高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第1页（共19页） 高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程

一、重点知识结构

本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；

两条直线平行和垂直的充要条件、直线l 1到l 2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；

用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；

曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据； 圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求

1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

3、会用二元一次不等式表示平面区域；

4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；

5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；

6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析

在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议

本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

直线

【例题】

【例1】 已知点B （1，4），C （16，2），点A 在直线x －3y ＋3 = 0上，并且使?AB C 的面积等于21，求点A 的坐标。

解：直线B C 方程为2x ＋5y －22 = 0,|B C| =

29，设点A 坐标(3y －3,y )，则可求A 到B C 的距离为29|

2811|-y ，∵?AB C 面积为21，∴2129

|2811|2921=-?y ，

高中数学高考第二轮专题复习系列 王新敞 源头学子小屋 2c0b5d4de518964bcf847cec 新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第2页（共19页） ∴11141170-=或y ，故点A 坐标为（1170,11177）或（11

14,1175--）. 【例2】 已知直线l 的方程为3x +4y －12=0, 求直线l ′的方程, 使得：

(1) l ′与l 平行, 且过点(－1,3) ;

(2) l ′与l 垂直, 且l ′与两轴围成的三角形面积为4.

解： (1) 由条件, 可设l ′的方程为 3x +4y +m=0, 以x =－1, y =3代入,

得 －3+12+m=0, 即得m=－9, ∴直线l ′的方程为 3x +4y －9=0;

(2) 由条件, 可设l ′的方程为4x －3y +n=0, 令y =0, 得4n x -

=, 令x =0, 得3n y =, 于是由三角形面积43421=?-?=

n n S , 得n 2=96, ∴64±=n ∴直线l ′的方程是06434=+-y x 或06434=--y x

【例3】 过原点的两条直线把直线2x ＋3y －12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。

解：设直线2x ＋3y －12 = 0与两坐标轴交于A ，B 两点，

则A （0，4），B （6，0），设分点C ，D ，设θ=∠COD 为所求角。 ∵2=CA BC ，∴??

???=+?+==+=38212402216c c y x ，∴C （2，38）. 又2=DB AD ，∴??

???=+==+?+=3421442162000y x ，∴D(4,34)，∴31,34==OD OC k k . ∴139313413134|1|

=?+-=+-=OD OC OD

OC k k k k tg θ，∴139arctg =θ. 【例4】 圆x 2＋y 2＋x －6y ＋c = 0与直线x ＋2y －3 = 0相交于P,Q 两点,求c 为何值时,OP ⊥OQ(O 为原点).

解：解方程组消x 得5y 2－20y ＋12＋c = 0,)12(5121c y y +=?,

消y 得5x 2＋10x ＋4c －27 = 0,)274(5

121-=?c x x ,

∵OP ⊥OQ,∴12211-=?x y x y ,∴5274512--=+c c ，解得c = 3. 【例5】 已知直线y =－2x ＋b 与圆x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0相切,求b 的值和切点

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第3页（共19页） 的坐标.

解：把y =－2x ＋b 代入x 2＋y 2－4x ＋2y －15 = 0,

整理得5x 2－4(b ＋2)x ＋b 2＋2b －15 = 0,令?= 0得b =－7或b =13,] ∵方程有等根，5

)2(2+=b x ，得x =－2或x = 6， 代入y = －2x －7与y = －2x ＋13得y =－3或y = 1，

∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.

【例6】 已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c .

证明：设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜b ＜1. ∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0

f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0

∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c .

【例7】 某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？

解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，

O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看

画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.

由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、

(b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为：

k AC =t a n xCA =x

a a -αcos αsin , .αcos αsin tan x

b b xCB k BC -== 于是t a n ACB =AC BC AC BC k k k k ?+-1αcos )(αsin )(αcos )(αsin )(2?+-+?-=++-?-=b a x x

ab b a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则t a n ACB ≤αcos )(2α

sin )(b a ab b a +-?-,当且仅当x

ab =x

，即

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x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳.

【例8】 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？

解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件 为???????≥≥≤≥≤+0

,05.120002050y x x y x y y x 由??????

?

==???==+7200

7200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(

7200，7

200

) 由??

???==???==+27525

,5.120002050y x x y y x 解得

∴B 点的坐标为(25，

2

75

) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7

200

)，B (25，275)，

O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图)

由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，

2

75

)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37. 故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.

【例9】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B .

