§11.2 无穷积分的性质与收敛判别 数学分析课件(华师大 四版) 高

数学分析第十一章反常积分§2 无穷积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质二、非负函数无穷积分的

收敛判别法

三、一般函数无穷积分的

收敛判别法

*点击以上标题可直接前往对应内容本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

无穷积分的性质??非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分?af(x)dx收敛的充要条件是:???0,?G?a,当u1,u2?G时,?au1f(x)dx??uu2af(x)dx??uu21f(x)dx??.??a证设F(u)??f(x)dx,u?[a,??),则?au???f(x)dx收敛的充要条件是存在极限limF(u).由函数极限的柯西准则,此等价于

???0,?G?a,?u1,u2?G,F(u1)?F(u2)??,数学分析第十一章反常积分高等教育出版社后退前进目录退出

§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

即

?a??au1f(x)dx??u2af(x)dx??uu21f(x)dx??.根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.

性质1若?f1(x)dx与?????af2(x)dx都收敛,k1,k2为任意常数, 则

kf(x)?kf(x)dx??1122?a也收敛,且kf(x)?kf(x)dx??1122?a???k1?高等教育出版社??af1(x)dx?k2???af2(x)dx.数学分析第十一章反常积分§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

性质2若f在任何有限区间[a,u]上可积,则?a?a??f(x)dx与b?b??f(x)dx(?b?a),??b同时收敛或同时发散，且??f(x)dx??f(x)dx??af(x)dx.由性质2还可以得到性质2相当于积分区间可加性.

?a??f(x)dx收敛的另一个充要条件:???0,?G?a,当u?G时,?u??f(x)dx??.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

例1 若f(x)?h(x)?g(x),x?[a,??),f (x), g (x),h(x) 在任意[a, u]上可积, 且

?a证因为

??f(x)dx和???a??ag(x)dx都收敛,则?h(x)dx收敛.?au21??f(x)dx和???ag(x)dx收敛,由柯西准则的必要性,

???0,?G?a,?u1,u2?G,有

?uf?x?dx??,?ug?x?dx??,1u2数学分析第十一章反常积分高等教育出版社

§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

又因为f(x)?h(x)?g(x),所以????u2u1f(x)dx??h(x)dx??g(x)dx??,u1u1u2u2即?uu21h(x)dx??.??a再由柯西准则的充分性,证得?h(x)dx收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

性质3若f在任何有限区间[a,u]上可积,且?a??f(x)dx收敛，则???a并有f(x)dx也收敛，f(x)dx.?a??f(x)dx????a数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法

引理（非负函数无穷积分的判别法）非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

设定义在[a,??)上的非负函数f 在任何[a, u]上可积,则??M?0,使??af(x)dx收敛的充要条件是:?u?[a,??),?auf(x)dx?M.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

证设F(u)??f(x)dx,则?au???u2u1au??af(x)dx收敛的充要条件是limF(u)存在.由于f(x)?0,当u1?u2时，?af(x)dx??f(x)dx??u2u1f(x)dx?0,从而F (u) 是单调递增的(u?[a,??)).由单调递增函数的收敛判别准则, limF(u)存在的充要条u???件是F(u)在[a,??)上有界,即?M?0,使?u?[a,??),有数学分析第十一章反常积分高等教育出版社?auf(x)dx?M.§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

定理11.2（比较判别法）设定义在[a,??)上的两个非负函数f , g在任何有限区间[a, u]上可积, 且满足

f(x)?g(x),x?[a,??),则当g(x)dx?M.?auu因此?f(x)dx??g(x)dx?M.aa由非负函数无穷积分的判别法,?数学分析第十一章反常积分高等教育出版社?证若?当??a???ag(x)dx收敛时,???a??af(x)dx亦收敛;f(x)dx发散时,?ug(x)dx亦发散.??ag(x)dx收敛,则?M?0,?u?[a,??),??af(x)dx收敛.

