动态经济学的微分方程和差分方程案例

市场需求函数由下式给出：

qtD=A+Bpt

其中，qtD为t时刻的需求量，pt是t时刻的市场主导价格

我们假定供给决策是在产品上市的前一期做出的。因此，t时期市场的共给量是在t－1时期以供应商预期的未来市场价格为基础决定的。令Et?1(pt)表示预期价格，那么时期t的供应量由下式给出：

qtS=F+GEt?1(pt)

为了使模型更加的完整，我们需要指定预期价格的形成方式。在基本的蛛网模型中，我们假定

Et?1(pt)=pt?1

这意味着，供应商预期下一期的市场价格等于当前的市场价格。

假定在每一期价格都会调整到市场出清水平，那么每一期的供给和需求都相等。这意味着

A+Bpt= F+GEt?1(pt) 重新整理，可以求得pt：

pt=

GF?Apt?1? （18.8） BB该式说明，价格的时间路径服从一个一阶线性自治差分方程（以t和t-1，而不是t和t+1的项表示）。稳态价格p可以通过令pt=pt?1=p求得。

按照上述做法，我们求得

p=

A?F G?B注意，稳态价格也是使供给和需求相等时的价格。

比较等式（18.8）和等式（18.1），我们知道

a?GF?A,b? BBt应用等式18.1可得

?1?Gt?G?F?A?Bpt?p0???GB??B??1?B?????

???将上述结果重新整理，并且利用p的表达式，我们有

?G?pt?p0?p???p （18.9）

?B???t价格收敛到p，当且仅当?1＜GB＜1,因为只有这时，等式（18.9）中的第一项才会随着t趋于无穷收敛到零。不幸的是，并没有什么特别的原因能够使比率GB满足这一条件，因为它只是供给曲线和需求曲线的斜率比。因此，价格是否收敛依赖于相对斜率。

通常B＜0（需求曲线斜率为负），G＞0（共给曲线斜率为正），因此BG为负。这意味着模型中的价格将会不断震荡，因为?GB?会随着t取奇数和偶数而在正负之间交替更迭。如果GB＜1,那么价格将会沿着振荡路径收敛到它的稳态水平。如果GB＞1，那么价格也会遵循振荡路径，不过振荡的幅度会随着时间而不断增大。在这种情况下，价格不会收敛到它的稳态水平。

在图18.3 中，我们描述了价格收敛到稳态均衡价格的稳定市场情形。市场起初位于非均衡价格p0处（由于需求移动等未知的原因）。在时期0，供应商计划时期1生产数量q1。当这一数量的产品在时期1上市时，价格上升到p1，市场出清。在时期1 ，供应商计划时期2 生产数量q2。当这一数量的产品在时期2 上市时，价格下降到p2，市场出清。在这一价格下，供应商计划时期3生产数量q3。在时期3，价格上升到p3，市场出清。注意，价格从p0上升到p1，然后又下跌到p2，接着又升至p3。价格的波动过程将会一直持续下去，直到价格收敛到供给和需求曲线相交的稳态均衡值。由于价格的这一调整过程的图形看上去像蜘蛛网，所以我们称之为蛛网模型。

图25.7图25.6x(T)?xt?S cp(1t)x(tp3p2 p0 D q1q3 q2 q 图18.3 基本蛛网模型中的价格调整 蛛网膜型的波动可能是它最令人感兴趣的特征，而它最让人烦恼的地方就是它的高度不稳定。由于比率GB的绝对值大于1和小于1的可能性相同，所以它的发散和收敛也是

等可能的。蛛网膜型的这一不合意的特征是供应商做出极其幼稚的价格预期假定的直接结果。尽管由于价格波动，价格预期从未实现过，但是模型仍然假定，供应商将持续认定当期的价格就是下一期的价格。在下面的例子中，预期价格的形成方式更为复杂一些。但我们将看到，这一变化使得模型更加稳定。

例18.6 在价格决定的蛛网模型中，将预期价格形成的方式修正为如下形式：

Et?1?pt??pt?1??p?pt?1， 0???1

我们假定，供应商能准确的预测稳态均衡价格p。因此，在时期t-1，下一期的价格就等于当期价格pt?1，加上稳态价格和当期价格之间差额的一定比例?。如果当期价格低于稳态价格，那么预期价格将会上升；如果当期价格高于稳态价格，那么预期价格将会下降。如果?=0，该模型就还原为前面讨论过的蛛网模型。如果?=1，供应商就会预期价格在一期之内调整到均衡水平。

