初三上学期数学培优讲义90722

圆

知识要点：

例题讲解：

例1．如图，已知OA、OB是⊙0的两条半径，C、D分别为OA、OB上一点，且AC=BD，求证：AD=BC．

例2．如图，已知同心圆0，大圆的半径AO、BO分别交小圆于C、D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由．

例3.如图，已知AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，求证：∠ACB=90°．

例4.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为2，则下面各点在⊙0上的是( )． A．(1，1) B.(?1,3) C．（-2，-1） D.(2,?2)

例5.下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四边的中点在同一个圆上；③菱形的四边中点在同一个圆上；④等腰梯形的四边中点在同一个圆上，其中正确的说法有 ______（填序号）．

例6.如图，AB、AC是⊙0的两条弦，且AB=AC. 求证：AO⊥BC．

例7.如图，在⊙0中，AB为⊙0的弦，C、D是直线AB上两点，AC=BD，求证：OC=OD．

例8.如图，CD是⊙0的直径，A为DC延长线上一点，AE交⊙0于B，连OE，∠A=20°，AB=OC，求∠DOE的度数．

例9．如图，AB是⊙0的直径，CD是⊙0中非直径的弦，求证：AB>CD．

基础练习

1．在同一平面内与已知点0的距离等于3cm的所有点组成的图形是______. 2．下列说法正确的是( )．

A.直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C.圆中最长的弦是直径 D.直径只有一条

3．下列说法：①半圆是弧；②弧是半圆；③圆中的弧分为优弧和劣弧．其中正确的个数有( )．

A．O B．1 C．2 D．3

4．如图，点C在以AB为直径的半圆上，0为圆心，, ∠A= 20°，则∠BOC等于( )． A. 20° B．30° C. 40° D. 50° 5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙0上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD的度数为( )． A. 70° B. 60° C. 50° D．40°

6．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数是( )． A. 80° B. 90° C. 100° D. 120°

7．如图，OA是⊙0的半径，AB是弦，∠OAB= 45°，OA=8，则AB=______.

9．如图，△ABC和△ABD都为直角△，且∠C=∠D=90°． (1)求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．

(2)若将△ABD沿直线AB翻折后，问(1)中结论是否仍成立？请证明．

垂直于弦的直径

知识要点：

例题讲解：

例1．如图，⊙0的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，CE=1,ED=3，求⊙0的半径．

例2．如图，在Rt△ABO.中，∠O= 90°，AO=2,BO=1，以0为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，求PB的长．

例3.如图，在⊙0中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．若AP=2．BP=6，求MN的长．

例4.小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM =ON，则AB=CD. (1)请帮小雅证明这个结论；

(2)运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC= 90°，0为△ABC的角平分线的交点，以0为圆心，QB为半径的⊙0与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G，若AD=9，CF=2，求△ABC的周长．

基础练习

1．下列说法正确的是( )．

A.平分弦的直径垂直于弦 B．垂直于弦的直线必过圆心 C.垂直于弦的直径平分弦 D.平分弦的直径平分弦所对的弧 2．如图，已知直径MN上弦AB，垂足为C，下列结论：①AC=BC;②

??;??;④AM=BM.其中正确的个数为( )． AN?BNAM?BM③

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3．已知⊙0的半径为5cm，圆心0到弦AB的距离为4cm，则弦AB长为( )． A．8cm B．12cm C. 6cm D．10cm

4．如图，在半径为5的⊙0中，若弦AB=8，则△AOB的面积为( )． A. 24 B．16． C．12 D．8 5．已知⊙0的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是( )． A.23 B.43 C.3 D.4

6．如图，已知AB为⊙0的直径，且AB=15cm，弦CD⊥AB于M，若OM:OA=3:5，则CD长为( )． A. 3cm B. 6cm C. 12cm D. 24cm .

7．已知⊙0的半径为5cm，弦AB长6cm，则弦AB中点到劣弧AB中点的距离是______. 8．已知⊙0的直径AB=40，弦CD⊥AB于点E，且CD=32，则AE的长为______.

9. ⊙0中，弦AB的长为6cm，圆心0到AB的距离为4cm，则⊙0的半径长为( )． A. 3cm B. 5cm C. 4cm D. 6cm

10．AB是⊙O的-弦，半径OA=6，∠AOB=120°，则AB= ______.

