高等数学复旦大学出版社习题答案十三

高等数学复旦大学出版社习题答案

习题十三

1. 求下列函数在所示点的导数：

(1)f t sint π ，在点t ； 4 cost 解： πf 4

(2)g x,y x y ，在点 x,y 1,2 ； 22 x y

解：g 1,2 1 21 4

usinv u (3)T ucosv

v v u 1 ，在点 ； v π

10 1 解：T 0 1

1 0

u x2 2y (4) v x2 2xy在点 3, 2 .

2w 3xy 2y

6

解： 6

36 2 6 2

w w w,,2. 设w f x,y,z ,u g x,z ,v h x,y ，求. x y z

解： w w w v w w u w v w w u , x x v x y u y v x z u z

13.

若r r, r2, , f r , rn n 3 . r

解：

r 1111 x,y,z , r2 2 x,y,z , 3 x,y,z , f r f r x,y,z , rn nrn 2 x,y,z rrrr

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4. 求u x2 2y2 z2 4xy 4x 2y 8z在点O(0，，00，)A1，(1，1，)B 1，( 1， 1的)梯度，并求梯度为零的点.

解： 4,2, 8 , 2,10, 6 , 10, 6, 10 , 3,5,4 2

5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5).

证明：略

6. 计算下列向量场A的散度与旋度：

(1)A y2 z2,z2 x2,x2 y2 ；

解：0,2 y z,z x,x y

(2)A x2yz,xy2z,xyz2 ；

解：6xy, x z2 y2 ,y x2 z2 ,z y2 x2 ,,(3)A . yzzxxy xyz

解：111 yzzxxy222222y 1 yzzxx， , , xyz zyxzyx

7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3).

解：略。

8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符 推导） 解：略。

9. 证明：场A yz 2x y z ,xz x 2y z ,xy x y 2z 是有势场，并求其势函数. 解：略。

10. 若流体流速A x2,y2,z2 ，求单位时间内穿过1球面x2 y2 z2 1，x 0,y 0,z 08的流量. 3解： 8

11. 设流速A y,x,c (c为常数)，求环流量：

(1)沿圆周x2 y2 1,z 0；

解：2

(2)沿圆周 x 5 y2 1,z 0.

解：2 2

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