求该价格差分方程的解，并且分析解的收敛性。

解：将修正的价格预期方程带入供给函数，然后令供给等于需求，即

A?Bpt?F?G?1???pt?1??Gp 解出pt：

??pt??1???GF?A??Gppt?1? BB令pt=pt?1=p，以求解稳态价格。经过运算之后，我们得到

p=

A?F G?B这同前面的稳态均衡价格相同。根据定理18.1，差分方程的解为

tt??1?1??GB????GF?A??Gp??????pt???1????p0???

B?B1??1???GB?????化简整理之后，利用?F?A???B?G?p可得

G??pt?p0?p??1?????p （18.10）

B????t 跟基本的蛛网模型一样，本模型中的价格在收敛和发散的情况下都是波动的，因为在通常的情况下，需求曲线斜率为负，供给曲线斜率为正，所以?1???GB为负。不过，同基本蛛网模型相比，修正后的模型更有可能满足收敛条件，因为同GB相比，?1???GB的绝对值更有可能小于1。例如，即便G的绝对值是B 的5倍，只要?＞0.8，价格就会收敛

到它的均值。

经济增长模型

模型所描述的经济中的总产出为

yt?kta ，0＜a＜1；t=0，1，2，…

其中，yt为总产出，kt为总资本存量。这一表达式说明，经济中的产出是生产性资本存量的凹函数。

在该经济中，资本的积累是通过储蓄来实现的。我们假定每期的储蓄为产出的一个固定比例s。进一步假设资本折旧率为?，于是，我们得到

kt?1?kt??kt?syt

该式表明，时期t+1的资本存量等于时期t的资本存量，减去时期t的折旧，再加上时期t的储蓄。将总产出代入上式，我们得到该经济资本存量的一阶非线性微分方程： kt?1?kt?1????skt t=0，1，2，… (19.5)

a给定我们所假设的该经济中的储蓄行为，我们希望尽可能多的了解该经济中资本存量随时间的变化路径。资本存量会永远增长下去吗？它会收敛到稳态值吗？它会发生振荡吗？

为了回答这些问题，我们从相图着手，对该差分方程进行定性分析。为此，我们需要画出方程(19.5)的图形。注意到当kt=0时，kt?1=0，因此，图形经过?0,0?点。然后，我们求一阶导数：

dkt?1?1???sakta?1 （19.6） dkt由于我们假定?＜1，所以上式大于零。这一结果告诉我们，曲线向上倾斜。下面我们接着求二阶导数：

d2kt?1a?2 ?sa(a?1)kt2dkt因为0＜a＜1，所以上式小于零。根据这一结果和前面的一阶导数，我们知道对所有kt＞0，该函数严格凹。对于做出曲线的草图，这些信息基本上够用了。图19.5给出了具体有上述特征的曲线。

令kt?1?kt，我们可以求得稳态的均衡值。经过化简之后，我们得到

a?1 k???sk??0

_????kt?1k o k 图19.5 方程（19.5）的相图，其中k是稳态 kt 稳态解为 k=0 和

a?1_k=

? s定理19.1要求我们计算方程（19.5）的右边在稳态值处的导数，并据此来判定哪个解是稳定的。该导数为

1???sak_a?1

在k=0处，该倒数趋于无穷。因此，kt并没有局部收敛到零。

计算第二个稳态值处的导数可得

1???sa?s=1??(1?a)

它大于0，小于1，因为0＜a，?＜1

因此，点

???k????s?_1a?1

__是局部稳定的。相图分析表明，只要k0＞0，kt就会收敛到k。因此，至少k取正值时，k是全局稳定的。最后，我们所作的分析表明，f在k的整个定义域上是正的。根据定理19.2.我们知道通向稳态的逼近路径是单调的，而不是震荡的。

'

