2016届高考数学(理)(人教A版)总复习课时演练 专题04 数列的综合应用
更新时间:2024-01-08 13:40:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第六章 专题四
1.(2014·福州一中月考)一个三角形的三内角成等差数列,对应的三边成等比数列,则三内角所成等差数列的公差等于( )
A.0 π
C.6
π
B.12 πD.4
解析:选A 设三角形的三内角分别为A,B,C,对应的边分别π
为a,b,c.令A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,则B=3,a2+c2-b21π
b=ac,∴cosB=2ac=2,可推出a=c=b.故A=B=C=3,
2
公差为0.
2.(2013·辽宁高考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列; p2:数列{nan}是递增数列;
?an?
p3:数列?n?是递增数列;
??
p4:数列{an+3nd}是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p1,p2 C.p2,p3
B.p3,p4 D.p1,p4
解析:选D 设an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,它是递增数列,所以p1为真命题;若an=3n-12,则满足已知,但nan=3n2-12n并an非递增数列,所以p2为假命题;若an=n+1,则满足已知,但n=1
1
+n是递减数列,所以p3为假命题;设an+3nd=4nd+a1-d,它是递增数列,所以p4为真命题.选D.
3.(2014·温州模拟)已知三个不全相等的实数a,b,c成等比数列,则可能成等差数列的是( )
A.a,b,c B.a2,b2,c2 C.a3,b3,c3 D.a,b,c
解析:选B 特值法求解,取a=1,b=-1,c=1,则a2,b2,c2为1,1,1,是等差数列,故选B.
4.(2014·海口质检)各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1且a4+a51
a2,2a3,a1成等差数列,则=( )
a3+a4
1-5
A.2 5-1
C.2
5+1B.2 5+15-1D.2或2
解析:选B 据已知得a3=a1+a2所以a1q2=a1+a1q,所以q2
1+51±5
=1+q,解得q=2,由于等比数列各项为正数,故q=2,a4+a51+5因此=q=2.故选B.
a3+a4
5.已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-a26+2a10=0,首项1
为8的等比数列{bn}的前n项和为Sn,若b6=a6,则S6=( )
A.16 63
C.8
31
B.8 63D.16 2
解析:选C 由2a2-a26+2a10=0,∴4a6=a6.
∵a6≠0,∴a6=4.∴b6=4.
1b65
又∵{bn}的首项b1=8,∴q=b=32.∴q=2.
11
8-4×263∴S6==8.故选C.
1-2
6.今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来??按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是( )
A.211-47 C.213-68
B.212-57 D.214-80
解析:选B 由题意,可知从早晨6时30分开始,接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项,2为公比的等比数列,出来的人数构成以1为首项,1为公差的等差数列,记第n个30分钟内进入公园的人数为an,第n个30分钟内出来的人数为bn,则an=
10
4?1-2?n-1
4×2,bn=n,则上午11时30分公园内的人数为S=2+-
1-2
10×?1+10?12
=2-57. 2
故选B.
π
7.(2014·襄阳五中月考)已知等差数列{an}中,a7=4,则 tan(a6+a7+a8)等于________.
3π
解析:-1 由等差中项性质得a6+a7+a8=3a7=4,故
3π
tan(a6+a7+a8)=tan4=-1.
8.(2014·广元适应性统考)有四个自然数从小到大排成一列,前三个数成等差数列,公差为2,后三个数成等比数列,则这四个数的和为________.
?a+2?2解析:14或21 依题意,设这四个数依次为a-2、a、a+2、a
2
?a+2?4**
(其中a≥2,a∈N).由a≥2,a∈N,且a=a+a+4∈N,得
a是4的不小于2的正约数,因此a=2或a=4.当a=2时,这四个数依次为0、2、4、8,此时这四个数的和等于14;当a=4时,这四个数依次为2、4、6、9,此时这四个数的和等于21.
?a b?
?=ad-bc,若数列{an}9.(2014·衡水中学月考)定义运算:?
?c d?
?a1 1??3 3?
2?=1且??=12(n∈N*),则a3=________,数满足?
?an an1?
?2 1?
+
列{an}的通项公式为an=________.
解析:10,4n-2 由题意得a1-1=1,3an+1-3an=12,即a1=2,an+1-an=4.
∴{an}是以2为首项,4为公差的等差数列. ∴an=2+4(n-1)=4n-2,a3=4×3-2=10.
10.(2014·苏州中学调研)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=3Sn(n=1,2,3,?),则log4S10=________.
解析:9 ∵an+1=3Sn,∴an=3Sn-1(n≥2).两式相减得an+1-an
an+1
=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,即a=4.
n
∴{an}从第2项起是公比为4的等比数列.