（Ⅰ）用x ，y 表示混合食物成本c 元； （Ⅱ）确定x ，y ，z 的值，使成本最低．

解：（Ⅰ）由题，1194c x y z =++，又100x y z ++=，所以，40075c x y =++．

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第5页（共19页） （Ⅱ）由60070040056000, 10080040050063000x y z z x y x y z ++≥?=--?++≥?及得，46320 3130

x y x y +≥??-≥?，

所以，75450.x y +≥

所以，40075400450850,c x y =++≥+=

当且仅当4632050, 313020

x y x x y y +==????-≥=??即时等号成立． 所以，当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低，为850元．

点评：本题为线性规划问题，用解析几何的

观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域0046320

3130

x y x y x y ≥??≥??+≥??-≥?上使得40075c x y

=++最大的点．不难发现，应在点M （50，20）处

取得．

【直线练习1】

一、选择题 1．设M =1

20110,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为( ) A .M ＞N B .M =N C.M ＜N D.无法判断

2．三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )

A .15

B .30 C.36 D.以上都不对

二、填空题

3．直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________.

4．自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.

5．函数f (θ)=2

cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________.

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第6页（共19页） 6．设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，则x 的范围为_________.

三、解答题

7．已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.

(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上.

(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.

8．设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0.

(1)证明：{a n }是等差数列.

(2)证明：以(a n ,

n S n －1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.

(3)设a =1,b =2

1,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围.

参考答案

一、1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =

10

1x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N .

答案：A

2.解析：设三角形的另外两边长为x ,y ,则 ??

???>+≤<≤<11110110y x y x

点(x ,y ）应在如右图所示区域内

当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11；

当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11;

当x =5时，y =7,8,9,10,11.

以上共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，

7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.

答案：C

二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点

.

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第7页（共19页） 答案：P (5，6）

4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切. 答案：3x +4y －3=0或4x +3y +3=0

5.解析：f (θ)=

2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率. 答案：3

4 0 6.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：2

13217+<<-x 三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,

点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2).

因为A 、B 在过点O 的直线上，所以

2

28118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2).

由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则 2

28222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ==== 由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.

(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1

∴x 2=x 13 将其代入2

28118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83).

9.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，

有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b .

因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b .

所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.

(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(

11=--=--+--+=----b n b n a b n a a a b n n na a a S n S n n

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第8页（共19页） ∴所有的点P n (a n ,

n

S n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)= 2

1 (x －a ),即x －2y +a －2=0. (3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是

???????>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ???????>+->+->-0

108041750)1(222r r r r r 即 由不等式①,得r ≠1

由不等式②，得r ＜25－2或r ＞2

5+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6

再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=2

5+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,

25－2)∪(4+6,+∞).

【直线练习2】

1．l 1的方程为032=--y x ，l 1关于x 轴对称的直线为l 2，l 2关于y 轴对称的直线为l 3，那么直线l 3的方程为( B )

A ．032=+-y x

B ．032=+-y x

C ．032=-+y x

D ．062=+-y x

2．与圆x y x 22430+-+=相外切，且与y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是

。??? ?

?-=2162x y 3．已知定点A (1,1)，B (3,3)，点P 在x 轴上，且∠APB 取得最大值，则P 点坐标为（ B ） A ．()02， B ．()06， C ．??? ??037， D ．()04，

解：P 点即为过A 、B 两点且与x 轴相切的圆的切点，设圆方程为

222)()(b b y a x =-+- )0,0(>>b a 所以有?????==??????=-+-=-+-06)3()3()1()1(222222b a b

b a b b a ① ② ③

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第9页（共19页） 4．圆022=++x y x 上的点到直线033=-+y x 的最知距离为（ A ）

A ．23

B ．45

C ．43

D ．4

9 5．条件甲：方程12

2=-n

y m x 表示一双条双曲线，条件乙：m n >>00且则乙是甲的（ A ）

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既非充分又非必要条件

6．设点P 在有向线段

的延长线上,点P 分所成的比为λ, 则( A )

A ．1-<λ

B ．01<<-λ

C ．10<<λ

D ．1>λ

7．如果AC <0且BC <0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过( C )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

8．若点(4, m)到直线431x y -=的距离不大于3, 则m 的取值范围是( B )

A ．(0, 10)

B ．[]010,

C ．??????331,31

D ．()[)-∞+∞,,010

9．原点关于直线8625x y +=的对称点坐标为( D )

A ．232,?? ???

B ．258256,?? ???