§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

推论2设f 是定义在[a,??)上的非负函数, 在任何有限区间[a,u]上可积.??1(i)若f(x)?p(p?1),则?f(x)dx收敛;ax??1(ii)若f(x)?p(p?1),则?f(x)dx发散.ax数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

推论3设f 是定义在[a,??)上的非负函数,在任何有限区

p间[a, u] 上可积.若limxf(x)??,则x???(i)当p?1,0?????时,?f(x)dx收敛;(ii)当p?1,0?????时,?f(x)dx发散.aa??说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写出它的证明.

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非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法

lnx例4 讨论?的收敛性( k >0 ).dxp1xkk1?plnxlnx?0.解(i)p?1时,limx2?p?xlimp?1???x???xx2k??lnx因此由推论3知道?dx收敛.p1xklnx1?pklimxlnx???.(ii)p?1时,limx?p?x???x???x??k因此同理知道???1lnxdx发散.pxk数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

一般函数无穷积分的判别法

若无穷积分绝对收敛.非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法?a??f(x)dx收敛,则称???af(x)dx可以用前面的性质3来判别一般无穷积分的收敛性. 性质3（绝对收敛的无穷积分必收敛）若f 在任何有限区间[a, u]上可积, 且?a??f(x)dx收敛,则???af(x)dx亦必收敛,并且??a?a高等教育出版社??f(x)dx??f(x)dx.数学分析第十一章反常积分§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的一般函数无穷积分的收敛判别法收敛判别法

x(a?x)??1sinx1解由于?,而?dx收敛,321x(a?x)x?xx??sinx因此?dx绝对收敛.1x(a?x)例5判别?1??sinxdx(a?0)的收敛性.

收敛的无穷积分???af(x)dx不一定是绝对收敛的.

??a若???af(x)dx收敛而?|f(x)|dx发散,则称???af(x)dx条件收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社

§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.

定理11.3（狄利克雷判别法）g(x)在[a,??)若F(u)??f(x)dx在[a,??)上有界，au上当x???时单调趋于0，则???af(x)g(x)dx收敛.证设?auf(x)dx?M,u?[a,??).???0,由于x???limg(x)?0,4M对任意的因g为单调函数，由积分第二中值定理，数学分析第十一章反常积分高等教育出版社故存在G?a,x?G时，g(x)??.§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法u2?u1?G,???[u1,u2],使得??u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)?f(x)dx?g(u2)?u1?u2?f(x)dx,于是u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)?g(u1)??u1f(x)dx?g(u2)f(x)dx??u1a???u2f(x)dx??af(x)dxa?g(u2)?u2af(x)dx??f(x)dx??4M???2M??4M?2M??.因此, 由柯西准则，?af(x)g(x)dx收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法定理11.4（阿贝尔判别法）若?f(x)dx收敛,g(x)在[a,??)上单调有界，??a则???a??af(x)g(x)dx收敛.证[证法1]设g(x)?M,x?[a,??),由于?f(x)dx收敛,则???0,?G?a,当u2?u1?G时，2M对任意的因g为单调函数，由积分第二中值定理，u1?u2f(x)dx??.u2?u1?G,???[u1,u2],使得数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法??u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)?uf(x)dx?g(u2)??f(x)dx.1?u2因此u2u1f(x)g(x)dx?g(u1)??u1f(x)dx?g(u2)??u2f(x)dx??2M?M??2M?M??.由柯西准则,[证法2]

???af(x)g(x)dx收敛.因g(x)在[a,??)上单调有界，故存在A使x???limg(x)?A.令g1(x)?g(x)?A,则g1(x)在[a,??)上单调趋于0.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质

非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的

收敛判别法又因???af(x)dx收敛，故F(u)??f(x)dx在a??u[a,??)上有界,由狄利克雷判别法?af(x)g1(x)dx收敛, 所以

??a?f(x)g(x)dx????af(x)g1(x)dx?A???af(x)dx，积分收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社

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