推荐-通州市三余中学2018届高三第三次模拟考试数学试题（理科）

通州市三余中学2018届高三第三次模拟考试

数学试题（理科）

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题(共14题)、解答题(共6题)，满分160分，考试时间为120分钟。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．请认真核对答题纸密封线内规定填写的项目是否准确。

4．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置． 1．已知集合A?{x|x?11x?12?0}，集合B?{x|x?2(3n?1),n?Z}，则A?B等于 ▲ ． 2．函数f(x)?2x?2?1log2(x?1)的定义域为 ▲ ．

23．若函数f(x)?(m2?m?1)xm▲ ．

4．设f(x)?log3(3?1)?x?2m?3是幂函数，且在x?(0,??)上是减函数，则实数m?

1ax是偶函数，则a的值为▲ ． 25．一几何体的三视图如下，它的体积为 ▲ ．

6．若函数f(x)?x2?lga?2x?2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是 ▲ ．

7．已知m、n是直线,?、?、?是平面，给出下列命题：

①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；

②若α//β，α∩?= m，β∩?= n，则m//n；

③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，n//m且n?α，n?β，则n//α且n//β. 其中所有正确命题的序号是 ▲ .

8．已知命题p：函数y?log0.5(x2?2x?a)的值域为R.命题q：函数y??(5?2a) 是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是▲ ． 9．曲线y?x?4x?9及直线y?x?3所围封闭区域的面积为 ▲ ．

10．已知函数y=f(x)（x∈R）满足f(x+1)=f(x—1)，且x∈[—1，1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与

y=log5x的图象的交点个数为 ▲ ． 11．定义在(0,??)的函数f(x)满足f(x)?f(y)?f(xy)，且x?1时f(x)?0，若不等式

2xf(x2?y2)?f(xy)?f(a)对任意x,y?(0,??)恒成立，则实数a的取值范围

▲ ．

212．点P是曲线y?x?lnx上任意一点，则点P到直线y?x?2的最小距离为▲ ．

13．已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为 ▲ ．

14．定义在R上的函数f(x)，给出下列四个命题：

（1）若f(x)是偶函数，则f(x?3)的图象关于直线x?3对称 （2）若f(x?3)??f(3?x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称

（3）若f(x?3)=f(3?x)，且f(x?4)?f(4?x)，则f(x)的一个周期为2。 （4）y?f(x?3)与y?f(3?x)的图象关于直线x?3对称 其中正确命题的序号为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

?cx?1 (0?x?c)9?2已知函数f(x)???x满足f(c)?．

8c2?2?1 (c≤x?1)?（1）求常数c的值； （2）解不等式f(x)?2?1． 8 16．（本小题满分14分）

如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体． （1） 画出该几何体的正视图；

（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1； （3） ． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D． 17．（本小题满分14分） 如图，等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y??切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值。

12x?2，x???2,2?的图象2y C Q B R D O P x A

18．（本小题满分16分）

2已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f(x)?x?2x。

（1）求函数g(x)的解析式；

（2）若h(x)?g(x)??f(x)?1在[?1,1]上是增函数，求实数?的取值范围。 19．（本小题满分16分） 已知a是实数，函数f(x)?x(x?a)。

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(a)为f(x)在区间?0,2?上的最小值。

（i）写出g(a)的表达式；（ii）求a的取值范围，使得?6?g(a)??2。

20．(本小题满分16分) 设f(x)?122x?tx?tx?3lnx,g(x)?2,且a、b为函数f(x)的极值点(0?a?b) 2x?3 （１）求t的取值范围；

（２）判断函数g(x)在区间(?b,?a)上的单调性，并证明你的结论； （3）设函数 y=g(x)在区间??b,?a?上的最大值比最小值大

状况(相同根算一根)。

2，讨论方程f(x)=m解的3

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数学试题（理科）

参考答案及评分标准

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸的相应位置． 1．已知集合A?{x|x?11x?12?0}，集合B?{x|x?2(3n?1),n?Z}，则A?B等于 ▲ ．{2，8} 2．函数f(x)?2x?2?1log2(x?1)的定义域为 ▲ ．?3,???

23．若函数f(x)?(m2?m?1)xm▲ ．m=2

4．设f(x)?log3(3?1)?x?2m?3是幂函数，且在x?(0,??)上是减函数，则实数m?

11ax是偶函数，则a的值为▲ ．?

223 25．一几何体的三视图如下，它的体积为 ▲ ．

6．若函数f(x)?x2?lga?2x?2在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a的取值范围是 ▲ ．(1,10)

7．已知m、n是直线,?、?、?是平面，给出下列命题：

①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；

②若α//β，α∩?= m，β∩?= n，则m//n；

③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β=m，n//m且n?α，n?β，则n//α且n//β.

