吉林大学 高数 A3作业

高等数学作业

AⅢ

吉林大学公共数学教学与研究中心

2013年9月

第一次作业

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题

1．设L是圆周x2?y2?a2，则?L(x2?y2)nds?( ) ． （A）2?an；

（B）2?an?1；

（C）2?a2n；

（D）2?a2n?1．

2．设L是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则?Lyds?( )． （A）2；

（B）2?2；

（C）22；

（D）2?22．3．设?是锥面x2?y2?z2在0?z?1的部分，则??(x2?y2)dS?( )． ? （A）??12?10d??0r3dr； （B）?30d??0rdr； （C）2??130d??0rdr；

（D）2?2?10d??0r3dr．

4．设?为x2?y2?z2?a2(z?0)，?1是?在第一卦限中的部分，则有( )． （A）??xdS?4??xdS；

（B）????ydS?4??xdS；

1??1（C）??zdS?4??xdS；

（D）dS?4????xyz??xyzdS．

1??1二、填空题

1．设曲线L为下半圆y??1?x2，则?L(x2?y2)ds? ． 2．设L为曲线y??|x|上从x??1到x?1的一段，则?Lyds? ． 3．设?表示曲线弧x?32cost,y?32sint,z?t2,(0?t?2?)，??(x2?y2?z)2d ?s ．

4．设?是柱面x2?y2?a2(a?0)在0?z?h之间的部分，则??x2dS? ．?x2y25．设?是上半椭球面9?4?z2?1(z?0)，已知?的面积为A，??(4x2?9y2?3z62?xyz)d ?S ． ?

三、计算题

1

则则

1．计算?Lex2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y?x及x轴在第一象限内所围

成的扇形的整个边界．

?x2?y2?z2?a2,2．??zds，其中?:?．

x?y?z?0.?

23．计算曲面积分

22,其中曲面被柱面(xy?yz?zx)dS?:z?x?y??? 2

x2?y2?2x所截得部分。

4．求???dS，其中?是介于z?0与z?4之间的柱面x2?y2?4． 222x?y?z

四、应用题

1．求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2?y2?R2及x2?z2?R2所围立体的表面积．

3

2．求面密度??1的均匀半球壳x2?y2?z2?a2(z?0)关于z轴的转动惯量．

4

第二次作业

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题

1．设L是圆周x2?y2?a2(a?0)负向一周，则曲线积分

?L(x （A）0；

3?x2y)dx?(xy2?y3)dy? ( ) ．

（B）?

?a4

2

2； （C）??a4； （D）?a4．

2．设L是椭圆4x2?y2?8x沿逆时针方向，则曲线积分

y?Ledx?xdy? ( )．

（A）2?； 3. 设曲线积分

(1,1)（B）?；

2 （C）1； （D）0．

?Lxydx?y?(x)dy与路径无关，其中?(x)具有连续的导数，且

?(0)?0，则?(0,0)xy2dx?y?(x)dy等于（ ）

313 （A） （B） （C） （D）1

248(x?ay)dy?ydx4．已知为某函数的全微分，则a? ( )正确． 2(x?y) （A）?1；

二、填空题

1．设L为x2?(y?1)2?4正向一周，则?Lxdy?ydx? ．

x2?(y?1)2（B）0； （C）2 （D）1．

2．设L为封闭折线|x|?|x?y|?1正向一周，则?Lx2y2dx?cos(x?y)dy? ． 3．设L为y??0tantdt从x=0到x?曲线积分为 ．

2xydx?x2dy? ． 4．设L为封闭折线|x|?|y|?1沿顺时针方向，则?Lx?yx?4

一段弧，将?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化为第一型

三、计算题

5

1．计算?Ly2dx?xdy，其中L是抛物线y?x2上从点A(1,1)到B(?1,1)，再沿直线到C(0,2)的曲线．

2．计算?L(x2?y)dx?(x?siny)dy，其中L是圆周y?2x?x2上从A(2,0)到O(0,0)的一段弧．

3．设f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是半平面(y?0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)．证明