马尔萨斯增长模型

托马斯?马尔萨斯认为，人口增长是人均收入的反函数，其极限由生物学因素决定。我们假定

Nt?1?Ntb?n? t=0，1，2, ﹒﹒﹒ (19.12) Nt?t其中，?t是人均收入，Nt是t时期的人口数量，n和b是正常数。上式表明，每一时期的人口增长率等于n减去常数b和人均收入之比。随着?t的提高，更多的食物供给和更优越的生活条件意味着人口增长速度增加（因为更高的出生率和更低的死亡率）。人口增长率的上限为n。相反，如果?t下降，那么食物供给减少，生活条件恶化，这意味着人口增长率下降。

我们假定?t由下式给出：

?t=

Yt Nt其中，Yt为经济中的总产出。具体而言，我们假定总生产函数为 Yt?Nt? ，0＜?＜1

该式意味着总产出是人口（劳动）的增函数。经过相关替换，我们得到人均收入：

?t?Nt??1

将上式带入方程（19.12），并且移向整理，最后得到该模型人口增长的一阶非线性差分方程：

1?? Nt?1?Nt1?n?bNt （19.13）

??为了构造相图，我们先画出函数（19.13）的图形。该函数曲线起自原点，然后以递减的速率增加，直到最大值点；然后开始以递减的速率下降，最终与横轴相交。我们可以按照以前的做法进行相图分析。先求一阶导数：

dNt?1?1?n?b(2??)Nt1?? dNt当Nt=0时，上式取值为正（等于1+n）；随着Nt的增加，开始单调下降并在N处达到零：

??1?n?N?????b(2??)?1?1???

?随后取值为负。这表明函数在N处达到最大值，这一结论可以通过计算二阶导数来证实：

d2Nt?1?? ＜0 ??b(2??)(1??)Nt2dNt图19.10给出了N在最大值右边取得稳态值时得到相图。因为相图曲线为山形的，该模型中Nt的路径可能收敛到稳态点，也可能收敛到一个稳定的极限循环，或者可能是混沌的。为了确定在N附近Nt路径的性态，需要计算式（19.14）在该点的导数。为此，我们需要N的一个分析解。

Nt?1oNNt图19.10 马尔萨斯增长模型的相图

令N=Nt?1=Nt，代入方程（19.13），求解可得 N1???n b将该式代入式（19.14），化简后得到

dNt?1?1?n(1??) dNt由于n(1??)＞0，所以斜率总小于1 。而稳态解还要求斜率不大于-1，这要求 n(1??)＜2

上面的条件能满足吗？我们知道0＜?＜1。如果?=0.99，那么要满足该条件，n就必须小于200 。作为每期人口增长率的上限，n有可能满足这一要求。譬如说，如果一个时期为25年（一代所需的年数），那么增长率为200意味着每隔一代，人口将增加200倍，这似乎 有点高的离谱。所以，对于较大的?值，我们预计人口将会收敛到稳态。如果?很小，譬如说0.01，那么要满足上述稳定性条件，n必须小于2.02 。这似乎不太可能。因为每隔一代，人口增加一倍并非难事。因此，对于较小的?值，人口不太可能收敛到稳态；相反，它可能表现出周期或者混沌行为。

蛛网膜型

在第18章里，我们考察了这样一个价格决定模型：供应商以当期的价格为基础来形成他们的供给决策。我们发现该模型高度不稳定，因为除非供给函数的斜率小于需求函数的斜率的绝对值，否则该模型会导致爆炸式的价格波动。该模型所假定的供应商形成价格预期的方式太简单了。

我们考虑另一种形式的价格预期过程，它构成了一个二阶差分方程，这不同于第18章里的一阶差分方程。

跟前面一样，假设时期t的供给函数为

QtS?F?GEt?1(pt)

其中，QS为供给量，Et?1(pt)为供应商在第t-1期对第t期的价格预期。我们假定 Et?1(pt)?pt?1???pt?2 其中，

?pt?2?pt?1?pt?2

是时期t-2到时期t-1的价格变化，?是我们下面要讨论的参数。该模型中的价格预期过程如下：在t-1期，供应商利用有关当期（那时）价格pt?1的信息，以及前一个时期的价格变化?pt?2来预测下一期的价格。