其中所有正确命题的序号是 ▲ . ②④

8．已知命题p：函数y?log0.5(x2?2x?a)的值域为R.命题q：函数y??(5?2a) 是R上的减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．1

29．曲线y?x?4x?9及直线y?x?3所围封闭区域的面积为 ▲ ．x10．已知函数y=f(x)（x∈R）满足f(x+1)=f(x—1)，且x∈[—1，1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与

y=log5x的图象的交点个数为 ▲ ．4 11．定义在(0,??)的函数f(x)满足f(x)?f(y)?f(xy)，且x?1时f(x)?0，若不等式

1 6f(x2?y2)?f(xy)?f(a)对任意x,y?(0,??)恒成立，则实数a的取值范围

▲ ．0,2

12．点P是曲线y?x2?lnx上任意一点，则点P到直线y?x?2的最小距离为▲ ．2 13．已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为 ▲ ．1或2

14．定义在R上的函数f(x)，给出下列四个命题：

（1）若f(x)是偶函数，则f(x?3)的图象关于直线x?3对称 （2）若f(x?3)??f(3?x),则f(x)的图象关于点(3,0)对称

（3）若f(x?3)=f(3?x)，且f(x?4)?f(4?x)，则f(x)的一个周期为2。 （4）y?f(x?3)与y?f(3?x)的图象关于直线x?3对称 其中正确命题的序号为 ▲ ．（2）（3）

??

二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

?cx?1 (0?x?c)9?2已知函数f(x)???x满足f(c)?．

8c2?2?1 (c≤x?1)?（1）求常数c的值； （2）解不等式f(x)?2解：（1）因为0?c?1，所以c?c；由f(c)?22?1． 89913，即c?1?，c?． 882?11??x?1，??x????22???（2）由（1）得f(x)??

????2?4x?1，≤x?1???????由f(x)?1212?x?， ?1得，当0?x?时，解得2428当

115≤x?1时，解得≤x?， 228?25?2???x??． 所以f(x)??1的解集为?x8?8?4??16．（本小题满分14分）

如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1—A1BC1后得到的几何体． （1） 画出该几何体的正视图；

（2） 若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D1O∥平面A1BC1； （3）． 求证：平面A1BC1⊥平面BD1D．

解：（1）该几何体的正视图为：-------------------------------------------------------3分

（2）将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，

依题意可知，D1O1∥OB，且D1O1=OB，即四边形D1OB O1为平行四边形，--6分

则D1O∥O1B，因为BO1?平面BA1C1，D1O?平面BA1C1，

所以有直线D1O∥平面BA1C1；-------------------------------------------------------8分

（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，

则DD1⊥A1C1，---------------------------------------------------10分

另一方面，B1D1⊥A1C1，---------------------------------------------------------12分 又∵DD1∩B1D1= D1，∴A1C1⊥平面BD1D，

∵A1C1?平面A1BC1，则平面A1BC1⊥平面BD1D．-------------------14分

17．（本小题满分14分） 如图，等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y??切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值。

解：设梯形ABCD的面积为s，点P的坐标为

12x?2，x???2,2?的图象2y C Q B 12(t,?t?2)(0?t?2)。由题意得， P R 2点Q的坐标为(0,2)，直线BC的方程为

1O A y?2 y??x2?2, ?y???x ?y?|x?t??t D 212 ?直线AB的方程为y?(?t?2)??t(x?t),

212即：y??tx?t?2

2t2?4t2?4,?A(,0). 令y?0 得，x?2t2t11令y?2 得，x?t?B(t,2)

2211t2?42)?2?2?2(t?)?42 ? S??(t?222ttx

当且仅当t?2，即t?2时，取“=”且2??0,2?， t ?t?2时，S有最小值为42. ?梯形ABCD的面积的最小值为42。

18．（本小题满分16分）

2已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f(x)?x?2x。

（1）求函数g(x)的解析式；

（2）若h(x)?g(x)??f(x)?1在[?1,1]上是增函数，求实数?的取值范围。

解：（1）设P(x,y)为g(x)图像上任一点，则P关于原点的对称点Q(x0,y0)在f(x)的图

?x0?x?0??x0??x?2.……………………………3分 ,即?像上，且??y0??y?y0?y?0??2点Q(x0,y0)在函数y?f(x)图像上，

?y0?x02?2x0,

??y?x2?2x ，即y??x2?2x,

故g(x)??x?2x.………………………………………………………………… 7分 （2）h(x)??(1??)x?2(1??)x?1.

