝；当k为±时，d＝；当k为0时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：

223

ξ P 1 32 71 22 72 32 71 1 755

，0，，3，22，用ξ22

121222144

所以E(ξ)＝×＋×＋×＋1×＝.答案

372737777

8.(2012新课标)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

日需求量n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．

①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

[审题视点] (1)根据日需求量分类求出函数解析式．(2)①根据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可． 解 (1)当日需求量n≥16时，利润y＝80. 当日需求量n<16时，利润y＝10n－80.

21

??10n－80，n<16，

所以y关于n的函数解析式为y＝?(n∈N)．

?80，n≥16?

(2)①X可能的取值为60，70，80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. X的分布列为

X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.

X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.

Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X)

若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为

Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.

由以上的计算结果可以看出，E(X)

9．(2013天津)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号

分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.

22

10．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？其中P(μ－2σ

13

解：(1)设参加竞赛的学生人数共n人．则P(X≥90)＝，(2分)

n

1－P?30

而P(X≥90)＝＝＝＝0.001 3.(6分)

222

13

∴＝0.001 3，n＝10 000(人)．∴参加竞赛的学生总数约有1万人．(7分) n

228

(2)设受奖学生的分数线为x0，则P(X≥x0)＝＝0.022 8，(9分)因为0.022 8<0.5，所以x0>60，

10 000

1－P?|X－60|

所以P(X≥x0)＝P(X－60≥x0－60)＝＝0.022 8，(12分)

2

所以P(|X－60|

标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (2)求随机变量ξ的分布列．

解 (1)∵x，y可能的取值为1,2,3，∴|x－2|≤1，|y－x|≤2，

∴ξ≤3，且当x＝1，y＝3或x＝3，y＝1时，ξ＝3.因此，随机变量ξ的最大值为3. ∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3＝9(种)，

22

∴P(ξ＝3)＝.故随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为. [5分]

99(2)ξ的所有取值为0,1,2,3.

∵ξ＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况，

ξ＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况， ξ＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况．

23

[3分]

[8分]

142

∴P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.

999则随机变量ξ的分布列为

ξ P 0 1 91 4 92 2 93 2 912. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0

解：射手射击次数的可能取值为1，2，?，9，10。

若??k(k?1,2,?,9)，则表明他前k?1次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此?的分布列为

k?1??(1?p)p(k?1,2,?,9) P(??k)??9??(1?p)(k?10)E??1?(1?p)0p?2?(1?p)p???9?(1?p)8p?10?(1?p)9 ?[1?2(1?p)???9(1?p)8]p?10?(1?p)9

用倍差法，可求得

1?2(1?p)???9(1?p)8

1?(1?p)99(1?p)9??21?(1?p)[1?(1?p)]?1?(1?p)9(1?p)?pp299

1?(1?p)99(1?p)91?(1?p)109所以E??[ ?]p?10(1?p)?2ppp13.（2008山东18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，

答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为

2221，乙队中3人答对的概率分别为,,且各人正确3332与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望；

(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).

解法一：(Ⅰ)由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且

2312222 01P(??0)?C3?(1?)?,P(??1)?C3??(1?)?,3273392242823P(??2)?C3?()2?(1?)3?,P(??3)?C3?()3?.339327 24

所以ε的分布列为 ε P 0 1 2 3 12 2791248?1??2??3??2. ε的数学期望为: Eε=0?2799272解法二：根据题设可知?～B(3,)因此ε的分布列为

34 98 272k2k22?kkP(??k)?C?()?(1?)?C3?3,k?0,1,2,3.333

22因为?～B(3,),所以E??3??233k3（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又

2?211121211?102P(C)?C32?()2?(1?)????????????4,3?332332332?33

21114P(D)?C32?()2?(??)?5,33323由互斥事件的概率公式得P(AB)?P(C)?P(D)?1043434??? 453532433.解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1

为互斥事件，故P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

22311111234221. =()?(2?)?C33?(?2??C2?2)?3232243323314. (2009山东19)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3

分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用?表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p 0.03 P1 P2 P3 P4

(1)求q2的值； (2)求随机变量?的数学期望E?;(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

解（:1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,P(A)?0.75, P(B)= q2,P(B)?1?q2.

根据分布列知: ?=0时P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75(1?q2)2=0.03,所以1?q2?0.2，q2=0.8.

