上海教育版九上24.5《相似三角形的性质》word同步测试

讲义编号: ____

学员编号：学员姓名：年级：初三

辅导科目：数学

课时数：3 学科教师：课题相似三角形性质习题一

授课日期及时段

教学目标

教学内容

【例1】如图，点0是厶ABC的两条角平分线的交点，过0作A0的垂线交AB于D。求证：△ OBD CBO。

分析：此题不易得到边的比例关系，但0点是三角形的角平分线的交点，有多对相等的角，故宜从角相等方面去考虑。

由角平分线及三角形内角和定理知：/ 1 + / 2 + / DAO = 90°,再由AO丄DO可得/ 5=2 1 + / 2,而/ 5 = Z 3 + / 4,

从而/ 1 + 2 2 = 2 3+2 4,由/ 1 = 2 3可得/ 2 = 2 4,于是结论得证。

求证：（1 ）△ BDOOEC ；（2）DO2二BD CE。

【例2】如图，在△ ABC中，2 BAC = 90°, AD丄BC于D , E为AC中点，DE交BA的延长线于F。求证：AB : AC =BF : DF。

分析：由于△ ABC和厶FBD —个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧。

证明：??? AB 丄AC , AD 丄BC

??? Rt △ ABD s Rt △ CAD , 2 DAC =2 B

AB BD

?- --- ------ ，” ①

AC AD

又??? AD丄BC , E为AC中点

辅导讲义

变式1:

BO2=BD BC。

变式2: 且AD

=AE。

已知如图（同变式1 图），在厶ABC中，O为两内角平分线的交点，过点O作直线交AB于D，交AC于E,

例1图

已知如图，在△ ABC BO平分2 ABC。求证:

??? DE = AE，/ DAE =Z ADE

???/ B = Z ADE

又F=Z F

BD BF

,,,②

AD DF

F。求证：FC 2 = FG FA。

分析：由于FG、FA、FC三条线段在同一直线上，不能直接证明一对三角形相似而得结论。根据题设条件易得BE是DC的垂直平分线，于是连结FD得FD = FC，再证△ FDG FAD即可。

探索与创新：

【问题一】如图，/ ACB =Z ADC = 90°, AC = . 6，AD = 2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？

AC2

?- AB 3

AD

? AB 二A3' =3收

CD

由①②得

AB _ BF

AC 一DF

略解：? AC = 6 , AD = 2

? CD =、AC2- AD2 = .2

要使这两个直角三角形相似，有两种情况:

(1)当Rt△ ABC s Rt△ ACD时,

有AC

AD

AB

AC

(2)当Rt△ ACB s Rt△ CDA时,

有AC

CD

AB

AC

故当AB的长为3或3 2时, 这两个直角三角形相似。

变式: 本题条件、结论不变，而只改变图形的位置时，如下图所示，本题又该怎样证明呢?