①当???1时，h(x)?4x?1在[?1,1]上是增函数，????1满足要求；……9分 ②当???1时，对称轴的方程为x?i）当???1时，

221??, 1??1????1,解得???1；…………………………………………12分 1??1???1，解得?1???0,…………………………………… 14分 ii）当???1时，

1??综上，??0..........................................................16分

19．（本小题满分16分） 已知a是实数，函数f(x)?x(x?a)。

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）设g(a)为f(x)在区间?0,2?上的最小值。

（i）写出g(a)的表达式；（ii）求a的取值范围，使得?6?g(a)??2。

??)， 解：（Ⅰ）函数的定义域为[0，x?a3x?a?（x?0）． 2x2x若a≤0，则f?(x)?0， f(x)有单调递增区间[0，??)．

a若a?0，令f?(x)?0，得x?，

3a当0?x?时，f?(x)?0，

3a当x?时，f?(x)?0．

3?a??a?f(x)有单调递减区间?0，?，单调递增区间?，???．

?3??3?2]上单调递增， （Ⅱ）解：（i）若a≤0，f(x)在[0，所以g(a)?f(0)?0．

?a??a?

若0?a?6，f(x)在?0，?上单调递减，在?，2?上单调递增，

?3??3?f?(x)?x?2aa?a?． ???33?3?2]上单调递减， 若a≥6，f(x)在[0，所以g(a)?f?所以g(a)?f(2)?2(2?a)．

a≤0，?0，??2aa综上所述，g(a)??? ，0?a?6，33??2(2?a)，a≥6．?（ii）令?6≤g(a)≤?2． 若a≤0，无解．

若0?a?6，解得3≤a?6．

若a≥6，解得6≤a≤2?32．

故a的取值范围为3≤a≤2?32

20．(本小题满分16分) 设f(x)?122x?tx?tx?3lnx,g(x)?2,且a、b为函数f(x)的极值点(0?a?b) 2x?3 （１）求t的取值范围；

（２）判断函数g(x)在区间(?b,?a)上的单调性，并证明你的结论； （3）设函数 y=g(x)在区间??b,?a?上的最大值比最小值大

状况(相同根算一根)。

解：（1）?f(x)?2，讨论方程f(x)=m解的3123x?tx?3lnx?f'(x)?x?t?(x>0) 2x2 由题意知，a,b是方程f'(x)?0即x?tx?3?0的两个不等正实根

?t?a?b?ab?3???t.?a?b?2ab?23 ?? 得 ?2????t?12?0?t?23??b?a?0 ?t?23

（2）g(x)在区间(?b,?a)单调递增

2x?t?2x2?2tx?6证明?g(x)?2 ?g'(x)? 22x?3(x?3) 令h(x)??2x2?2tx?6 ，对称轴为x??22ta?b?? 22 又h(?a)??2a?2ta?6?2b?6?0?g'(x)?0对x?(?b,?a)恒成立

?g(x)在区间(?b,?a)上单调递增

（3）由（2）可知g(x)在区间[?b,?a]单调递增

?2a?t?2b?tg(x)?g(?b)? mina2?3b2?3?2a?t?2b?t2?2? ?a?b?t,ab?3 ?23a?3b?3b?aa?b11即2?2?(b?a)(2?2)?3 a?3b?3a?3b?3?g(x)max?g(?a)?

消去b可得：a?2a?3?0

?a?1(a??3舍） b?3,t?4

2?f(x)?123x?4x?3lnx ?f'(x)?x?4? 2x令f'(x)?0得x?1 或x?3 ?x?(01)时f'(x)?0

x?(1,3)时f'(x)?0 x?(3,??)时f'(x)?0

7 215?3ln3 y?f(x)在x?3时，取得极大值＝－2715?3ln3时,方程有一根 ?当m??,或m??22715?3ln3时,方程有二根 当m＝?,或m＝?

22157?3ln3?m??时,方程有三根 当?22?y?f(x)在x?1时，取得极大值＝－

线 名 姓 封 号 学 级 班 密

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数学试题（理科）

一．填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把结果直接填在题中横线上)

1. __________________ 2. ___________________________ 3. __________________ 4. ___________________________ 5. __________________ 6. ___________________________ 7. __________________ 8. ___________________________ 9. __________________ 10. __________________________ 11. _________________ 12. __________________________ 13. _________________ 14. __________________________

二．解答题：(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.

16.

17. 18.

班级 学号 姓名 密 封 线 19．

20.

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