6

1xI??L[1?y2f(xy)]dx?2[y2f(xy)?1]dy

yy（1）证明曲线积分I与路径L无关

（2）当ab?cd时，求I的值

?yi?xj4．设力F?，证明力F在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点2yA(1,2)到点B(2,1)力F所作的功．

5．计算I??AMB??(y)cosx??y?dx????(y)sinx???dy，其中AMB在连结点A(?,2)与B(3?,4)的线段之下方的任意路线，且该路线与AB所围成的面积为2，?(y)具有连续的

7

导数。

四．证明题

证明

??Pdx?Qdy?Rdz???P2?Q2?R2ds，并由此估计

??zdx?xdy?ydz的上界。

其中?为球面x2?y2?z2?a2与平面x?y?z?0的交线并已取定方向

8

第三次作业

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题

1．设?是球面x2?y2?z2?a2(a?0)外侧，则曲面积分

??(x?2?y2?z2)dxdy? ( ) ．

2 （A）0； （B）4?a； （C）?a；

24?a3（D）．

32．设空间闭区域?由曲面z?a2?x2?y2与平面z?0围成(a?0)，记?的表面外侧为?，?的体积为V，则I???x?2yz2dydz?xy2z2dzdx?z(1?xyz)dxdy?（ ）

（A）0； （B）V； （C）2V； （D）3V. 3．设?是球面x2?y2?z2?a2的外侧，则曲面积分

??? （A）0；

?xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)

322? ( )．

（D）4?．

（B）1； （C）2?；

4设I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中?为锥面x2?y2?z2介于平面z?0及z?h之间部分的下侧，则I?（ ）

11 （A）??h4； （B）??h4; (C) ?h4； （D）?h4

22二、填空题

1．设?为球面x2?y2?z2?9，法向量向外，则??zdxdy? ．

?2．向量场A?xy2i?yezj?xln(1?z2)k在点M(1,1,0)处的散度divA= ． 3．设向量场A?(z?siny)i?(z?xcosy)j，则rotA? ． 4．设?是平面3x?2y?2?3z?在6第一卦限部分的下侧，则I?

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化为对面积的曲面积分为I? ．

5．设?为球面x2?y2?z2?a2，法向量向外，则???x3dydz? ． 6．设u?x2?2y?yz，则div(gradu)? ．

9

三、计算题

1．计算??x2ycos?ds，其中?是球面x2?y2?z2?a2的下半球面，法线朝上，?是

?法线正向与z轴正向的夹角。

2．计算

???f(x,y,z)?x?dydz??2f(x,y,x)?y?dzdx??f(x,y,z)?z?dxdy，?f(x,y,z)为连续函数，?为平面x?y?z?1在第四卦限部分的上侧。

3．计算曲面积分I???xyz?r3dydz?r3dzdx?r3dxdy

10

其中

x2y2其中,r?x?y?z,?:??z2?1 方向外侧

49

2224．计算I???2x3dydz?2y3dzdx?3(z2?1)dxdy，其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的

?上侧．

11

5．计算I????y2dx?xdy?z2dz，其中?是平面y?z?2与柱面x2?y2?1的交线，

从z轴正向看去，?取逆时针方向．

6. 计算曲面积分I?

????(x?y)2?z2?2yz?dS,其中?是球面x2?y2?z2?2x?2z.

12

第四次作业

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题

11．设0?an?(n?1,2,3,)，则下列级数中肯定收敛的是 ( )．

n （A）?an；

n?1?（B）?(?1)an； （C）?an；

nn?1n?1??（D）?an． n?1n?2．若级数?un,?vn都发散，则 ( )．

n?1n?1?? （A）?(un?vn)发散；

n?1??

（B）?unvn发散；

n?1?22（D）?(un?vn)发散．

n?1? （C）?(|un|?|vn|)发散；

n?1?3．设级数?un收敛，则必收敛的级数为 ( )．

n?1 （A）?(?1)nn?1?un； n

2（B）?un；

n?1? （C）?(u2n?1?u2n)；

n?1?