如果0???1，供应商预期下一期的价格变化Et?1(pt)?pt?1与前一期价格变化?pt?2的方向相反。根据我们对蛛网模型中所出现的震荡的认识，可以判定这将是一个合理的价格预期。另一方面，如果?1???0，供应商预期下一期价格变化与前一期价格变化方向相同。我们将会分别考察?取正值和负值时模型的稳定性。

需求函数由下式给出： QtD?A?Bpt

当QtD=QtS时，供求均衡。将需求函数和供给函数代入方程，可以得到如下等式： A?Bpt?F?G?pt?1(1??)??pt?2? 化简可得 pt?

pt?2?GGF?A(1??)pt?1??pt?2?，t=2，3，4,… BBBGGF?A(1??)pt?1??pt? ， t=0，1，2，… （20.17） BBB为了求解完全方程，我们先找出其齐次形式的通解。其齐次形式为

pt?2?GG(1??)pt?1??pt?0 t=0，1，2，… （20.18） BB该差分方程的两个根为

?a1?a12?4a2 r1,r2? 2其中，a1??G(1??)B，a2??G?B。因此，齐次形式差分方程的解为

ph?C1r1t?C2r2t （20.19）

注意，如果?＜0，那么在B＜0，即需求曲线向下倾斜的正常情况下，这两个根是不等实根，因为根号里面的表达式的符号是正的。另一方面，如果?＞0，那么两个根既可能是实根（不等或者相等）也可能是复根。

稳态解p（假定它存在）是完全差分方程的一个特解。它可以通过求解下式得到： p?由上式可得 p?GGF?A(1??)p??p? BBBF?A B?G这一常见的市场出清价格。因此，完全方程的通解为

tt pt?C1r1?C2r2?p

如果两个根的绝对值都小于1，那么价格就会收敛到它的稳态值。不过，在当前的模型中，很难判断这一条件是否满足。我们考虑该模型的两个数值例子，然后进行更为一般的稳定性分析。

例 20.9 给定如下的参数值：B=-16,G=13,A=60,F=2和?=?313，确定蛛网膜型中差分方程的解，判定价格是否收敛到它的稳态值。

解：利用蛛网膜型中a1和a2的表达式，我们得到 a1? a2??13?3?1????1 ?16?13??133??16133 16因此，两个根为 r1,r2??11331?1???,? 22444价格的稳态值为 p?2?60?2

?16?13于是，通解为

?3??1? pt?C1????C2????2

?4??4?因为两个根的绝对值都小于1，所以当t趋于无穷的时候，无论常数C1和C2的初始值如何（由此，无论p0和p1的初始值如何），价格都会收敛到2.

任意选取初始值p0=6和p1=1，可以得到两个常数的值C1=0和C2=4.然后，我们计算

ttpt，t=0，1，2，….,结果如下：6.000，1.000，2.250，1.938，2.016，1.996，2.001，2.000，

2.000 ………。正如我们看到的，在本例中，价格相当迅速的收敛到它的稳态值。

例20.10 给定如下参数值：B??2,G?23,??13,F?10和A?60,确定蛛网模型中差分方程的解，判定价格是否收敛到它的稳态值。

解：在本例中，我们求得a1?0.5和a2?0.25，并且发现两个根是复根。因此，齐次方程的解为

ph??0.5???C1cos??t??C2sin??t???

t?的值由关系式cos????hR或者sin????vR确定。我们将利用前者。由于h??a12，因此

cos????h?0.25???0.5 R0.5由于cos?2?3???0.5，我们断定?的值为2?3。于是，齐次方程的解变为 ph??0.5??C1cos?t???2??3??2???t??C2sin?t?? ??3??在求得稳态价格为5之后，可得完全差分方程的通解： pt??0.5??C1cos?t???2???2???t??C2sin?t???5 33?????t图20.1给出了上述解所代表的价格运动轨迹。由于随着t的增加，?0.5?迅速趋于零，价格的周期波动也就迅速得得到遏制，结果导致了价格的快速收敛。对于a2的更大值，例如0.95.遏制效果更为缓慢，因此价格的收敛也就更慢。当然，如果a2＞1，价格就会一爆炸式波动的方式发散。