【例3】如图，梯形ABCD中，AD II BC，BE丄CD于E,且BC = BD，对角线AC、BD相交于G，AC、BE相交于

问题一图

【问题二】已知如图，正方形ABCD的边长为1, P是CD边的中点，点Q在线段BC上，设BQ = k，是否存在这

样的实数k，使得Q、C、P为顶点的三角形与△ ADP相似, 略解：

假设存在满足条件的实数k，则在正方形

Rt △ PCQ 得：

ABCD

AD DP 、AD DP

^或—

QC CP PC CQ

由此解得：CQ = 1或CQ= 1，从而k =0或k

4

3

故当k =0或k 时，△ ADP与厶QCP。

4

s

问题二图

【课堂练习】：

一、填空题：

1、如图，在△ ABC中，P是边AB上一点，连结CP，

2、在直角坐标系中，已知A （- 3，0）、B （0,—4）、

点的三角形与△ AOB相似，这样的直线有条。

3、如图，在厶ABC中，/ C= 90°, AC = 8 , CB = 6,在斜边

则MN = 。

使厶ACPABC的条件是。

C （0, 1）,过C点作直线丨交X轴于D，使得以点D、C、O为顶

AB上取一点M，使MB = CB，过M作MN丄AB交AC于N，

第1题图第3题图

20cm、50 cm、60 cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为

4、一个钢筋三角架长分别为

两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的载法有

5、如图，在锐角厶ABC 中，BD 丄AC , DE 丄BC , AB = 14, AD = 4, BE : EC= 5 : 1，贝U CD

二、选择题：

1、下面两个三角形一定相似的是（

A、两个等腰三角形

C、两个钝角三角形

2、如图，点E是平行四边形

共有（）

A、3对

三、解答题：

1、如图，在Rt △ ABC

30 cm 和50 cm 的

________ 种。

B、两个直角三角形

D、两个等边三角形

ABCD的边CB延长线上一点，EA分别交CD、BD的延长线于点F、G,则图中相似三角形

中，/ B= 90°, AB = BE = EF= FC。求证：△ AEF CEA。

中，AB 丄BC, AD 丄DC , DE 丄AC

2、如图，在四边形ABCD

3、如图，在梯形ABCD 中，AB II CD，/ D = 90°，AB

B和以P、D、C为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的

AB 于F。求证：△ AFD ADB。

=15,请你在AD上找一点P,使得以P、A、

于E，交

3，DC = 7，AD

P点有几个？并求岀AP的长；若不能，请说明理由。

解答第3题图

4、在边长为1的正方形网格中有A、B、C、

岀图中相似的三角形吗？若能，请找岀来，并说明理

由。

D、E五个点，问△ ABC与厶ADE是否相似？为什么？由此，你还能找

跟踪训练参考答案

、填空题:

1、/ ACP = Z B 或/ APC = Z ACB

2

或AC2

二AP AB ；2、4 条；3、3, 5;

4、2 种；

5、6

二、选择题：DD

三、解答题：

1、设AB

=

二BE = EF = FC

=

a ,???/ B =

1

AE

2a —

2，

EC 2a

J—

EF a AE 2a

AE EC

- 且/ AEF = =Z CEA

EF AE

90°

，

「2

???△ AEF CEA

2、证△ AED ADC，△ FAECAB，△ FAD DAB

3、能，有三个，AP = 4.5或15」141

2

4、△ ABC ADE，还有△ ABD ACE。

【课后作业】

1 ?两个三角形周长之比为 95,则面积比为(

) (A ) 9 : 5 ( B ) 81 : 25 (C ) 3 : 5 ( D )不能确定

2. Rt △ ABC

中，/ ACB=90 , CDL AB 于D, DEL AC 于E ,那么和△ ABC 相似但不全等的三角形共有(

) (A)1 个 (B)2 个 (C)3

个 (D)4 个 3.

在Rt △ ABC 中，/ C=90°, CDLAB 于D,下列等式中错误的是( )

(A ) AD? BD=CD (B ) AC?BD=CBAD (C ) AC=AD?AB ( D ) AB=A 6+B 6

AF 1 CG 4 .在平行四边形 ABCD 中, E 为AB 中点，EF 交AC 于

G,交AD 于 F , FD = 3则GA 的比值是( )(A ) 2 ( B ) 3

(C ) 4 (D ) 5 5 .在Rt △ ABC 中, AD 是斜边上的高，BC=3AC ^^ A ABD 与 A ACD 的面积的比值是( ) (A ) 2 ( B ) 3 4 ( D ) 8 6.

在 Rt A ABC 中，/ ACB=90 , CDL AB 于 D,贝U BD ： AD 等于(

) (A ) a : b (B ) a 2: b 2 (C ) ... a : b (D )不能确定

7. 若梯形上底为4CM 下底为6CM 面积为5CM,则两腰延长线与上底围成的三角形的面积是

8. 已知直角三角形的斜边的长为 13CM 两条直角边的和为 17CM 则斜边上的高的长度为--

9. . Rt A ABC 中，CD 是斜边上的高线，，AB=2Q AD=25 贝U DC=-— 10.平行四边形 ABCD 中, E 为BA 延长线上的一点， CE 交AD 于 F 点，若AE ： AB=1 : 3则S BCF ： S CDF =

11. 如图，在 A ABC 中，D 为AC 上一点，E 为延长线上一点， 且 BE=AD

ED 和 AB 交于 F 求证：EF ： FD=AC ： BC

12. 如图，在 A ABC 中，/ ABC= 90°, CDL AB 于 D, DEI AC 于 E ,

CE BC

求证：AE =A C

(C )

E A

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