（D）?(un?un?1)．

n?1??sin?1???4．设a为常数，则级数??． ?n2?（ ）n?n?1?? （A）绝对收敛； （B）条件收敛； （C）发散；（D）收敛性取决于a的值．

15．设an?(?1)nln(1?)，下列结论中正确的是（ ）

n（A）级数?an和?an都收敛 （B）级数?an和?an2都发散

2n?1n?1n?1n?1????（c）级数?an收敛，而?an都发散 （D）级数?an发散，而?an2收敛

2n?1n?1n?1n?1

????

6．设un?0(n?1,2,3,),且limn??nun?1,则级数?(?1)n?1?n?1?1un?u1n?1?().

(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;

（C）条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.

13

二、填空题

1．若级数?(?1)n?1un?2,?u2n?1?5，则级数?un= ．

n?1?n?1n?1???2．设级数?1收敛，则p满足什么条件 pn?1nlnn?n?13．当 a? 时，级数?an的收敛 三、计算题 1．判别级数?

?lnn31?2．求级数??n??的和．

n(n?1)?n?1?2?1(a?0)的敛散性 nn?1n?a?

14

?1?3．设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问级数???是否收敛？??nn?1并说明理由．

4．判别级数????1?n的敛散性

n?2n???1?n

n?1?an?1?15

ann!5．判别级数?n的敛散性（a?0）

n?2n

?n26．讨论级数?(?1)n(a?0)的敛散性

an?1

?n 16

四．证明题

??a?1．若正项数列?an?单调增加且有上界，证明?ln?2?n?收敛

an?1?n?1?

??a2．若级数?an绝对收敛，证明?n绝对收敛

n?1an?1n?1

17

第五次作业

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题

?an?1?2，则幂级数?anx2n?1的收敛半径（ ）1．设lim．

n??an?1n （A）R?2；

?（B）R?1； （C）R?2； （D）R???． 22．已知函数?an(x?1)n在x??2处收敛，则在x?0处，该级数为（ ）．

n?0 （A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）收敛性不定．

1nx的收敛域是 ( )． nn?1n31111 （A）[（C）[-3, 3]； -,]； （B）[-,)；

33333．幂级数??（D）[?3,3)．

4．2x展开为x的幂级数是 ( )．

xn （A）?；

n?0n!?2??(?1)nn(xln2)n(xln2)n（B）?； （D）?． x； （C）?n!n!nn?0n?0n?0?5. 设f(x)?x(0?x?1)，而s(x)??bnsinn?x,x?(??,??)，其中

n?1?1?1?bn?2?0f(x)sinn?xdx,n?1,2,.则s???（ ）

?2?1111（A）? （B） （C）? （D）

4422二、填空题

1．若幂级数?anxn在x?2处条件收敛，则幂级数收敛半径为 ．

n?1??2．设幂级数?anx的收敛半径为2，则幂级数?nan(x?1)n?1的收敛区间为 ．

nn?1n?1?3．幂级数?n2nx的收敛半径为 ． nnn?12?(?3)?4．设函数f(x)?x2,x?[0,1]，而s(x)?a0???a?nx ,x?(??,??)，其中ncos2n?1an?2?0f(x)cosn?xdx,n?0,1,2,1，则s(?1)的值为 ．

18

三、计算题 1．设幂级数?nn?1x，求 n!n?1?（1）收敛域及其和函数； （2）?

2．将函数f(x)??0

xn?1n2的和。

n?1n!?sintdt展开成x的幂级数 t 19

4.幂级数???1?n?1?n1nxn的收敛域为 ．

5.已知x3?x2y3dx?xmy2?y3dy=0 为全微分方程，m 为常数，则m = . 三、计算题(共4个小题，每小题9分，满分36分)

1.计算曲线积分?zxdx?zydy?ydz,其中L为空间螺旋线x?acost,y?asint,

L????z?at,?0?t???,L的方向为曲线上由t?0对应的点指向t??对应点.

?2.判别级数?n?12n?n!2??2n?!的敛散性.

3.将f?x??

x展为?x?3?的幂的级数.

x2?3x?2 40

4.求微分方程y??y?exy2的通解.

