第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
更新时间:2023-10-09 15:00:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下: 粒子数Ni 速率Vi(m/s)
试求(1)平均速率V;(2)方均根速率V 解:(1)平均速率:
V?2?1.00?4?2.00?6?3.00?8?4.00?2?5.00?3.18(m/s)
2?4?6?8?222 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 (3)最可几速率Vp
(2) 方均根速率
V2??NiVi2?3.37(m/s)
?Ni3-2 计算300K时,氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。
解:VP?8RT2RT?2?8.31?300?395m/s
32?10?3??V?2???8?8.31?300?446m/s ?33.14?32?10?3?8.31?300?483m/s
32?10?3V3RT?
3-3 计算氧分子的最可几速率,设氧气的温度为100K、1000K和10000K。
解:VP?2RT?代入数据则分别为:
T=100K时 VP?2.28?102m/s T=1000K时 VP?7.21?102m/s T=10000K时 VP?2.28?103m/s
3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率,求T2/T1。
解:因V2?3RT? V?8RT2??
由题意得:
3RT?8RT2???
∴T2/T1=
3? 83-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数(在计算中可
将dv近似地取为△v=1m/s)
解:设1.0cm3氮气中分子数为N,速率在500~501m/s之间内的分子数为△N,
由麦氏速率分布律:
mN?4?()e△ N=
2?KT ∵ Vp2=
3m2?V22KT?V2??V
2KT
,代入上式 m
4N?1V?VP?2e △N=?Vp又VP?2?V22Vp?V
因500到501相差很小,故在该速率区间取分子速率V =500m/s,
2?8.31?273?402m/s △V=1m/s
28?10?3v
( =1.24)代入计算得:△N=1.86×10-3N个 vp
3-6 设氮气的温度为300℃,求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1
与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。
解: 取分子速率为V1=3000m/s V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s 由5题计算过程可得: △N1=
4N?V?1p?4NV?2eVpV?2eVp22?V122Vp?V1
△N2=
??V?1p?V222Vp?V2
(∴ △N/△N2=
V12)?eVpV12)eVp?(V12)Vp?((V12)Vp
其中VP=
2?8.31?573?2.18?103m/s ?32?10v1v2
=1.375, =0.687
vpvp
?N11.3752?e?1.375 ∴ ??0.969 2?0.6872?N20.687?e2 解法2:若考虑△V1=△V2=10m/s比较大,可不用近似法,用积分法求△N1,
△N2
dN=
4N?V?3p?V2V1e?V22VPV2dV
V1 △N1=?dN??dN??dN
00V2 △N2=?dN??dN??dN
V300V4V4V3vi
令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果:
vp
?Vi0dN?N[erf(xi)?22?xie?xi
22∴ △N1=N[erf(x2)??xie?x2]?N[erf(x1)?2?x1e?x1] (1)
2 △N2=N[erf(x4)?2?x4e?x4]?N[erf(x3)?22?x3e?x3] (2)
2其中VP=
2RT??2.182?103m/s
x1?V1V?1.375 x2?2?1.379 VPVPV3V?0.687 x4?4?0.6722 VPVPx3?查误差函数表得:
erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489 erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722
将数字代入(1)、(2)计算,再求得:
?N1?0.703 ?N2
3-7 试就下列几种情况,求气体分子数占总分子数的比率: (1) 速率在区间vp~1.0vp1内 (2) 速度分量vx在区间vp~1.0vp1内
(3) 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp~1.0vp1内
解:设气体分子总数为N,在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3 (1) 由麦氏速率分布律: △ N=?dN??dN??dN
V100V2V2V1令v2=1.01vp,vi=vp,xi?题结果可得;
vivv,则x1?1?1,x2?2?1.01,利用16vpvpvp22?N122?erf(x2)?x2e?x2?erf(x1)?x1e?x1 N??查误差函数表:erf(x1)=0.8427 erf(x2)=0.8468 ∴
?N1?0.008 N(2) 由麦氏速率分布律:
dNx?N1v?pe?2vxv2p?Ndvx
?(vx2)vp∴?N2??1v?p?e0v2vp0v2dvx?N?1v?p?e0v1?(vx2)vpdvx
vx2v)]d(x) vpvp?N21?N??vv1exp[?(x)2]d(x)?vpvp??v1vp0exp[?(令x?vxvv, x1?1?1,x2?2?1.01 vpvpvp?N21∴?N??x20e?x2dx?1??x10e?x2?dx
利用误差函数:
erf(x)?2??x0exp(?x2)dx
?N21?[erf(x2)?erf(x1)N2 1?[0.8468?0.8427]?0.21%2(3)令x?vx,由麦氏速度分布律得: vp?22vx?v2y?vzdN313?v?peN??v2p?dvxdvydvz
23x1?x1?N313x2?x2?()[?edx??edx]00N?
?N23?()?(0.002)3?0.8?10?8N2
3-8根据麦克斯韦速率分布函数,计算足够多的点,以dN/dv为纵坐标,v为横坐标,作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解:由麦氏速率分布律得:
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