数值分析实验报告2

实验名称 插值法

实验目的

（1）学习并熟练掌握MATLAB语言的编程；

（2）通过课程实习能够应用MATLAB软件来计算函数的插值，了解函数插值方法。 实验原理

牛顿差商形式多项式

P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,x2…xn](x-x0)…(x-xn-1) 牛顿插值多项式的余项 Rn(x)=f[x0,x1,x2…xn]wn+1(x) 实验题目

{1}已知函数在下列各点的值为

xi 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 f?xi? 0.98 0.92 0.81 0.64 0.38

试用4次牛顿插值多项式P4?x?及三次样条函数Q?x?（自然边界条件）对数据进行插 值。用图给出{（xi,yi），xi=0.2+0.08i，i=0，1,11,10}，P4?x?及Q?x?。 ①实验过程

x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];

y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:);

for j=2:n %求差商 for i=n:-1:j

c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end

syms x df d;

df(1)=1;d(1)=y1(1);

for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i-1)*df(i); end

P4=vpa(sum(d),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数 q=pp.coefs;

q1=q(1,:)*[(x-.2)^3;(x-.2)^2;(x-.2);1]; q1=vpa(collect(q1),5)

q2=q(1,:)*[(x-.4)^3;(x-.4)^2;(x-.4);1]; q2=vpa(collect(q2),5)

q3=q(1,:)*[(x-.6)^3;(x-.6)^2;(x-.6);1];

q3=vpa(collect(q3),5)

q4=q(1,:)*[(x-.8)^3;(x-.8)^2;(x-.8);1]; q4=vpa(collect(q4),5)%求解并化简多项式

②运行结果 P4 = - 0.20833333333212067373096942901611*x^4 - 0.20833333333212067373096942901611*x^3 + 0.15833*x^2 + 0.96833*x + 0.782 q1 = - 1.3392857142898719757795333862305*x^3 + 0.40714285714057041332125663757324*x + 1.04 q2 = - 1.3392857142898719757795333862305*x^3 + 0.8892857142927823588252067565918*x + 1.1643 q3 = - 1.3392857142898719757795333862305*x^3 + 1.6928571428579743951559066772461*x + 1.4171 q4 = - 1.3392857142898719757795333862305*x^3 + 2.8178571428288705646991729736328*x + 1.8629

1.6071*x^2 2.4107*x^2 3.2143*x^2 - - - - 0.80357*x^2

③问题结果

4次牛顿差值多项式P4?x?= 0.98*x - 0.3*(x - 0.2)*(x - 0.4) - 0.625*(x - 0.2)*(x - 0.4)*(x - 0.6) - 0.20833*(x - 0.2)*(x - 0.4)*(x - 0.8)*(x - 0.6) + 0.784

三次样条差值多项式Q?x??

{2}2.在区间[-1，1]上分别取n=10.20用两组等距节点对龙格函数f(x)=式及三次样条差值，对每个n值，分别画出差值函数及f(x)的函数. 龙格图函数做多项式

function L=lagrange(a,b,a0) syms x n=length(a) L=0.0 for i=1:n l=b(i); for j=1:i-1

l=l.*(x-a(j))/(a(i)-a(j)); end

for j=i+1:n

l=l.*(x-a(j))/(a(i)-a(j)); end

1)做多项21?25x L=L+l; simplify(L); end

L=collect(L) L=vpa(L,6) L=subs(L,'x',a0); end clear all subplot(1,2,1); a=linspace(-1,1,10); b=1./(1+25.*a.^2); L=Lagrange(a,b) b0=subs(L,'x',a); plot(a,b0,'rs') hold on plot(a,b)

title('n=10ê±μ?2??μoˉêy'); subplot(1,2,2); a=linspace(-1,1,20); b=1./(1+25.*a.^2); L=Lagrange(a,b) b0=subs(L,'x',a); plot(a,b0,'rs'); hold on; plot(a,b)

title('n=20ê±μ?2??μoˉêy');

图像：

三次样条插值函数插值程序：

subplot(1,2,1); a=linspace(-1,1,5); b=1./(1+25.*a.^2); a0=linspace(-1,1,10); b0=spline(a,b,a0); plot(a,b,'rs',a0,b0) hold on plot(a,b,'G')

title('n=10时的插值函数'); subplot(1,2,2); a=linspace(-1,1,5); b=1./(1+25.*a.^2); a0=linspace(-1,1,20); b0=spline(a,b,a0); plot(a,b,'rs',a0,b0) hold on plot(a,b,'G')

title('n=20时的插值函数');

图像：

y

{3}下列数据点的插值

x 0 1 4 9 16 25 36 49 64 y 0 1 2 3 4 5 6 7 8

可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图. (1)用这9个点作8次多项式插值Ls(x).

(2)用三次样条(第一边界条件)程序求S(x).

从得到结果看在[0,64]上，哪个插值更精确；在区间[0,1]上，两种插值哪个更精确？ ①实验过程

(1)拉格朗日插值多项式，求解程序如下

syms x l;

x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; n=length(x1); Ls=sym(0); for i=1:n l=sym(y1(i)); for k=1:i-1

l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end

for k=i+1:n

l=l*(x-x1(k))/(x1(i)-x1(k)); end Ls=Ls+l; end

Ls=simplify(Ls) %为所求插值多项式.

输出结果为

Ls =

-(x*(143*x^7 - 29260*x^6 + 2366546*x^5 - 97191380*x^4 + 2171047879*x^3 - 26340674360*x^2 + 166253376432*x - 577880352000))/435891456000

(2)三次样条插值，程序如下

x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]; x2=[0:1:64];

y3=spline(x1,y1,x2);

p=polyfit(x2,y3,3); %三条拟和函数

S=p(1)+p(2)*x+p(3)*x^2+p(4)*x^3 %得到S(x)

输出结果为： S =

(1998674665313721*x^3)/2251799813685248+(4552380473376719*x^2)/18014398509481984-(4798224608945675*x)/1152921504606846976+4576150135846985/147573952589676412928

(3)在区间[0,64]上，分别对这两种插值和标准函数作图，

plot(x2,sqrt(x2),'b',x2,y2,'r',x2,y3,'y')

蓝色曲线为y=函数曲线,红色曲线为拉格朗日插值函数曲线，黄色曲线为三次样条插值曲线

可以看到蓝色曲线与黄色曲线几乎重合，因此在区间[0,64]上三次样条插值更精确。 在[0,1]区间上由上图看不出差别，不妨代入几组数据进行比较 ，取x4=[0:0.2:1]

x4=[0:0.2:1];

sqrt(x4) %准确值 subs(Ls,'x',x4) %拉格朗日插值 spline(x1,y1,x4) %三次样条插值 运行结果为 ans =

0 0.4472 0.6325 0.7746 0.8944 1.0000 ans =

0 0.2504 0.4730 0.6706 0.8455 1.0000 ans =

0 0.2429 0.4630 0.6617 0.8403 1.0000 从这几组数值上可以看出在[0,1]区间上，拉格朗日插值更精确。 数据拟合和最佳平方逼近

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