四、计算题（共4小题，第1、2题各9分，第3、4题各8分，满分34分） 1.求常微分方程y???5y??6y?xe2x的通解.

41

2.计算球面x2?y2?z2?a2的面积.

3．计算曲面积分I???xzdydz?2yzdzdx?3xydxdy，其中?为曲面

??a?0?被柱面x2?y2?ax?a?0?所割下部分的曲面?y2 z?1?x?(0?z的上侧．?1)42

42

4．利用y?(x0?x??与)y?x2(0?x??)的??conxs(0?x??的和函数)S(x)． n?1n2

43

Fourier

展开式求级数

综合练习题

学院 班级 姓名 学号

一、单项选择题

x2y21．设L为椭圆2?2?1的顺时针方向，则

ab（A）2?ab

（B）?2?ab

?L． (x?y)dx?(y?x)dy?（ ）

2y?（C）0 （D）2?

?z2，1x?0(y?0)由（0，

2?1.r:x?2．设?:x2?y2?z2?1.?:x2?y2?z20，-1）到（0，0，1）则以下计算（ ）错误．

（A）???zdV?0 （B）??zds?0 （C）?zds?0

??r（D）?zdy?0

r3．设?an为正项级数，下列结论中正确的是（ ）． （A）若limnan?0，则级数?an收敛；

n???n?1（B）若存在非零常数?，使得limnan??，则级数?an发散；

n???n?1 （C）若级数?an收敛，则limn2a?0；

n?1?n??（D）若级数?an发散，则存在非零常数?，使得limnan??．

n?1n???4．若limn???an?11?，则幂级数?anx2n ( )． an4n?0 （A）当|x|<2时绝对收敛； （C）当|x|<4时绝对收敛；

（B）当|x|?（D）当|x|?1时绝对发散； 41时绝对发散． 25．设y?f(x)是方程y???y??esinx的解，并且f?(x0)?0，则f(x) ( )． （A）在点x0的某邻域内单调增加； （B）在点x0的某邻域内单调减少； （C）在点x0处取极小值 （D）在点x0处取极大值． 二、填空题

1．L为上半圆周y?1?x2，则?(x?y)2exL2?y2ds? ．

30

2．设?是柱面x2?y2?1在0?z?2之间的部分，则??y2dS? ．

?x2y23．设为L椭圆??1，其周长为a，则?L(2xy?3x2?4y2)ds? ．

434．周期为2的函数f(x)，它在一个周期内的表达式为f(x)?x,?1?x?1，设它的傅?3?里叶级数的和函数为s(x)，则s??? ．

?2?5．以y1(x)?sinx,y2(x)?cosx为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 ． 6．曲面?:|x|?|y|?|z|?1，则???(x?|y|)dS? ． 三、计算题

11．计算I???dS，其中?为锥面z?x2?y2被柱面x2?y2?2x截得的有限部

?z分．

2．计算曲线积分?

ONA(2xsiny?y)dx?(x2cosy?1)dy，其中ONA为连接点O(0, 0)和

31

A(2,?2

)的任何路径，但与直线OA围成的图形ONAO有定面积?．

3．设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f(x2?y2)满足等式

?2z?2z??0． ?x2?y2 （Ⅰ）验证：f??(u)?f?(u)?0； u（Ⅱ）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式．

32

y24．计算I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy其中?为曲z?1?x?(0?z?1)的上侧．

4?

11?x15．将函数f(x)?ln?arctanx?x展开成x的幂级数．

41?x2

2 33

6．已知齐次方程(x?1)y???xy??y?0的通解为Y(x)?c1x?c2ex求非齐次方程(x?1)y???xy??y?(x?1)2的通解．

7. 设u?u(r)具有二阶导数。u?u(x2?y2)满足方程

?2u?2u1?u?2??u?x2?y2 2?x?yx?x求u(x2?y2)的表达式。

四、证明题 设an??

?/40(tanx)dx,n?1,2,3,?．证明：对任意常数??0，级数?

n?

an

?n?1n

收敛．

综合模拟题（一）

34

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