乘数---加速数模型

近些年，许多国家都实行持续的预算赤字。这导致了国债的动态增长，也使人们担心这一趋势会导致破产（如果国家债务过多，以至于利息支付超过了国民收入，这种情况将会出现）。破产是持续赤字融资的必然后果吗？实行持续赤字的国家必然走向破产吗？这些问题可以通过对国债积累和国民收入增长的动态分析得到回答。根据我们的需要，我们将会以简化了的方式来看待这些过程，从而使微分方程也简单一些。

令D?t?表示国债在时刻t的美元价值，Y?t?表示时刻t国民收入或者说GNP的美元价值。我们假定所有变量都以实际美元标价，从而去掉通货膨胀因素。我们假定赤字（定义为一个等于支出减去收入的正值）为任何时点国民收入的常数比例。由于债务变化恰好是赤字，我们有

D?by，b＞0 （21.12）

它是描述国债性态的常微分方程。（通常，在许多国家里，b的值介于0.02和0.08之间，这意味着赤字大约相当于国民收入的2%~8%）我们进一步假定，国民收入随时间的增长满足如下微分方程：

.Y?gY （21.13）

其中，g为正常数（表示国民收入的增长率）。方程（21.12）和方程（21.13）一起构成了国债积累模型。为了分析该模型所蕴含的利息支付与国民收入长期比值之间的关系，我们需要求解这两个方程。我们从方程（21.13）着手，该方程可以重新改写成 两边积分可得

lnY?t??c2?gt?c1 上式可以重新写作

Y?t??C1e

gt.Y?g Y.其中C1?e1c?c2，假定初始时间为t0?0，国民收入和债务的初始值分别为Y0和D0，我

们要求Y?0??Y0?C1。因此，方程（21.13）的初值问题的解为

Y?t??Y0egt （21.14）

将该解代入方程（21.12）可得 D?bY0e

尽管该方程实际上是非自治的，但它的这种形式可以直接积分求解，两边积分可得

.gtegt D?t??bY0?C2

g由于D?0??D0，C2的值必须等于D0??bg?Y0，利用这一值，我们得到如下解：

D?t??D0?bY0?egt?1? g该解表明，在本模型中，国民债务D?t?可以无限的增长下去。不过，我们真正关心的是国家偿付债务利息的能力。我们假定利息率为常数r，我们计算利息支付rD?t?和国民收入Y?t?的比值：

????D0?bY0?egt?1?grD?t??r gtY?t?Y0e定义z?t??rD?t?Y?t?为偿付国债利息所吸收的国民收入份额，化简可得

z?t??rD0?gtbe?r?1?e?gt? （21.15） Y0g这一表达式给出了本模型任何时点的利息支付和国民收入的比值。我们的主要兴趣是

确定这一比值是否会收敛到一个小于1的极限（即利息支付永远都不会超过国民收入）。

式（21.15）表明，z?t?即利息支付与国民收入的比值，随着t??收敛到一个有限值。为了验明这一点，对式子右边的两项取t??时的极限。注意，e我们有

?gt随着t??而趋于零。

limz?t??rt??b （21.16） g

国债的利息支付收敛到国民收入的一个固定比例rbg。如果rbg＜1，那么即便政府一直实行不断增长的国民收入的固定比例的预算赤字，最终的债务负担也会收敛到国民收入的一个固定份额。这会是一个好消息，因为这意味着经济总是能够满足债务的偿付，破产永远都不会发生。另一方面，如果rbg＞1，那么这一过程就会收敛到一个利息支付超过国民收入的有限值，此时，如果预算赤字持续下去，那么经济将注定会破产。

能否从直觉上解释我们的发现呢？因为D?by,Y?gY，债务增加与国民收入的增加的比值正好是bg。因此，国民收入增加1美元，债务增加bg。假设bg=0.5，那么国民收入每增加1美元会带来债务增加50美分。显然，国民收入比债务增加的快，因此，债务收入比将总是小于1.继而，由于利息率通常比1小得多，债务利息与收入之比也总是小于1.