C ．(3, 4)

D ．(4, 3)

10．如果直线y ax =+2与直线y x b =-3关于直线y = x 对称, 那么( A )

A ．a b ==136,

B ．a b ==-136,

C ．a = 3, b = －2

D ．a = 3, b = 6

11．已知直线l l 12和的夹角的平分线为y x =, 如果l 1的方程是ax by c ab ++=>00(),那么l 2

的方程是( A )

A ．bx ay c ++=0

B ．ax by c -+=0

C ．bx ay c +-=0

D ．bx ay c -+=0

12．如果直线ax y ++=220 与直线320x y --=平行, 那么系数a = ( B )

A ．－3

B ．－6

C ．-32

D ．23

13．两条直线A x B y C 1110++=, A x B y C 2220++=垂直的充要条件是( A )

A ．A A

B B 12120+= B ．A A B B 12120-=

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第10页（共19页） C ．A A B B 12121=- D ．B B A A 1212

1= 14．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位, 再沿y 轴正方向平移1个单位, 又回到原来的位置, 那么直线l 的斜率是( A )

A ．-13

B ．－3

C ．13

D ．3

15．设a 、b 、c 分别是△ABC 中, ∠ A 、∠B 、∠C 所对边的边长, 则直线sin A x ay c ·++=0

与bx B y C -+=sin sin ·0的位置关系是( C )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直

16．求与点A (1, 2)的距离等于4, 且到x 轴的距离等于2的点的坐标:

。（3, 2）

17．直线L ：y =k x -1与曲线

y x --=2112

不相交，则k 的取值范围是( A ) A ．12或3 B ．12 C ．3 D ．[12，3] 18． 2．如果a ·c<0，b ·c<0，那么直线ax +by +c=0不通过（ C ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

19．直线y =－x －1被圆25)1()3(22=++-y x ，所截的弦长为（ C ）

A ．98

B ．4014

C ．82

D ．9843+ 20．斜率为1的直线与两直线2x +y －1=0，022=-+y x 分别相交于A ，B 两点，线段AB 的

中点的轨迹方程为（ B ）

A 、01=+-y x

B 、01=-+y x

C 、032=+-y x

D 、032=--y x

21．已知双曲线1C 和椭圆2C ：124

)1(49)2(2

2=-++y x 有公共的焦点，它们的离心率分别是1e 和2e ，且2111

1=+e e 。（1）求双曲线1C 的方程；（2）圆D 经过双曲线1C 的两焦点，且 与x 轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D 的方程。

解：（1）椭圆2C 的两个焦点坐标是)1,3(),1,7(21F F -离心率752=

e 由21121=+e e 可知双曲线1C 的离心率3

51=e

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故双曲线1C 的方程为116

)1(9)2(2

2=--+y x （2）∵圆D 经过双曲线的两个焦点，∴圆心D 在直线x = –2上

设圆D 的方程为2222)1(5)()2(-+=-++b b y x

整理得：02222422=-+-++b by x y x

令y =0，得022242=-++b x x

设圆D 与x 轴的两个交点为（0,1x ），（0,2x ），则

222,42121-=-=+b x x x x

依题意|21x x -|=84)(21221=-+x x x x

即16–4（2b –22）=64，解得b =5

所以圆的方程为41)5()2(22=-++y x

高三数学专题复习

圆

【例题】

【例1】 设正方形AB CD 的外接圆方程为x 2+y 2–6x +a =0(a <9)，Ｃ、Ｄ点所在直线l 的斜率为3

1 ,求外接圆圆心Ｍ点的坐标及正方形对角线A C 、B D 的斜率。 解：由(x –3)2+y 2=9－a (a <9)可知圆心Ｍ的坐标为（3,0） 依题意：.3

1,4==∠=∠AB k BAM ABM π M A ,M B 的斜率k 满足:113

131

=+-k k 解得:k A C =2,2

1=-BD k

【例2】 设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ． （1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；

（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程．

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第12页（共19页） 解：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2），设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ） 则??

???++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 　　　　　 解得：???+=+=112m b m a ∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--

（2）由?

??+=+=112m b m a 消去m 得a －2b +1=0 即圆C 2的圆心在定直线x －2y +1=0上。

设直线y =k x +b 与圆系中的所有圆都相切，则

m k b

m m k 21)1()12(2=+++-+

即0)1()1)(12(2)34(22=-++-+-+--b k m b k k m k

∵直线y =k x +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立，所以有：

?????=-+=-+-=--　　　　　　　　　0)1(0)1)(12(20342b k b k k k 解之得：??

