含参不等式恒成立问题的求解策略
更新时间:2024-01-25 11:37:01 阅读量: 教育文库 文档下载
- 含参不等式恒成立专题推荐度:
- 相关推荐
含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0,x?R),有
1)f(x)?0对x?R恒成立???a?0???0
2)f(x)?0对x?R恒成立???a?0??0.
?例1.已知函数y?lg[x2?(a?1)x?a2]的定义域为R,求实数a的取值范围。 解:由题设可将问题转化为不等式x2?(a?1)x?a2?0对x?R恒成立,即有
??(a?1)2?4a2?0解得a??1或a?13 所以实数a的取值范围为(??,?1)?(13,??)。
若二次不等式中x的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
例2.设f(x)?x2?2mx?2,当x?[?1,??)时,f(x)?m恒成立,求实数m的
取值范围。
解:设F(x)?x2?2mx?2?m,则当x?[?1,??)时,F(x)?0恒成立 当??4(m?1)(m?2)?0即?2?m?1时,F(x)?0显然成立; 当??0时,如图,F(x)?0恒成立的充要条件为:
?????0?F(?1)?0解得?3?m??2。 ?????2m2??1综上可得实数m的取值范围为[?3,1)。
yx -1 O 二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:
1)f(x)?a恒成立?a?f(x)min 2)f(x)?a恒成立?a?f(x)max
例3.已知f(x)?7x2?28x?a,g(x)?2x3?4x2?40x,当x?[?3,3]时,
f(x)?g(x)恒成立,求实数a的取值范围。
解:设F(x)?f(x)?g(x)??2x3?3x2?12x?c, 则由题可知F(x)?0对任意x?[?3,3]恒成立 令F'(x)??6x2?6x?12?0,得x??1或x?2
而F(?1)??7a,F(2)?20?a,F(?3)?45?a,F(3)?9?a, ∴F(x)max?45?a?0
∴a?45即实数a的取值范围为[45,??)。
x2?2x?a,x?[1,??),若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,例4.函数f(x)?x求实数a的取值范围。
解:若对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立,
x2?2x?a?0恒成立, 即对x?[1,??),f(x)?x考虑到不等式的分母x?[1,??),只需x2?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立而得 而抛物线g(x)?x2?2x?a在x?[1,??)的最小值gmin(x)?g(1)?3?a?0得
a??3
注:本题还可将f(x)变形为f(x)?x?a?2,讨论其单调性从而求出f(x)最小x值。
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:
1)f(x)?g(a)(a为参数)恒成立?g(a)?f(x)max 2)f(x)?g(a)(a为参数)恒成立?g(a)?f(x)max 实际上,上题就可利用此法解决。
略解:x2?2x?a?0在x?[1,??)时恒成立,只要a??x2?2x在x?[1,??)时恒成立。而易求得二次函数h(x)??x2?2x在[1,??)上的最大值为?3,所以
a??3。
例5.已知函数f(x)?ax?4x?x2,x?(0,4]时f(x)?0恒成立,求实数a的取值范围。
2解: 将问题转化为a?4x?x对x?(0,4]恒成立。
x令g(x)?4x?x2,则a?g(x)min x由g(x)?4x?x2?x4?1可知g(x)在(0,4]上为减函数,故xg(x)min?g(4)?0
∴a?0即a的取值范围为(??,0)。
注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化。
例6.对任意a?[?1,1],不等式x2?(a?4)x?4?2a?0恒成立,求x的取值范围。
分析:题中的不等式是关于x的一元二次不等式,但若把a看成主元,则问题可转化为一次不等式(x?2)a?x2?4x?4?0在a?[?1,1]上恒成立的问题。
解:令f(a)?(x?2)a?x2?4x?4,则原问题转化为f(a)?0恒成立(a?[?1,1])。
当x?2时,可得f(a)?0,不合题意。
?f(1)?0当x?2时,应有?解之得x?1或x?3。
?f(?1)?0故x的取值范围为(??,1)?(3,??)。
注:一般地,一次函数f(x)?kx?b(k?0)在[?,?]上恒有f(x)?0的充
f(?)?0。 要条件为???f(?)?0五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充分说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道,函数图象和不等式有着密切的联系:
1)f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方; 2)f(x)?g(x)?函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。 例7.设f(x)??x2?4x , g(x)?成立,求实数a的取值范围.