另一方面，假设bg=1.5，那么国民收入每增加1美元会带来债务增加1.50美元。现

..在，债务的增加比国民收入快，因此，债务收入比最终会超过1.此时，如果利息率足够高，那么债务利息也会超过国民收入。

比值bg的一些常见值可以通过OECD发布的《经济展望》中的数据求得。利用发达国家19世纪80年代的横截面数据，我们得到如下结果：在美国，bg的平均值在高增长的1987—1989年间为0.61，在1992—1993年间增至2.5，到1995年又跌至1.4 。日本在1987—1989年间有预算盈余，但是到了1992年，达到1.5 。在德国bg在1987年为1.2随着政府在1988—1989年间实行预算盈余，该比值下降。到了1992年，它又上升2.0，不过到2000年有跌至1.2.意大利的bg在整个20世纪80年代都比较高：其平均值在1988—1989年间为3.2 。到了1990年达到12.0 ，随后大幅下降。到了2000年，意大利的

bg下降到了0.7 。英国该比值在1987年为0.28，随后出现两年预算盈余。到了1990年，bg上升到12.0，接着大幅度下降。最后，加拿大在1987—1989年间bg的平均值为0.93，

随后三年大幅度下降。到1993年，该比值为5.2，但是到了就已经下跌到1.9 。

对于上述某些国家而言，比值bg在某些年份里大于1，这正是人们的担忧所在。在实际利率通常低于5%的条件下，某些国家即便不会走向破产，似乎注定要进入这样一种状态：国民收入的大部分必须用于偿付债务。另一个好消息是，2000年的数据表明，某些国家（例如加拿大，美国 和英国）的b已经变为负值（表明了预算盈余）。

不过，通过对该模型的动态分析，我们已经发现了一个令人奇怪的结果：即便政府实行持续的预算赤字，长期的后果也未必就是破产。然而，赤字开支模型的其他假定会产生不太令人乐观的结果。

IS—LM模型的动态分析 考虑下面的IS—LM模型： C?a?bY?lR（消费需求）

I?I（投资需求）

G?G（政府需求）

L?kY?hR(货币需求)

M?M(货币供给)

模型的内生变量为产出（Y）和利息率（R）。商品市场均衡要求总需求?C?I?G?等于总共给?Y?。货币市场均衡要求货币需求?L?等于货币共给?M?。当这两个条件成立的时候，产出和利息率的均衡值就得以确定。

我们假定货币市场瞬时出清（R能够进行瞬时调整，从而使货币需求等于货币供给）。不过，我们没有对商品市场作此假定。相反，我们假定产出对供求缺口进行渐进调整。特别

的，我们假定

Y??a?bY?lR?I?G?Y,?＞0 (21.17)

其中，?是决定商品市场调整速度的正系数。这一模型为我们提供了Y的以阶线性微分方程。我们希望求解Y?t?，然后确定均衡的稳定性。将微分方程重新改写 Y???b?1?Y?alR??a?I?G

因为货币市场瞬时出清，R将总是处于它的均衡值处。令货币供给等于货币需求，则有

..????kMR?Y?

hh将R 的上述表达式代入微分方程，化简后得到

?lk?lM?Y???1?b??Y???a?I?G?h?h??.?? ?为了后面的表述方便，分别定义A 和B为

lk??A???1?b??

h???lMB???a?I?G?h?则微分方程变为

.?? ?Y?AY?B

假定产出的初始条件为Y?0??Y0，然后利用（21.18）可得如下通解

B?B?Y?t???Y0??e?At?

A?A?像往常一样，该式也表明，如果Y0碰巧等于它的稳态值，那么它将总是等于该值。

如果Y0不等于Y的稳态值，又将如何呢？该式表明，Y?t?收敛到它的稳态BA，当且仅当A＞0.我们断定，IS—LM模型包含了一个稳态均衡，当且仅当A＞0.根据定义，这

要求

1?b?lk＞0 h假定l＞0，上式可以重新写为

k1?b＞? hl 该形式的稳态条件要求LM曲线的斜率（左边）大于IS曲线的斜率（右边）。如果参数

满足通常的使LM曲线的斜率为正IS曲线的斜率为负的条件（0＜b＜1，l,k,h＞0），那么这一稳态条件就能够满足。不过，即便这些通常的条件不满足，均衡仍然可能实现。例如，LM曲线比IS曲线更平坦，并且LM 曲线的斜率为负（kh＜0）.

