横山中学2011年高考数学模拟试题（五模）

横山中学2011届高考冲刺数学试题（五）

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题:（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

3?i1．复数等于( )

1?i

B．1?2i C．2?i

22．条件p:(x?2)2?1，条件q:?1，则q是p的( )

x?1

A．充要条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

A．1?2i

D．2?i

C．必要不充分条件

3．在△ABC中，sin2A?sin2C?(sinA?sinB)sinB，则角C等于( )

A．

? 6 B．

? 3 C．

2? 3 D．

5? 64．一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为 ( )

131A． B． C．1 D．

2235．已知x,y的值如表所示：

x y 2 5 3 4 4 6 7如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y?bx?，则b? ( )

21111A．? B． C．? D．

2210106．在等差数列{an}中，有3(a3?a5)?2(a7?a10?a13)?48，则此数列的前13项和为（ ） A． 24

B．39 C．52

D．104

7．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)?x2?2x?f?(2)，则f(?1)与f(1)的大小关系为：

A．f(?1)?f(1) B．f(?1)?f(1) C．f(?1)?f(1) D．不确定

8．在三棱锥A?BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，?ABC、?ACD、?ADB 的面积分别为

2、236、，则三棱锥A?BCD的外接球的面积为( ) 22横山中学2011届高考冲刺数学试题（五）第 1 页 共 7 页

A．2? B．6? C．46? D．24?

x2y29．若双曲线2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2?2bx的

ab焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为( )

9A．

8 B．63732 C． 374 D．310 1010．在区间?0,10?内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间?0,10?内的概率是：

A．1 B．10 C．? D．?

1040104第II卷 非选择题（共100分）

二、填空题：（ 本大题共5小题，每小题5分，共25分）

111．二项式(x3?2)n的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为 ；

x12．设函数f(x)?ax?1，若?f(x)dx?2，则 a= ；

02113．某算法流程图如图所示，则输出的结果是 ； 14．已知偶函数y?f(x)(x?R)在区间[?1,0]上单调递增，且满足

给出下列判断：（1）f(5)?0；（2）f(x)在[1,2]f(1?x)?f(1?x)?0，

上是减函数；（3）f(x)的图像关于直线x?1对称；（4）函数f(x)在

（5）函数y?f(x)没有最小值，其中正确的序号是 。 x?0处取得最大值；．．15．选做题（请考生在三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）． （A）．（坐标系与参数方程） 在极坐标系中,过圆??6sin?的圆心,且平行于极轴的直线的极

坐标方程为 。

（B）．（不等式选讲）已知关于x的不等式x?a?x?1?a?2011(a是

常数)的解是非空集合,则a的取值范围 。

（C）．(几何证明选讲）如图：若PA?PB，?APB?2?ACB，AC与

PB交于点D，且PB?4，PD?3，则AD?DC? 。

P

D

C

A B

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

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π?1?16．（本题满分12分）已知函数f(x)?cos2?x??，g(x)?1?sin2x．

12?2?（I）求函数y?f(x)图像的对称轴方程；

（II）求函数h(x)?f(x)?g(x)的最小正周期和值域．

17．（本题满分12分）已知数列?log2(an?1)?,n?N*为等差数列，且a1?3,a3?9. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明：

111?????1.

a2?a1a3?a2an?1?an18．（本题满分12分）某社区举办2011年西安世园会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规

则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世园会会徽”或“长安花”（世园会吉祥物）图案，参加者从盒中一次抽取卡片两张，记录后放回。若抽到两张都是“长安花”卡即可获奖。

（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“长安花”卡？主持人说：我只知道若从2盒中抽两张都不是“长安花”卡的概率是，求抽奖者获奖的概率；（Ⅱ）现有甲、乙、

15丙、丁四人每人抽奖一次，用?表示获奖的人数，求?的分布列及E?。 19．（本题满分12分）如图，正方形ACDE所在的平面与

平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC?BC， 且AC?BC． （Ⅰ）求证：AM?平面EBC； （Ⅱ）求二面角A?EB?C的大小．

x220．（本题满分13分）已知F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点。

4（I）若P是第一象限内该椭圆上的一点，PF1?PF2??5，求点P的坐标； 4（II）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且?AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围。

21．（本题满分14分）已知函数f(x)?(x2?a)ex。 （I） 若a?3，求f(x)的单调区间；

3(II) 已知x1,x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1?x2|?|x1x2|，若3f(a)?a3?a2?3a?b2恒成立，求实数b的取值范围。

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横山中学2011届高考冲刺（五） 数学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，）

题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 B 8 B 9 C 10 D 二、填空题: （ 本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11． 210 ； 12． 3 ； 13． 16 ； 14．⑴⑵⑷ ．

15（选做题）A．?sin??3； B．a?1005； C． 7 ． 三、解答题：

16. 解：（I）由题设知f(x)?程为x?1ππ[1?cos(2x?)]．令2x??kπ，所以函数y?f(x)图像对称轴的方266kπ π． ?????6分 ?（k?Z）

