导数的几何意义

篇一：导数几何意义

1.1.3导数的几何意义

教材分析

本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 课时分配

本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件. 教学目标

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解． 知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.

能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.

教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细

致思考，规范得出解答.

自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程.

易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法. 拓展点：求曲线的切线方程. 教具准备：多媒体课件.

课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式. 一.创设情境

师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？

生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 师：曲线在点

处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的

函数曲线的切线举出反例？

生：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点，有时还可能有多个公共点．

师：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线然与曲线公共点

有惟一公共点，但它与曲线和

，但与曲线

相切于点

不相切；而另一条直线

，直线

虽

，虽然与曲线有两个

．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义

一般曲线的切线，我们必须用新的方法来定义曲线的切线．

【设计意图】引导学生归纳总结曲线在点

处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲

线只有一个公共点时，也不一定是曲线的切线.概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定.由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入对重点内容的探索. 二．探究新知 师：如图，

当点的变化趋势是什么？

没着曲线

趋近点

时，割线

（2）图

（1）图

（4）图图

（3）图

生：点师：

趋近于点时，割线趋近于确定的位置.

为曲线的切线

【设计意图】尤其第五幅图通过课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线， 使学生体会这种定义适用于各种曲线，反映了切线的直观本质. 三.理解新知 师：割线

的斜率

与切线

的斜率有什么关系呢？

割线当点

的斜率是：（板书）无限趋近于点

在

时，

无限趋近于切线

．

的斜率．再次通过教师逐步的引导

得出函数处导数就是切线的斜率.（教师重复定义，并板书）．

即.

教师引导学生观察：在点

，??．过点可以用过点

的附近，

最贴近

比更接近曲线，比

更接近曲线的附近，曲线

的切线的切线

附近的曲线．因此，在点

近似代替．

【设计意图】要求学生能数形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义. “以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法． 四．运用新知

例1．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数图形体现导数

，

的几何意义.

的图象.用

生：运动员在大约动员在

时的瞬时速度为，这说明运动员在

时的瞬时速度为的速率上升.

附近，正以，这说明运

的速率下落；运动员在附近，正以大约

在在

师：根据图像描述、比较曲线请运用导数的几何意义，描述附近呢？

附近增（减）以及增（减）快慢的情况. 附近增（减）以及增（减）快慢的情况.在

生：作出曲线在这些点处的切线，⑴在处切线平行于轴，即，说明在时

刻附近变化率为0，函数几乎没有增减

；在

，函数在点附近单调递减.

曲线在

是因为⑵当数⑶当函数

在时，曲线

.

在处的切线的斜率

作出切线，切线呈

下降趋势，即附近比在

附近下降得更快，则

．∴ 在附近曲线上升，即函

附近单调递增． 时，曲线

在处的切线的斜率

．∴ 在

附近曲线下降，即

在附近也单调递减．

师：如何用导数研究函数的增减？（先由学生交流讨论，学生回答后，教师再归纳结论） 结论：根据导数的几何意义，当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减；当某点处导数等于零时，说明在这点附近变化率为0，函数几乎没有增减.

篇二：导数的几何意义与计算

（四）导数的计算与几何意义

【知识精讲】

一、导数的概念

函数y?f(x)在x0点的瞬时变化率，叫函数y?f(x)在x0点的导数，记作f/(x0)

即f/?x0??lim?x?0f?x0??x??f(x0)?x

二、导数的几何意义

/函数f(x)在x?x0处的导数f?x0?的几何意义就是函数f(x)的图像在x?x0处的切线的斜率，即

k?f'(x0)；如果y?f(x)在点x0可导，则曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为y?f(x0)?f/(x0)(x?x0)

三、常见函数的导数公式和求导法则：

1、常见函数的导数公式：

公式1：(C)/?0（其中C为常数）公式2：(xn)/?nxn?1(n?N*)公式3：(sinx)'?cosx 公式4：(cosx)'??sinx公式5：(logax)'?11logae特别地，(lnx)'? xx公式6：(ax)'?axlna特别地，(ex)'?ex

2、导数的四则运算法则：

uu'v?uv'(u?v)'?u'?v'(uv)'?u'v?uv ' ()'? 2vv

3、复合函数y?f(g(x))的导函数和函数y?f(u)，u?g(x)的导函数的关系为yx'?yu'?ux'.（只限于g(x)?ax?b）

【题型归纳】

例1、求下列函数的导数

2x2（1）f(x)?xlnx （2）f(x)?(x?1)e?x（3）f(x)?x?3 e2x

（4）f(x)?

1x(1?2x)(x?5)2?6lnx（5）f(x)?ln(1?x)? 21?x

例2

、求曲线f(x)?2xlnx在点（1，0)处的切线方程.

bex?1

例3、（2014全国卷一）设函数f(x)?aelnx?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为xx

y?e(x?1)?2求a,b

【练习巩固】

1、设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为（ ） A．4B．?

2、曲线y?11C．2 D．? 42x在点?1,1?处的切线方程为 （ ） 2x?1

A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0

3.曲线y?e1x2在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A．2922eＢ．4e2Ｃ．2e2 Ｄ．e 2

4．曲线f(x)?13x?x2?ax?a上不存在斜率为0的切线，则a的取值范围是___________ 3

x5.已知函数y?ex，过原点作曲线y＝e的切线，则切线的方程___________

6.f(x)?ax3?lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是_____________.

7.点P是曲线y?x?3x?

x32上的任意一点,P点处切线倾斜角?的取值范围 ___________ 38.曲线y?xe?2x?1在点（0,1）处的切线方程为 。

9.在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 10.函数f(x)?lnx的图象在点?e,f(e)?处的切线方程是

11. 已知直线y=x+1与曲线y?ln(x?a)相切，求a的值 3

篇三：导数的几何意义教学设计

导数的几何意义

本节课教学指导思想与理论依据：

微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期.它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

本节教材选自人教A版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节1.1.3“导数的几何意义”，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容。《新课程标准》要求，微积分教学“返璞归真”，把极限、连续、瞬时速度等概念，建立在朴素理解的基础上，直接由变化率问题得到导数的概念，进而研究导数的几何意义（图形上的直观体现）及导数在研究函数性质中的应用。

本节内容按照先突破一般曲线的切线定义（割线无限逼近的确定位置上的直线就是该点处的切线）；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线→割线的斜率逼近切线的斜率→切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开，从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理。

学情分析：

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。

教法分析：

本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形

式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。

学法指导：

借助多媒体技术，通过设计环环相扣的探究问题，创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。

教 案

导数的几何意义

教学流程

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/271b.html