11．如图，AB是两同心圆中大圆的弦，交小圆于C、D两点，求证：.AC=BD. 12．如图，在⊙0中，直径AB⊥弦CD，E为垂足，AE=4，CE=6，求⊙0的半径，

13．如图，⊙0过点B、C，圆心0在等腰直角△ABC的内部，∠BAC= 90°，OA=1，BC=6．

(1)求证：OA平分∠BAC; (2)求⊙0的半径R．

14．如图，半径为5的⊙P与y轴交于M（0，-4），N（0，-10），函数y?k(x?0)的图象x过点P，则k=______.

15．已知梯形ABCD的四个顶点都在⊙0上，AB∥CD，⊙0的半径为5cm，AB=6cm, CD=8cm,则S梯ABCD?______cm．

2

16．等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，底边BC=8cm，⊙0半径为5cm，则S△ABC=______. 17．如图，⊙0的弦AB、CD交于点P，AB=CD.求证：OP平分∠BPD.

18.（2011．武汉·中考）如图，铁路MN和公路PQ在点0处交汇，∠QON= 30°，公路PQ上A处距离0点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米／时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )．

A. 12秒 B. 16秒 C. 20秒 D.24秒．

19.如右图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m. (1)求拱桥的半径；

(2)现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？

20.如图，AB是半圆0的直径，AC是弦，点P从点B开始沿边BA向点A以1cm/S的速度移动，若AB长为10cm，点0到AC的距离为4cm. (1)求弦AC的长；

(2)问经过几秒钟后，△APC为等腰三角形，

弧、弦、圆心角

知识要点

例题讲解

例1．如图，⊙O中的弦AB =CD，求证：AD=BC．

例2．如图，OA、OB、OC是⊙0的三条半径，M、N分别是OA、

?. AC?BCOB上两点，且AM=20M, BN=20N, MC=NC,求证:?

例3．如图，AB、CD是⊙O的直径，弦DE∥AB，求证：AC=AE．

例4.如图，以?ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，⊙A

??EF?. 交AD、BC于E、F，延长BA交OA于G，求证：GE

例5.如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点,DE∥AB，

??2BE?. 求证：EC

基础练习

1．下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②相等的弧所对的弦相等；③相等的弦所对的弧相等；④半径相等韵两个半圆是等弧，其中正确的个数有( )． A．1个 B．2个 C.3个 D.4个

?,∠A= 30°，则∠C=______.3．在半径为1cm的⊙0中，弦AB?AC2．如图，在⊙O中，?长为2cm的弦所对的圆心角度数为( )．

A. 60° B. 90° C. 120° D. 45°

?所对的圆心角的度数为( )． 4．如图，弦AE∥直径CD，连AO，∠AOC=40°，则DEA. 40° B. 50° C. 60° D. 30°

5．如图，AB是⊙0的直径，BC、CD、DA都是⊙0的弦，且BC=CD= DA，则∠BCD=( )． A. 100° B. 110° C.120° D. 135°

AC6．如图，D、E分别是⊙0的半径OA、OB上的点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，CD=CE，则??的大小关系______. 与CB

?,刚下列结论正确的是( )． AB?2CD7．在⊙O中，?A．AB=2CD B．AB>2CD C．AB<2CD D．无法确定

8.如图，⊙01和⊙02是两个等圆，M是0102的中点，直线CB经过点M交⊙01于C、D，交⊙02于A、B两点，求证：AB=CD.

9.如图，AB为⊙O的直径，C、D分别都为OA、OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB,点E、F都在⊙O上，下列结论：

??BE?;③AE=2CF; ④四边形CDEF为正方形．AF?EF①CF= DE； ②?

其中正确的个数为______.（填序号）

10.如图，已知：AD是⊙0的直径，AB、AC是弦，且AB=AC. (1)求证：直径AD平分∠BAC；

?的中点，G是FB?的中点，⊙0的半径为1，求弦(2)若弦BC经过半径OA的中点E，F是CDGF的长；

圆周角

知识要点

例题讲解

例1．如图，OA、OB、OC都是半径，∠AOB=2∠BOC,求证：∠ACB=2∠BAC.