C?a??k0

代换后，我们得到模型中资本存量的显式解：

k?t???32?a????k0?e2sat3 ????a尽管我们不指望k?t?会收敛到稳态，但是给定模型的非自治性，我们有理由问它是否收敛到一个特定路径。方程的解表明，在本模型中，k?t?不会收敛到一个特定路径，因为解中的指数项会无限的增加。

带有技术变化的总增长模型

考虑一个只使用资本进行生产的简单经济模型，产数量由生产函数给出。我们假定由于技术的变化，该生产函数会随着时间移动。令y表示产出，k表示资本，我们假定技术关系为

y??a??k?t12

上式表明产出是经济中资本存量k的线性函数，但是随着时间的移动，整个函数递增。

我们进一步假定储蓄为产出的固定比例s,0＜s＜1 。经济中的基本积累等于储蓄。则有

k?sy

将y 的表达式代入上式可得 k?s?a??k?t重新整理得到

1212 k?s?tk?sat

...12

我们希望求解该方程，以便得到作为t的函数的k的表达式。系数为?s?t12，因此

A?t????s?t12dt

计算上面的积分可得

2A?t???s?t32

3则微分方程可以等价的表示为

32d??2s?t32/3?ek?sat12e?2s?t/3

?dx?两边积分可得

e?2s?t32/3k?sa?te12?2s?t32/3dt?C

计算上式右边的积分可得

e?2s?t32?e?2s?t/3k?sa??s???32/3???C ??求解k?t?得到

k?t???a??Ce2s?t32/3

假定初始条件为，则我们必须令k?0??k0

新古典经济增长模型

经济的长期增长率是由什么决定的呢？经济增长理论被提出以回答这一问题，而且它自身也在不断发展。在对这一理论的现代精炼中，最重要的一块基石就是诺贝尔奖得主罗伯特.索罗在20世纪50年代所提出的模型。

在这一模型中，我们假定经济中的人均产出可以表示为资本--劳动比的凹函数：

y?f(k)

其中，y是人均产出，k=KL为资本--劳动比。这里。K是总资本存量，L 是总劳动。为了简便起见，假定每个人都工作，则L等于总人数。凹函数意味着f??k?＞0和f???k?＜0。 经济中的产出可以用于消费或者储蓄。经济中的资本存量K 的增加量等于投资，投资定义为产出中用于储蓄的部分，我们假定储蓄率为常数s。因此

K?sY

为资本存量的变化，其中Y为总产出。由于k?KL，所以

..k?d?K?LKKL?2 ???dt?L?L2L..

重新整理可得

k?.KL?k LL..假定劳动力的增长速度为常数n。替换上式中的劳动增长率和K，可得

.k?s.Y?nk L 由于y?YL，利用y?f(k)，上式变为

k?sf(k)?nk

这一资本—劳动比的非线性微分方程描述了本模型中的经济增长。我们需要分析这一微分方程，看看索罗模型的假定对于经济增长路径的性质意味着什么。既然假定劳动力按照外生速率增长，那么这意味着资本—劳动比k,人均产出y是随着时间增加还是达到了一个稳定状态呢？

为了构造相图，我们首先令k?0，找出稳态点。，这意味着

..f(k)n?,k?0 ks因为f(k)是单调函数，我们知道，满足上式的k＞0只有一个，称该值为k。不过，我们也假定f?0??0，因此，k=0也是一个稳态均衡，下面，我们求相线的斜率和斜率为0的点：

*dk?sf??k??n dk在k 点，斜率等于零，并且

^??nf??k?? ??s^.二阶导数

dk?sf???k?＜0 2dk告诉我们，曲线在k?k是达到最大值。比较k和k满足的方程，我们能够断定k＞k。这得自以下事实：f(k)为凹函数（图22.3）。在点k处，函数的平均值f(k)k等于ns；在点

*^2.*^*^k?k^时，函数的边际值

f??k?等于

ns。

f(k) 斜率=ns f'(k)?nsf(k) f(k)n?nsO k*^k* ^k 图23.3 f(k)的凹性意味着k＞k

我们利用上述所有信息来生成图22.4 所示的相图。k曲线在k=0和k=k时等于零，在k?k是达到最大值。图中所显示的运动箭头得自以下事实：k＜k时k＞0；k＞k时k＜0。我们断定，k=0是一个不稳定的稳态均衡点，而k=k是一个稳定的稳态均衡点。定理22.2确认了这一结论：k曲线斜率在k处为负，这表明了稳定性；在零点为正，这表明了不稳定性。