???=-=4743b k 所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4

743

+-=x y 【例3】 已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x

假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M

由于CM ⊥l ，∴k CM ?k l = －1

∴k CM =112-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ，

即x －y +b －a =0

CM=23

+-a b

高中数学高考第二轮专题复习系列 王新敞 源头学子小屋 2c0b5d4de518964bcf847cec 新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第13页（共19页） ∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==

2

)3(92222+--=-=a b CM CB MB ，222b a OM += ∴222

2

)3(9b a a b +=+-- ② 把①代入②得 0322=--a a ，∴12

3-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0

故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0

【例4】 已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2 = m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共

点时，求m 的取值范围.

解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0,

作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.

由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2 = m 2无交点.

（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：

22|m |2|1||m |

||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，

圆x 2＋y 2 = m 2与线段AB 无交点.

【例5】 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，

（1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.

解：（1）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P

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24||=AB ， 可得,3

1)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得

在Rt △MOQ 中，

523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ， 故55-==a a 或，所以直线AB 方程是

;0525205252=+-=-+y x y x 或

（2）由点M ，P ，Q 在一直线上， 得(*),22x y a -=-

由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?= 即(**),14)2(222=+?-+a y x

把（*）代入（**）消去a ，

并注意到2

1)47(22≠=

-+y y x

【例6】 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得

商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地相距10km ，居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，

则A （－5，0），B （5，0）.

设某地P 的坐标为（x ，y ），且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低，并设A 地的运费为3a 元/km ，则B 地运费为a 元/km.

由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费 ， 即22)5(3y x a ++22)5(y x a +-≤，整理得222)415()425(≤++y x .

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P n+1 y o

x 所以，以点C )0,425(-为圆心，4

15为半径的圆就是两地居民购货的分界线. 圆内的居民从A 地购货费用较低；

圆外的居民从B 地购货费用较低；

圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，因此可以随意从A 、B 两地之一购货.

【例7】 例8、在xoy 平面上有一系列点,),,(),,(222111???y x P y x P ),,(n n n y x P 对每个自然数n ,点n P 位于函数

)0(2≥=x x y 的图象上．

以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙

n P 与⊙1+n P 又彼此外切．若11=x ,且n n x x <+1 ()n N +∈．

（1）求证：数列}1{n x 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S ，n n S S S T +???++=21,求证：23π<

n T 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2n n n x y r ==， ⊙n P 与⊙1+n P 彼此外切，

11+++=∴n n n n r r P P , 12121)()(++++=-+-∴n n n n n n y y y y x x ,

两边平方，化简得1214)(++=-n n n n y y x x , 即2

12214)(++=-n n n n x x x x . 01>>+n n x x ， ∴112++=-n n n n x x x x , 1112()n n n N x x ++?

-=∈． ∴ 数列?????

?n x 1是等差数列． (2) 由题设，11=x ，∴1

212)1(111-=??-+=n x n x x n n , 4422)12(-====n x y r S n n n n ππππ,

n n S S S T +???++=21

??????-++++=222)12(1513

11n π≤??????-?-++?+?+)12()32(15313111n n π

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＝????????????---++-+-+)121321()5131()311(211n n π ＝?????

?--+)1211(211n π 23)12(223πππ<--=n ． 【例8】 已知圆C ：22(1)1x y +-=和圆1C ：22(2)(1)1x y -+-=,现在构造一系列的圆123,,,,,n C C C C ,使圆1+n C 同时与n C 和圆C 都相切,并都与OX 轴相切.回答：

(1)求圆n C 的半径n r ;

(2)证明：两个相邻圆1-n C 和n C 在切点间的公切线长为21

n

C ;

(3)求和)1

1

1

(

lim 223

22

n

n C C C +

++

∞

→ .

解：(1)在直角梯形1n ODC C -中,

AC=1－n r ,n CC =1＋n r ,1n CC -=1＋1-n r ,n C 1-n C =n r ＋1-n r .1n C B -=1-n r －n r . ∴有n AC =

，

n BC =

1n EC -=

1n EC AB -==n n AC BC +

∴()()()()()()2

1212121221111------+=

--++

--+n n n n n n n n r r r r r r r r

∴11444--=+n n n n r r r r .即11--=-n n n n r r r r . 由此可得1111

=-

-n n

r r .