当n=1时,a2=3S1=3, ∴当n≥2时,an=3×4n-2, S10=a1+a2+?+a10
=1+3+3×4+3×42+?+3×48 =1+3(1+4+?+48) 1-49
=1+3×=1+49-1=49.
1-4∴log4S10=log449=9.
11.(2013·湖北高考)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
解:(1)设数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.
??S2-S4=S3-S2,由题意得?
?a2+a3+a4=-18,?
232
??-a1q-a1q=a1q,即? 2
??a1q?1+q+q?=-18,
??a1=3,解得?
?q=-2.?
故数列{an}的通项公式为an=3×(-2)n-1. 3·[1-?-2?n](2)由(1)有Sn==1-(-2)n.
1-?-2?若存在n,使得Sn≥2 013, 则1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012.
当n为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当n为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即2n≥2 012,解得n≥11.
综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
12.在正项数列{an}中,a1=2,点An(an,an+1)在双曲线y2
1
-x=1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=-2x+1上,其中Tn
2
是数列{bn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列; (3)若cn=an·bn,求证:cn+1 (1)解:由已知点An在y2-x2=1上知,an+1-an=1, ∴数列{an}是一个以2为首项,以1为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 1 (2)证明:∵点(bn,Tn)在直线y=-2x+1上, 1 ∴Tn=-2bn+1,① 1 ∴Tn-1=-2bn-1+1(n≥2),② 11 ①-②得bn=-2bn+2bn-1(n≥2), 3111 ∴2bn=2bn-1,∴bn=3bn-1.令n=1,得b1=-2b1+1, 221 ∴b1=3,∴数列{bn}是一个以3为首项,以3为公比的等比数列. 2?1?n-12 ??=n. (3)证明:由(2)可知bn=3·33 ?? 2 ∴cn=an·bn=(n+1)·3n, 2∴cn+1-cn=(n+2)·n+1-(n+1)·3n 3=3 n+1[(n+2)-3(n+1)]= 2 2 (-2n-1)<0, 3n+1 2 ∴cn+1 13.(2014·南昌模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等.已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8. a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 ? (1)求数列{an,2}的通项公式; a1,n(2)设bn=+(-1)na1,n,n=1,2,3,?,求数列{bn}的前n项 an,2 和Sn. 解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,第一列依次组成的等比数列的公比是q(q>0), 则a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6, a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8, 解得d=1,q=2,所以a1,2=2?an,2=2×2n-1=2n. n (2)由(1)知a1,n=n,所以bn=2n+(-1)nn, a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 ? a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 ? a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 ? ? ? ? ? ? 3n??12 ?Sn=2+22+23+?+2n?+[-1+2-3+? ??+(-1)nn], 123n记Tn=2+22+23+?+2n, ① 1123n则2Tn=22+23+24+?+n+1, ② 2n+211111n ①-②得2Tn=2+22+23+?+2n-n+1=1-n+1, 22n+2 所以Tn=2-2n, n+2n 所以当n为偶数时,Sn=2+2-2n; n+1n+2 当n为奇数时,Sn=-2+2-2n. 14.某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第1年的维护费用是4万元,从第2年到第7年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第8年开始,每年的维护费用比上年增加25%. (1)设第n年该生产线的维护费用为an,求an的表达式; (2)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 解:(1)由题知,当1≤n≤7时,数列{an}是首项为4,公差为2的等差数列, 故an=4+(n-1)×2=2n+2. 当n≥8时,数列{an}从a7开始构成首项为a7=2×7+2 5 =16,公比为1+25%=4的等比数列, ?5?n-7 则此时an=16×?4?, ?? ?2n+2,1≤n≤7, 故an=??5?n7 ?,n≥8. ?16×??4? - (2)设Sn为数列{an}的前n项和, n?n-1? 当1≤n≤7时,Sn=4n+2×2=n2+3n, 5 当n≥8时,由S7=70,得Sn=70+16×4× ?5?n-7 =80×?4?-10, ?? ?5?n-71-?4??? 5 1-4 故该生产线前n年每年的平均维护费用为 Sn?5?n-7=80×?4?-10n?? ,n≥8n ? ?? n+3,1≤n≤7 ?Sn? 当1≤n≤7时,?n?为递增数列, ?? Sn+1Sn当n≥8时,因为-= n+1n ?5?n-7?n? ?-1?+1080×?4?·???4? ?5?n-6 80×?4?-10 ?? n+1 - ?5?n-7 80×?4?-10 ?? n = n?n+1? >0, Sn+1Sn?Sn?所以>n,故?n?也为递增数列. ??n+1 5 80×4-10 S7S8又7=10<12,8==11.25<12. 8S99= ?5?2 80×?4?-10 ?? 9 ≈12.78>12, 故第9年年初需更新生产线.
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