数学必修1、2、4、5 知识点整合

必修1数学基础知识

第一章、集合与函数概念

§1.1.1、集合

1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，

就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：N*或N?，

整数集合：Z，有理数集合：Q，实数集合：R.

4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系

1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集

合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作A?B.

2、 如果集合A?B，但存在元素x?B，

且x?A，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.

3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：

?.并规定：空集合是任何集合的子集.

的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f?x?和它对应，那么就称

f:A?B为集合A到集合B的一个

函数，记作：y?f?x?,x?A. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对

应关系、值域.如果两个函数的定义域

相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.

§1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象

法、列表法.

§1.3.1、单调性与最大（小）值

1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设x1,x2??a,b?且x1?x2，则：

f?x1??f?x2?=…

§1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域

内任意一个x，都有f??x??f?x?，那么就称函数f?x?为偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、 一般地，如果对于函数f?x?的定义域

内任意一个x，都有f??x???f?x?，那么就称函数f?x?为奇函数.奇函数图象关于原点对称.

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4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A

有2n个子集.

§1.1.3、集合间的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：A?B.

2、 一般地，由属于集合A且属于集合B

的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：A?B. 3、全集、补集？

§1.2.1、函数的概念

1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种

确定的对应关系f，使对于集合A中

第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果xn?a，那么x叫做a 的

n次方根。其中n?1,n?N?.

4、当a?0,a?1,M?0,N?0时：

⑴loga?MN??logaM?logaN；

⑵loga?⑶log?M???log?N?MnaM?logaN；

2、 当n为奇数时，a?a；

ann?nlogaM.

当n为偶数时，a3、 我们规定：

nnn?a.

5、换底公式：lognab?loglogccba

⑴am?ma

*?a?0,a?1,c?0,c?1,b?0?.

,m?1；

?a?0,m,n?N ⑵a?n?6、logab?1logb?1ana

?n?0?；

?a?0,a?1,b?0,b?1?. §2..2.2、对数函数及其性质 1、 记住图象：y?loga4、 运算性质：

⑴aras?ar?s?a?0,r,s?Q?；

⑵?ar??ars?a?0,r,s?Q?；

sx?a?0,a?1?

⑶?ab??arbr?a?0,b?0,r?Q?.

r§2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象：y?ax

§2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

?a?0,a?1?

§2.2.1、对数与对数运算

x1、a?N?loga

N?x；

2、alogaN?a.

a3、loga1?0，log

a?1.

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第三章、函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程f?x??0有实根

?函数y?f?x?的图象与x轴有交点 ?函数y?f?x?有零点.

2、 性质：如果函数y?f?x?在区间?a,b?

上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f?a??f?b??0，那么，函数即存y?f?x?在区间?a,b?内有零点，在c??a,b?，使得f?c??0，这个c也就是方程f?x??0的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解

1、掌握二分法.

§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例

1、解决问题的常规方法：先画散点图，再

用适当的函数拟合，最后检验.

3、弧长公式：l?n?R180??R.

4、扇形面积公式：S?n?R3602?12lR.

§1.2.1、任意角的三角函数

1、 设?是一个任意角，它的终边与单位

圆交于点P?x,y?，那么：

sin??y,cos??x,tan??yx.

2、 设点A?x0,y0?为角?终边上任意一

点，那么：（设r?y0rx0?y0）

22 sin??，cos??x0r，tan??y0x0.

3、 sin?，cos?，tan?在四个象限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一：

sin???2k???sin?,k?Z）cos???2k???cos?,（其中：

tan???2k???tan?.必修4数学基础知识

第一章、三角函数

§1.1.1、任意角

1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角?终边相同的角的集合： ??????2k?,k?Z?.

§1.1.2、弧度制

1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角

叫做1弧度的角. 2、 ??

5、 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. ? sin? cos? tan? ?6 ?4 ?3 §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：sin??cos??1. 2、 商数关系：tan??

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22sin?cos?.

lr.

§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二：

sin???????sin?,2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的

相关性质：定义域、值域、最大最小

值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图.

§1.4.2、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义：对于函数f?x?，如果

存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f?x?T??f?x?，那么函数f?x?就

cos???????cos?,

tan??????tan?.2、诱导公式三：

sin??????sin?, cos?????cos?,

tan??????tan?.3、诱导公式四：

sin??????sin?,叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：

2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性

质：定义域、值域、对称中心、奇偶

性、单调性、周期性.

§1.5、函数y?Asin??x???的图象 1、 能够讲出函数y?sinx的图象和函数

y?Asin??x????b的图象之间的

cos???????cos?,

tan???????tan?.4、诱导公式五：

???sin?????cos?,?2????cos?????sin?.?2?

5、诱导公式六：

???sin?????cos?,?2????cos??????sin?.?2?

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象：

平移伸缩变换关系. 2、 对于函数：

y?Asin??x????b?A?0,??0?有：振幅A，周期T?2??1T，初相?，

??2?相位?x??，频率f?

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.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题.

第二章、平面向量

§2.1.1、向量的物理背景与概念

1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.

2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示

1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向

线段包含三个要素：起点、方向、长度.

2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长

度（或称模），记作AB；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.

§2.1.3、相等向量与共线向量

1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等

向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、 a?b≤a?b.

§2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的

相反向量.

§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数?与向量a的积是一个向

量，这种运算叫做向量的数乘.记作：?a，它的长度和方向规定如下：

⑴?a??a,

⑵当??0时, ?a的方向与a的方

向相同；当??0时, ?a的方向与

a的方向相反.

