用等价无穷小代换求含和差极限初探

用等价无穷小代换求含和差极限初探

摘要：等价无穷小的等价代换是极限计算中一种常用的方法，对其正确使用是至关重要的。本文给出了用等价无穷小求含和差极限的定理，从而纠正了一种习惯性误差，认为和的形式其部分和不能用其等价无穷小来代替求极限。

关键词：极限 等价无穷小 同阶无穷小 高阶无穷小 目前，绝大部分高等数学教材中在介绍利用等价无穷小求极限时，只给出了积或商的形式可以用等价无穷小代替的定理，而对于和差的形式，一般教材只给出反例，说明和差形式不能用等价无穷小来代替，其实不尽然。那些反例只能说明，在非常的情况下，不一定能实行部分代替。也就是说，若极限表达式的分子或分母是几个量的代数和，则每个量都分别以它们各自的等价量来代替时应当慎重，其原则是代替后的整体应与原来整体等价。

下面通过两个定理来说明含和差形式的极限用等价无穷小时应满足的条件。

定理1：如果在自变量x的某种变换趋势下，变量?琢（x），?茁（x）满足如下条件：（下面的极限书写都略去了自变量x的该种变换趋势）

（1）?琢（x）和?茁（x）是同阶无穷小，且lim≠-1； （2）?琢（x）～（x），?茁（x）～（x） 则：［?琢（x）+?茁（x）］～［（x）+（x）］ 证明：设lim＝，由已知有≠0，≠-1

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