25

（2）当?=2时, P1=P(ABB?ABB)?P(ABB)?P(ABB)w.w.w..s.5.u.c.o.m

?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)P(B)=0.75 q2( 1?q2)×2=1.5 q2( 1?q2)=0.24

当?=3时, P2 =P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.25(1?q2)2=0.01, 当?=4时, P3=P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?0.75q22=0.48, 当?=5时, P4=P(ABB?AB)?P(ABB)?P(AB)

?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)?0.25q2(1?q2)?0.25q2=0.24

所以随机变量?的分布列为 ? 0 2 3 4 5 0.48 0.24

p 0.03 0.24 0.01 随机变量?的数学期望E??0?0.03?2?0.24?3?0.01?4?0.48?5?0.24?3.63 （3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为P(BBB?BBB?BB)

?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?2(1?q2)q22?q22?0.896;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

15. (2010山东20)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，规则如下：

① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任

一题减2分；

② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于

或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；

③ 每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为

3111,,,，且各题回答正确与否相互之间没有影响. 4234(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用?表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求?的分布列和数学的E?.

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解：设A、B、C、D分别为敌一、二、三、四个问题，用MI（I=1,2,3,4）表示甲同学第i个问题回答正确，用N（i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi与Ni是对立事件（i=1,2,3,4）.由题意得P(MI)=

31111123,P(M2)= ，P(M3)= P(M4)=，所以 p（N1）=, P(N2)= , P(N3)=, P(N4)=. 42344234 (Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,则Q=M1M2M3+ N1M2M3M4+ M1N2M3M4+ M1M2N3M4+ N1M2N3M4

由于每题答题结果相互独立，因此

P（Q）=P（M1M2M3∪ N1M2M3M4∪ M1N2M3M4∪ M1M2N3M4∪N1M2N3M4）

=P（M1M2M3）+ P（N1M2M3M4）+ P（M1N2M3M4）+ P（M1M2N3M4）+ P（N1M2N3M4）

= P（M1）P（M2）P（M3）+ P（N1）P（M2）P（M3）P（M4）+ P（M1）P（N2）P（M3）P（M4）+ P（M1）P（M2）P（N3）P（M4）+ P（N1）P（M2）P（N3）P（M4） =

31111113111312111211??????????????+???= 423423442344234423441 8(Ⅱ)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4。

由于每题答题结果互相独立，所以 P（ξ=2）= P（N1 N2）= P（N1）P（N2）=

P（ξ=3）= P（M1M2M3）+ P（M1N2N3）= P（M1） P（M2）P（M3）+ P（M1） P（N2）P（N3） =

3113123131?????=, P（ξ=4）=1- P（ξ=2）- P（ξ=3）=1--= 4234238882因此 随机变量?的分布列为

? P 2 3 4 1 83 81 213127所以 E??2??3??4??.

8828注意：本题可以列表法解决。

16.（2012山东19）现有甲乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为

3，命中得1分，没有命中得42，每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的3结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击。（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX。 解：（Ⅰ）P?31211127?()??C2???； 4343336（Ⅱ）X?0,1,2,3,4,5

112131111121?()?.P(X?1)??()2?,P(X?2)?C2??, 43364312433931121121321P(X?3)?C2??,P(X?4)??()2?,P(X?5)??()2?

4333439433P(X?0)?X

0 1 2 27

3 4 5 11 91211114111EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.

9393123612P 1 361 31 91 317.(2013山东19) 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是 .假设每局比赛结果互相独立. 23 （1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率 （2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3：2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分x的分布列及数学期望. 18.(2014山东18) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域A,B，乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分。对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上

DCAB11的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，队员小明

23

28

回球的落点在C上的概率为

13，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次，小明的两次55回球互不影响。求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和?的分布列与数学期望.

解：（I）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”

?i?0,1,3?，则

P(A3)?11111,P(A?),P(A?)?1??； 1023236记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”

?i?0,1,3?，则

P(B?3)13,P(1B?)55131,P0(B?)?1?. ?555记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”， 由题意，D=A3B0+A1B0?A0B1?A0B3，由事件的独立性和互斥性，得

P(D)?P?A3B0+A1B0?A0B1?A0B3??P?A3B0)?P(A1B0)?P(A0B1)?P(A0B3?111113113?P?A3)P(B0)?P(A1)P(B0)?P(A0)P(B1)?P(A0)P(B3??????????.

2535656510所以，小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为

3。 10（Ⅱ）由题意，随机变量?的可能取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得

11111131P(??0)?P(A0B0)???,P(??1)?P(A1B0+A0B1)=P(A1B0）+P(A0B1)?????,65303565613111112P(??2)?P(A1B1)???,P(??3)?P(A3B0+A0B3)=P(A3B0）+P(A0B3)?????,

355256515131111111P(??4)?P(A3B1+A1B3)=P(A3B1）+P(A1B3)?????,P(??6)?P(A3B3)???.2535302510?随机变量?的分布列为

? P 0 1 301 162 1 53 2 154 11 306 1 10 ?其数学期望为E(?)?0?

111211191?1??2??3??4??6?? 30651530103029

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