?上任意一点， 例2．如图，P是等边△ABC外接圆BC求证：PA=PB+PC．

例3.如图，△ABC中，AB>AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M. (1)求证：BE=CM． (2)求证：AB-AC=2BE．

例4.如图，M在x轴上，⊙M交x轴于A，B，交y轴于D、

AC的中点，AC交OD于E，交BD于N, F，D为?(1)求证：AE=DE;

(2)若AC=4，求点D的坐标；

(3)探究：EM与BN之间的数量关系和位置关系，

例5．如图，在⊙0中，C为劣?AB的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙0于E，连AE． (1)求证：AE是⊙0的直径； (2)求证：AE=DE．

AC上一点，例6.如图，AB为⊙0的直径，C为半圆的中点，D为?延长AD至E，使AE=BD，连CE，求

CE的值． DE

例7.如图，△ABC内接于⊙0，且AB>AC，∠BAC的外角平分线交⊙0于E，EF⊥AB，垂足为F． (1)求证：EB=EC; (2)分别求式子

AB?ACAB?AC、的值； BFAF(3)若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积，

基础练习 1．如图，△ABC内接于⊙0，AC是⊙0的直径，∠ACB=50°，点D是⊙0上一点，则∠D=( )． A．50° B．40° C．30° D．20°

2．如图，在⊙0的内接四边形ABCD中，∠BOD=90°，则∠BCD=______.

3．如图，AB是⊙0的直径，点D在⊙0上，∠AOD=130°，BC∥OD交⊙0于C，则∠A等于（ ）．

A.50° B. 40° C. 30° D. 20° 4．如图，四边形ABCD内接于⊙0，如果它的一个外角∠DCE= 64°，那么∠BOD的度数为( )． A. 128° B. 100° C. 64° D. 32°

5．如图，A、B、C是⊙0上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC=( )． A. 30° B．40° C．50° D．60°

6．如图，AB是⊙0的直径，C、D、E都是⊙0上的点，则∠1+∠2=______.

7．如图，△BCE是⊙0的内接三角形，∠E=45°，BC?22,则⊙0的半径为______.

ACB上任意一点，CD平分∠ACB，求证：ED8．如图，已知E是?平分∠AEB.

?的中点，连EO并延长交⊙0于F，9．如图，AB、CD是⊙0中互相垂直的直径，点E是BC连EA、ED.求证：FE平分∠AED.

10．如图，△ABC中，∠A=60°，以BC为直径作⊙0分别交AB、AC于D、E， (1)求证：AB=2AE;

(2)若AE=2，CE=1，求BC．

11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙0的直径， 求证：∠BAE=∠CAD．

12．如图，在⊙0中，∠BAC=60°，∠DAC= 30°,AB=2, AD=6, (1)求∠DCB； (2)求CD的长．

13．如图，⊙0的半径为1，AB是⊙0的一条弦，AB?3,则弦AB所对的圆周角的度数为( )．

A. 30° B. 60°

C. 30°或 150° D. 60°或 120°

14.如图，△ABC中，BC=4，以BC为直径的半圆交AB于D，交AC于E，BD=2,CE?22, (1)求∠ABC的度数； (2)求∠A的度数．

专题 与圆有关的角度计算

一、运用辅助圆求角度：

1．如图，△ABC内有一点D, DA=DB=DC，若∠DAB=20°,∠DAC=30°，则∠BDC= ______. 2．如图，AE=BE=DE=BC=DC，若∠C=100°，则∠BAD=______.

3．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠CBD=20°, ∠BDC=30°，则∠BAD=______.

?4．如图，ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若∠D=60°，则∠AEC=______.

5．如图，O是四边形ABCD内—点，OA=OB=OC，∠ABC= ∠ADC= 70°，则∠DAO+∠DCO=______. 6．如图，四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，∠ADC=25°，则∠ABC的度数为______.

二、运用圆周角、圆心角相互转化求角度：

7．如图，AB为⊙O直径，C为弧AB的中点，D为半圆?AB上一点，则∠ADC= ______. 8．如图，AB为⊙0直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，连接CB，则∠ABC= ______.

??3?AC,则∠ABC=______. 9．如图，AB为⊙0直径，BC

10．如图，AB为⊙0的直径，点C、D在⊙0上，∠BAC=50°，则∠ADC=______. 11．如图，⊙0的半径为1，弦AB?2,弦AC?3.则∠BOC=______.

AC??AD,∠P=30°，则∠12．如图，PAB、PCD是⊙0的两条割线，PAB过圆心O，若?BDC=______.