..^.**.*.**kk?sf(k)?nk.O k^k *k 图22.4 新古典增长模型的相图

索罗增长模型预测资本—劳动比收敛到常数k。因为劳动力被假定为按照速率n增长，所以该模型也预测经济收敛到稳态增长路径，此时，产出，资本，劳动力都按照速率n增长。

*对该模型的经验验证表明，它很好的解释了许多国家的增长率情况，但是他无法解释多数国家所经历的全部增长情况。对这一验证的一个回应是通过假定外生的技术进步来增强这一模型的说服力。

包含存货的价格调整模型

在21章里，我们研究了竞争市场模型中的价格调整动态学。在那里，我们假定价格按照如下方程对供求缺口作出反应：

p???qD?qS?,?＞0

其中，qD和qS分别为需求量和供给量。但是，这一模型忽略了存在过度供给时未卖出的商品存货。如果我们考虑了这一存货，那么价格调整的动态行为又会受到何种影响呢？为了回答这一问题，我们假定，在当前的价格下存在过度供给或者存在未卖出商品的存货时，都会出现迫使价格向下调整的压力，这一思想的数学表达式如下：

SDp???qD?qS????t0?qs?q???s????ds，?＞0 ?＞0 （23.16） ..第一项为当前价格下的需求供给缺口。在?＞0时，如果存在过度需求，这一项就向上调整；如果存在过度供给，这一项就向下调整。第二项是供给和需求量之间过去的差额（的积累存量）的积分。其本身实际上是未卖出的商品存货。在?＞0时，如果存货大于零，这一项就会使价格向下调整。为了简化 我们对该问题的分析，我们假定未卖出的商品存货总是非负的，因此，我们就无须引入对存货的非负约束了。因为引入对存货的非负约束会使问题复杂，并且分散我们对主要问题的注意力。如此一来，方程（23.16）就是我们所要分析的微分方程了。尽管它看上去似乎是一个一阶微分方程，但是由于对供给和需求的时间积分的存在，它实际上包含二阶微分。为了清楚的说明这一点，方程（23.16）的两边对时间求导。由此可得

?...?SDp???qD?qS????qt?q???t???? ????..跟前面一样，如果我们假定需求曲线为q?A?Bp，供给曲线为q?F?Gp，那么价格调整模型就由下面的二阶线性微分方程描述：

DSp???G?B?p???G?B?p???A?F?

为了求解，我们先从齐次形式着手：

...p???G?B?p???G?B?p?0

特征方程为

r???G?Br????2...G??0 ?B两个特征根为

?a1?a12?4a2 r1,r2?2其中a1???G?B?,a2???G?B?，。现在假定两个根为不同实值根，我们将齐次形式的解写为

ph?C1er1t?C2er2t

下面，我们来求特解，我们所用的特解是价格的稳态值。在完全方程中令p?p?0。然后求解可得

...pp?p?A?F,G?B?0 G?BA?F G?B根据定理23.3 。针对不同实根的情形，该模型中价格的二阶线性微分方程的通解为

p?t??C1er1t?C2er2t?

例23.7 不同实根

利用下面的参数值来求解价格调整中价格的微分方程：

??0.2?5?,G?0.B?2,和?A?2F0

解：a1?5,a2?4,p?5。则特征根为r,r2??4，通解为 1??1 p?t??C1e?C2e?t?4t?5

例23，8 相等实根

利用下面的参数值来求解价格调整中价格的微分方程：

??0.2,??0.2,G?B?20和A?F?100

解：特征根为r??2，通解为 p?t??C1e?2t?C2te?2t?5

例23，9 复根

利用下面的参数值来求解价格调整中价格的微分方程：

??0.05,??0.5,G?B?20和A?F?100。

解：a1?1，a2?10。则特征根为r1,r2??0.5?1.5i。通解为

p?t??5?e?0.5t??A1cos(1.5t)?A2sin?1.5t???

例23．13 包含存货的价格调整模型的收敛性

确定为使（自任意初始值出发的）所有价格轨迹都收敛到稳态均衡价格，价格调整模

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