人猫鸡米过河问题

一、问题的重述

人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

二、模型假设

不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。

三、符号说明

i?1, i?2,

人 猫 鸡 米 在此岸 在对岸 此岸状态 对岸状态

i?3, i?4,

xi?1

xi?0

s??x1,x2,x3,x4?

s'??1?x1,1?x2,1?x3,1?x4?

d??u1,u2,u3,u4? ui?1

乘船方案

i在船上时 i不在船上

ui?0 sk dk

第k次渡河前此岸的状态

第k次渡河的决策

四、问题分析

安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s表示某一岸的状况，决策变量d表示是乘车方案，我们容易得到s和d的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。

五、模型建立与求解

Ⅰ.模型的建立：

人、猫、鸡、米分别记为i?1,2,3,4，当i在此岸时记xi?1，否则记xi?0，则此岸的状态可用s??x1,x2,x3,x4?表示。记s的反状态为

s'??1?x1,1?x2,1?x3,1?x4?，允许状态集合为

S???1,1,1,1?,?1,1,1,0?,?1,1,0,1?,?1,0,1,1?,?1,0,1,0?? （1）

以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作d??u1,u2,u3,u4?，当i在船上时记ui?1，否则记

ui?0，允许决策集合为

D???1,1,0,0?,?1,0,1,0?,?1,0,0,1?,?1,0,0,0?? （2）

记第k次渡河前此岸的状态为sk，第k次渡河的决策为dk，则状态转移律为

s?s???1?kd， (3) k?1kk设计安全过河方案归结为求决策序列d1,d2,?,dn?D,，使状态sk?S按状态转移律由初始状态s1??1,1,1,1?经n步达到sn?1??0,0,0,0?。

Ⅱ.模型的求解：

从而我们得到一个可行的方案如下：

k 1 2 3 4 5 6 7 8 sk ?1,1,1,1? ?0,1,0,1? ?1,1,0,1? ?0,1,0,0??1,1,1,0? ?0,0,1,0??1,0,1,0??0,0,0,0? dk?1,0,1,0??1,0,0,0??1,0,0,1??1,0,1,0? ?1,1,0,0??1,0,0,0??1,0,1,0?

因此，该问题的最优方案是：1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。

六、模型评价与推广

（Ⅰ）优点：

1、模型简单，切合实际，易于理解； 2、建立了合理、科学的状态转移的模型。

3、结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性； （Ⅱ）缺点：

由于问题的求解没有使用LINGO或MATLAB软件，当状态和

决策过多时，采用上述方法求解显得繁琐，容易出错。 （Ⅲ）推广：

正如课本上的商人们安全过河问题，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就有些困难了，而适当地设置状态和决策，确定状态转移率，建立多步决策模型，仍可方便有效地求解此类型问题。

七、参考文献：

【1】 杨启帆，边馥萍. 数学建模. 浙江大学出版社，1990 【2】 姜启源，谢金星，叶俊. 数学建模. 第三版.北京：高等教育出版社，2003

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