专题 与垂径定理有关的计算

1．如图，AB是⊙0的弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙0于点D，点E在⊙0上．若∠BED=30°，⊙0的半径为4，则弦AB的长是( )．

A．4 B.43 C．2 D.23

2．如图，弦AB垂直于⊙0的直径CD，OA=5，AB=6，则BC=( )． A．310 B. 210 C．10 D. 910

3.如图，半径为25的⊙0内两条互相垂直的弦AB、CD交于点P，AB=8，

CD=6，则OP=_____. 4．如图，在圆⊙0内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则⊙0的半径为( )． A．12 B．10 C．27 D.47

5．如图，正△ABC内接于⊙0，D是⊙0上一点，∠DCA=15°, CD=10，则BC的长为( )．

A．56 B. 102 C．52 D.

2

56

6．如图，⊙0的直径AB为4，C为弧AB的中点，E为OB上一点，∠AEC= 60°，CE的延长线交⊙0于D，则CD的长为( )． A．23 B．3 C．22 D. 6

7．如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时107千米的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为( )． A．

专题 与全等有关的计算(一)

1．如图，⊙0的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙0于D，则CD长为( )．

A．7 B. 72 C．82 D．9

10小时B．10小时 C．5小时 D．20小时3

?,MNAM?CM2．如图，AB是半圆0的直径，C是半圆上一点，?⊥AB于N,若ON=3，AN=2，则AC的长为( )． A.6 B.8 C.5 D.33

AN上一3．如图，AB是⊙0的直径，点N是半圆的中点，点C为?点，NC?3,则BC-AC的值是( )．

A．3 B. 23 C．6 D. 26

?,点M为BC?上一点，AC?BC4．如图，点A、B、C为⊙0上三点，?CE⊥AM于E，AE=5，ME=3，则BM的长为( )． A．2 B．2 C．22 D. 3

5．如图，在⊙0中，弦AB=AC，点D为⊙0上一点，AE⊥CD于E，BD=4，DE=1．则CE的长为( )．

A.3 B.4 C.5 D.23

6．如图，AB是⊙0的直径，MN是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，AB=10,MN=8，则BF-AE等于( )．

A．5 B．6 C．7 D．8

专题 与全等有关的计算（二）

1．如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，CD平分∠ACB交⊙0于点D，交AB于点F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH. (1)求证：OH⊥AC；

(2)若AC=6，BC=4，求OH的长．

2．如图，Rt△ABC内接于⊙0，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠OCD.

(1)求证：EA=EB ;

(2)若CE=4，求四边形ACBE的面积．

3．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，以CD为直径作⊙O交边AB于E、F两点，交AC于H，DG⊥AB于点G. (1)求证：AF=GE；

(2)若AF=2，FG=AC=4，求⊙0的半径．

?,D为⊙O的弦AB上AC?BC4．如图，AB为⊙0的直径，?一点，延长DA到E，使AE=BD.

(1)求证：∠E=45°；

(2)若BC?5,AD=1，求四边形ACBD的面积．

专题 与勾股定理有关的计算（一）

1．如图，D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交△ABC三边于E、F、G三点，连EF、FG．

(1)求证：∠EFG=∠B；

(2)若AC?2BC?45,D为AE的中点，求CD的长．

?的中点，CE⊥AB于E，2．如图，AB是⊙0的直径，C是BDBD交CE于F．

(1)求证；CF=BF;

(2)若AD=2，⊙0的半径为3，求△BCD的面积．

3．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是?，连AP，BP，过AB上任一点（点P不与A、B重合）C作CM //BP交PA的延长线于点M. (1)求证：△PCM为等边三角形；

(2)若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积．

4．如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，D为CB延长线上一点，且∠CAD= 45°，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F． (1)求证；CE =EF；

(2)若DF=2，EF=4，求AC的长，

专题 与勾股定理有关的计算（二）

?. AC?CE1．如图，AB为⊙0的直径，CD⊥AB，垂足为D，?(1)求证：AF=CF；，

(2)若⊙O的半径为5，AE=8，求EF的长．

2．如图，⊙0中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD. (1)求证：AD=AN；

(2)若AB?42,ON =1，求⊙0的半径．

3．如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上一点，CD⊥AB于D，点E是⊙0上一点，且∠ACE=2∠BCD，连AE.

(1)求证：CO⊥AE；

(2)若BD=1，AF=4，求⊙0的半径．

4．如图，已知直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，CD=2AB，过A、B、D三点的⊙0分别交B文CD于E、M. (1)求证：DM= CM； (2)若CE=2,CM?6,求AE的长．

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