2、 平面向量共线定理：向量aa?0与b

共线，当且仅当有唯一一个实数?，使

b??a.

??§2.3.1、平面向量基本定理

1、 平面向量基本定理：如果e1,e2是同一

平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使a??1e1??2e2. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a?xi?yj??x,y?. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则： ⑴a?b??x1?x2,y1?y2?，

⑵a?b??x1?x2,y1?y2?， ⑶?a???x1,?y1?， ⑷a//b?x1y2?x2y1. 2、 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则： AB??x2?x1,y2?y1?.

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§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则 ⑴线段AB中点坐标为

2、记住15°的三角函数值： ? cos? sin? ?12tan? ?x1?x22,y1?y22?，

3 6?42 6?42 2?3 §3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ⑵△ABC的重心坐标为

?x1?x2?x33,y1?y2?y3?.

1、cos??????cos?cos??sin?sin? 2、sin??????sin?cos??cos?sin? 3、sin??????sin?cos??cos?sin?

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a?b?abcos?.

2、 a在b方向上的投影为：acos?. 3、 a?a. 4、 a?a2224、tan??????5、tan??????.

tan??tan?1?tan?tan?. .

tan??tan?1?tan?tan?5、 a?b?a?b?0.

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设a??x1,y1?,b??x2,y2?，则：

⑴a?b?x1x2?y1y2 ⑵a?x1?y1

22§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、sin2??2sin?cos?， 变形：sin?cos??12sin2?.

2、cos2??cos2??sin2?

?2cos??1 ?1?2sin?，

2 变形1：cos??1?cos2?222⑶a?b?x1x2?y1y2?0 2、 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则：

AB?， .

2 变形2：sin??1?cos2?2?x2?x1???y2?y1?.

223、tan2??2tan?1?tan?2.

§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例

第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式

1、cos??????cos?cos??sin?sin?

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§3.2、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次.

必修5和必修2数学基础知识 必修5：

第一章：解三角形 1、正弦定理： asinA?bsinB?csinC?2R.

那么这个数列就叫做等比数列。 ⑵通项公式：an?a1qn?1

a1?anq1?qa11?q1?q2、余弦定理： abc222?b?c?2bccosA,?a?c?2accosB,?a?b?2abcosC.b?c?a2bca?c?b2aca?b?c2ab222222222222222⑶求和公式：Sn?第三章：不等式

1、

??n?

cosA?cosB?cosC?,,当a,b?0时，a?b?2ab?当且仅当?当且仅当a?b时取等号22??

2、

.当a,b?R时，a?b?2aba?b时取等号2

3、三角形面积公式： S?ABC??1212absinC?12bcsinAa?b?a?b?3、变形：ab?? ?,ab?2?2?22必修2：

1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。

acsinB第二章：数列

1、数列中an与Sn之间的关系： ,当n?1时，?S1an??

S?S,当n?1时.n?1?n⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四

边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一

项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵通项公式：an?a1?(n?1)d ⑶求和公式： Sn?na1?n?n?1?2d?2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的表面积与体积 ?a1?an?n2

⑴圆柱侧面积；S侧面?2??r?l

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3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一

项与它的前一项的比等于同一个常数，

线平行，则该直线与此平面平行。

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条

直线的任一平面与此平面的交线与该直线

⑵圆锥侧面积：S侧面???r?l

平行。

10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个

平面平行，则这两个平面平行。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面

相交，那么它们的交线平行。

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任

⑶圆台侧面积：S侧面???r?l???R?l ⑷体积公式：

V柱体?S?h；V锥体?意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直

线都垂直，则该直线与此平面垂直。

13S?h；

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面

角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

V台体?13?S2上?S上?S下?S下h

?⑸球的表面积和体积：

S球?4?R，V球?43?R.

3⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂

直于交线的直线垂直于另一个平面。

第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，

那么这条直线在此平面内。

第三章：直线与方程

1、倾斜角与斜率：k?tan??2、直线方程：

⑴点斜式：y?y0?k?x?x0? ⑵斜截式：y?kx?b

y?y1y2?y1x?x1x2?x1y2?y1x2?x12、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只

有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共

点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应

平行，那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平

面平行、直线和平面相交。

⑶两点式：?

8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直

- 8 -

⑷一般式：Ax?By?C?0 3、对于直线：

l1:y?k1x?b1,l2:y?k2x?b2有：

?k1?k2⑴l1//l2??；

?b1?b2⑴外离：d?R?r； ⑵外切：d?R?r； ⑶相交：R?r?d?R?r； ⑷内切：d?R?r； ⑸内含：d?R?r.

3、空间中两点间距离公式：

P1P2?⑵l1和l2相交?k1?k2； ?k1?k2⑶l1和l2重合??；

?b1?b2?x2?x1???y2?y1???z2?z1?222⑷l1?l2?k1k2??1. 4、对于直线：

l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0

有：

?A1B2?A2B1⑴l1//l2??；

BC?BC21?12⑵l1和l2相交?A1B2?A2B1； ?A1B2?A2B1⑶l1和l2重合??；

?B1C2?B2C1⑷l1?l2?A1A2?B1B2?0. 5、两点间距离公式：

P1P2??x2?x1???y2?y1?

226、点到直线距离公式： d?Ax0?By0?CA?B22

第四章：圆与方程 1、圆的方程：

2⑴标准方程：?x?a???y?b??r

22⑵一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0. 2、两圆位置关系：d?O1O2

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