2121?π??1?1?cos2x??1?sin2x ???2?62????（II）h(x)?f(x)?g(x)???311??π??31?31π?3?cos2x??sin2x??cos2x?sin2x??sin2x????????． ?22?2?2?62223????2????所以，最小正周期是T??，值域[1,2] ??????12分

17．（I）解：设等差数列{log2(an?1)}的公差为d.由a1?3,a3?9得log22?2d?log28, 即d=1.所以

log2(an?1)?1?(n?1)?1?n,即an?2n?1. ??????6分

（II）证明： ?111?n?1n?n，

an?1?an2?22?1111111?????1?2?3???n

a2?a1a3?a2an?1?an2222111?n?2?1?1?1. ????????12分 2 ?212n1?22Cn218．解：（Ⅰ）设“世园会会徽”卡有n张，由2?，得n?4

C1015横山中学2011届高考冲刺数学试题（五）第 4 页 共 7 页

C621所以“长安花”有6张，抽奖者获奖的概率为2? ???????5分

C103（Ⅱ）?可能取的值为0,1,2,3,4，则P(??0)?()4?1623211，P(??1)?C4?()3? 8133812248112123132，P(??3)?C4P(??2)?C4()?()2?()??，P(??4)?()4? 3381338138123? P(?) 0 1 2 3 4 16 8132 8124 818 811 81E??4 ??????12分 319 证法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE是正方形， ?EA?AC,AM?EC． ∵平面ACDE? 平面ABC，

又∵BC?AC，?BC?平面EAC． ?AM?平面EAC，?BC?AM．?AM?平面

EBC． ?????5分

(Ⅱ)过A作AH?EB于H，连结HM．

?AM?平面EBC，?AM?EB．?EB?平面AHM． ??AHM是二面角A?EB?C的平面角．

∵ 平面ACDE?平面ABC，?EA?平面ABC．

?EA?AB．

在Rt?EAB中， AH?EB，有AE?AB?EB?AH． 设EA?AC?BC?2a可得

AB?22a，EB?23a，

?AH?AE?AB22aAM3??． ?sin?AHM?． ??AHM?60?． EBAH23z

∴二面角A?EB?C等于60?． ??????????12分 证法二：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=BC=2, C(0,0,0) , B(2,0,0), A(0,-2,0), E(0,-2,2),于是M(0，-1,1)

CB?(2,0,0) CE?(0，?2,2) AM?(0,1,1)

AM?CB?0 AM?CE?0,所以?AM?平面EBC

(Ⅱ)由(Ⅰ)知AM?(0,1,1) 是平面ECB的一个法向量，设平面

x 横山中学2011届高考冲刺数学试题（五）第 5 页 共 7 页

y

ABC的一个法向量n?(x,y,z) AB?n?0 AE?n?0，则n?(1,?1,0) cos?AM,n???二面角A?EB?C等于60?

1，∴2x220．解：（I）因为椭圆方程为?y2?1，知a?2,b?1,c?4P(x,y)(x?0,y?3，?F1(?3,0),F2(3,0)，设

?????????4，则0)PF1?PF2?(?3?x,?y)?(3?x,?y)?x2?y2?3??，

57?222?x?1x?y??x?12?x3???4又 ，解得?23??，?P(1,)??6分 ?y2?1，联立?2324?y??y??x?y2?1?4?2??4（II）显然x?0不满足题意，可设l的方程为y?kx?2，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?x221216k??y?1?(1?4k2)x2?16kx?12?0 ?x1x2?联立?4， ,x?x??12221?4k1?4k?y?kx?2?且△?(16k)?4(1?4k)?12?0,?k?222????????又?AOB为锐角，?OA?OB?0，?x1x2?y1y2?0，?x1x2?(kx1?2)(kx2?2)?0， 1216k4(4?k2)?(1?k)x1x2?2k(x1?x2)?4?(1?k)?2k(?)?4??0

1?4k21?4k21?4k2223 4?k2?4,又?k2?33332)?(,2) ????13分 ，??k?4， ?k?(?2,?22442x2x21．解：⑴?a?3,?f(x)?(x?3)e，f?(x)?(x?2x?3)e?0?x??3或1 令f?(x)?0，解得x?(??,?3)?(1,??)令f?(x)?0，解得x?(?3,1)，

?f(x)的增区间为(??,?3),(1,??)；减区间为(?3,1)， ?????????6分

2x2⑵f?(x)?(x?2x?a)e?0，即x?2x?a?0

由题意两根为x1,x2，?x1?x2??2,x1?x2??a，又?|x1?x2|?|x1x2|??2?a?2 且△?4?4a?0，??1?a?2 设g(a)?3f(a)?a?3323a?3a?3?3(a2?a)ea?a3?a2?3a 22横山中学2011届高考冲刺数学试题（五）第 6 页 共 7 页

g?(a)?3(a2?a?1)(ea?1)?0?a??1?5或a?0 2a g?(a) g(a) (?1,0) + 0 0 极大值 2(0,5?1) 2? 5?1 20 极小值 (5?1,2) 2+ 2 ? ? 2? g(2) 2又g(0)?0，g(2)?6e?8，g(a)max?6e?8 ，?b?6e?8 ???????14分

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