分析:在同一直角坐标系中作出f(x)及g(x) 的图象如图所示,
f(x)的图象是半圆(x?2)2?y2?4(y?0) g(x)的图象是平行的直4x?1?a,若恒有f(x)?g(x)3y -2 -4 -4 O x 线系4x?3y?3?3a?0。要使f(x)?g(x)恒成立,则圆心(?2,0)到直线4x?3y?3?3a?0的距离满足 d?a??5或a??8?3?3a5?2解得
5(舍去) 3由上可见,含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多,方法也多种多样,但其核心思想还是等价转化,抓住了这点,才能以“不变应万变”,当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
正在阅读:
含参不等式恒成立问题的求解策略01-25
《木兰花令 拟古决绝词》的艺术特色10-21
2008年山东省泰安市中考英语试题及答案05-22
沥青混凝土路面施工组织设计11-23
2021年教育和体育人才工作总结08-22
幼儿园家长委员会园长发言稿04-11
大学语文思考题思路提示 大一05-02
城市管理行政执法常用法律法规选编目录10-13
部编版五年级上册语文第四单元基础知识复习检测(附答案)04-05
回忆往事的感慨句子—伤心痛苦的回忆的句子08-04
- exercise2
- 铅锌矿详查地质设计 - 图文
- 厨余垃圾、餐厨垃圾堆肥系统设计方案
- 陈明珠开题报告
- 化工原理精选例题
- 政府形象宣传册营销案例
- 小学一至三年级语文阅读专项练习题
- 2014.民诉 期末考试 复习题
- 巅峰智业 - 做好顶层设计对建设城市的重要意义
- (三起)冀教版三年级英语上册Unit4 Lesson24练习题及答案
- 2017年实心轮胎现状及发展趋势分析(目录)
- 基于GIS的农用地定级技术研究定稿
- 2017-2022年中国医疗保健市场调查与市场前景预测报告(目录) - 图文
- 作业
- OFDM技术仿真(MATLAB代码) - 图文
- Android工程师笔试题及答案
- 生命密码联合密码
- 空间地上权若干法律问题探究
- 江苏学业水平测试《机械基础》模拟试题
- 选课走班实施方案
- 不等式
- 求解
- 策略
- 成立
- 问题
- VB中treeview控件的使用方法
- VB(1-2)章复习练习
- 最新的二年级下册语文各单元最好的 看拼音写汉字专练
- 初中思想品德教学中渗透漳浦优秀传统文化
- 自考的计算机基础上机考试试题的详细讲解
- LTE eMTC 协议介绍 - 图文
- 激发学生学习地理的兴趣
- 20181709《现代远程学习概论》作业和答案解析
- 热工考试题A答案
- 人教版小学四年级下册语文质量检测试题 共五套
- 浙江国华宁海发电厂皮带机技术协议(2004.02.14)新 - 图文
- 2016年七市高三三月联考历史试卷分析及备考对策
- 2013-2014学年度第二学期教研记录 - 图文
- 2016-2021年中国孔板脱水仪行业市场发展现状研究及投资战略咨询报告
- 86行流动资金贷款管理暂行办法实施细则
- 湖南省岳阳市第二中学2015-2016学年七年级生物上学期期末考试试题
- 航模校本教材 - 图文
- 小学一年级上册体育全册整套教案
- 新建5000头高产奶牛繁育场建设项目工程可行性研究报告
- 2013年安徽省职业院校技能大赛中职组农业技能大赛竞赛规程