∴{n

r 1}成等差数列, 11r =.

∴

n n r r n =?-+=1)1(111

,∴2

1n

r n =

.

(2)公切线长为n l =

2(1)n

n n C ==

=-.

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第17页（共19页） (3)

22223111n

C C C +++ 111112(1)2()2()2231n n =-+-++-- ＝12(1)n -. ∴)111(lim 22322n n C C C +++∞→ =2.

【圆·练习】

一、选择题

1、直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位置关系是 （ ）.

(A )直线与圆相切 (B ) 直线与圆相交但不过圆心

(C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心

2、点()

M x y 00，是圆()0222>=+a a y x 内不为圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系是 ( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．相切或相交 3、直线()00≠=++ab c by ax 截圆522=+y x 所得弦长等于4，则以|a |、|b |、|c |为边长的确良三角形一定是 （ ）

（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不存在

4、已知两点A (–2,0),B (0,2), 点C 是圆x 2+y 2–2x =0上的任意一点,则△AB C 面积的最小值是（ ）

(A )23- (B ) 23+ (C) 226- (D) 2

23- 5、已知集合?

?????∈--==R y x x y y x p 、,25),(2及{}Φ≠∈+==Q P R y x b x y y x Q 若、,,),(，则实数b 的取值范围是 （ ）

（Ａ）[–5,5] （Ｂ）)5,25(- （Ｃ）]5,25[- （Ｄ）]25,25[-

6、若曲线x 2+y 2+a 2x =(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（ ）． （Ａ）21± （Ｂ）22± （Ｃ）2

221-或 （Ｄ）2221或- 7、若圆222)1()1(R y x =++-上有且仅有两个点到直线4x +3y =11的距离等于1，则半径R 的取值范围是 （ ）．

（A ）R >1 （B ）R <3 （C ）1

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新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第18页（共19页） 二、填空题

8、已知圆50)3()6(10)1()2(222221=+++=-+-y x C y x C ：与圆：交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是_______________________。

9、直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是 。

10、已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则在y 轴上截距为2的切线方程为 。

11、过P （－2，4）及Q （3，－1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6的圆方程是

三、解答题

12、半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，求此圆的方程。

13、已知圆02422=++-+m y x y x 与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若?=∠90APB 。

求m 的值。

14、已知定点)0,2(A ，P 点在圆122=+y x 上运动，AOP ∠的平分线交PA 于Q 点，其中O 为坐标原点，求Q 点的轨迹方程．

【圆参考答案】

一、选择题

1、A

2、C

3、A

4、A

5、C

6、B

7、C

二、填空题

8、2x +y =0 9、122- 10、22+-=+=x y x y 或

11、(x －1)2＋(y －2)2=13或(x －3)2＋(y －4)2=25

三、解答题

12、解：设圆心坐标为P (a , b ), 则圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2=25,

∵ (－2, 6)在圆上，∴ (a ＋2)2＋(b －6)2=25, 又以M (5, 4)为中点的弦长为25， ∴ |PM |2=r 2－52, 即(a －5)2＋(b －4)2=20,

联立方程组??

???=-+-=-++20)4()5(25)6()2(2222b a b a , 两式相减得7a －2b =3, 将b =237-a 代入

高中数学高考第二轮专题复习系列 王新敞 源头学子小屋 2c0b5d4de518964bcf847cec 新疆奎屯市第一高级中学 源头学子小屋：2c0b5d4de518964bcf847cec/wxc 第19页（共19页） 得 53a 2－194a ＋141=0, 解得a =1或a =53

141, 相应的求得b 1=2, b 2=53414, ∴ 圆的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝25或(x －

53141)2＋(y －53414)2＝25

13、解：由题设△A P B 是等腰直角三角形，∴圆心到y 轴的距离是圆半径的2

2倍 将圆方程02422=++-+m y x y x 配方得：m y x -=++-5)1()2(22 圆心是P(2,－1)，半径r=m -5

∴225?=-m 解得m= －3

14、解：在△A OP 中，∵OQ 是∠A OP 的平分线

∴212===OP OA

PQ AQ

设Q 点坐标为（x ，y ）；P 点坐标为（x 0，

y 0）

∴?????=-=?????++=++=　　　　　即y y x x y y x x 232232

12021220000 ∵ P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上运动，∴x 02+y 02=1

即12322322=??? ??+??? ??-y x ∴943222

=+??? ??-y x 此即Q 点的轨迹方程。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/26rq.html