河南省郑州市2018年高考数学三模试卷（理科）

2018年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设命题p：?x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（ ） A．?x＞0，log2x≥2x+3 B．?x＞0，log2x≥2x+3 C．?x＞0，log2x＜2x+3 D．?x＜0，log2x≥2x+3

2．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（ ） A．﹣6 B．6

C．

D．﹣

3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（ ）

A． 4．已知A．

B．5 C．7 D． ，则

的值等于（ ）

B． C． D．

5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（ ） A．60 B．65 C．80 D．81

6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）

A． B． C． D．

7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（ ）

A．25 B．49 C．12 D．24 8．已知等比数列{an}，且a6+a8=A．π B．4π C．8π D．16π 9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2A．10．椭圆

+B．

C．

D．

，则2a+b+c的最小值为（ ）

2

2

2

2

，则a8（a4+2a6+a8）的值为（ ）

=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，

△FMN的面积是（ ） A．

B．

C．

D．

，AD=BC=2

，则四面体A﹣BCD外接球的

11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2表面积为（ ） A．50π B．100π

C．200π

D．300π

12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=ex，f（2）=小值；

（2）对任意x∈=﹣cos（∴故选：B．

=±．

+2θ）=﹣cos2（

，则x∈，求函数h（x）的最

+θ）=﹣=﹣，解得：sin2（+θ）=，

5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x1+x2+x3+x4≤3”的元素个数为（ ） A．60 B．65 C．80 D．81 【考点】1A：集合中元素个数的最值．

【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．

2

2

2

2

【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，xi∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}， 集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”， 设M={0}，N={﹣1，1}，

①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有：②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有：③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有：④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有：

2

2

2

2

=32， =24， =8，

=1，

∴集合A中满足条件“x1+x2+x3+x4≤3”的元素个数为： 32+24+8+1=65． 故选：B．

6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）

A． B． C． D．

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体． 这个几何体体积V=故选：A．

+×（

）2×2=2+

．

7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（ ）

A．25 B．49 C．12 D．24 【考点】7C：简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知y≤10﹣2x，

则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（当且仅当x=，y=5时，取等号， 经检验（，5）在可行域内， 故2xy的最大值为25， 故选：A．

）=25，

2

8．已知等比数列{an}，且a6+a8=A．π B．4π C．8π D．16π 【考点】67：定积分．

【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8=即可求出． 【解答】解：

表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，

=4π，再根据等比数列的性质

2

2

2

2

，则a8（a4+2a6+a8）的值为（ ）

故a6+a8==4π，

2

2

2

2

2

∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a8=a6+2a8a6+a8=（a6+a8）=16π． 故选：D

9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2A．

B．

C．

D．

，则2a+b+c的最小值为（ ）

【考点】RB：一般形式的柯西不等式．

【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b+c≥2bc即可求出结果． 【解答】解：∵ab+ac+bc+2（6﹣2

2

2

2

2

，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2

2

2

2

2

）×4=（a+ab+ac+bc）×4=4a+4ab+4ac+4bc≤4a+4ab+b+c+4ca+2bc=（2a+b+c）

，

﹣2，

所以2a+b+c≥2故选D． 10．椭圆

+

=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，

△FMN的面积是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c=解得y，即可得出此时△FMN的面积S．

【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|， ∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大． 由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4c=

=1．

．

=1．把c=1代入椭圆标准方程可得：

=1，

把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．

∴此时△FMN的面积S=故选：C．

=．

11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2表面积为（ ） A．50π B．100π

C．200π

D．300π

，AD=BC=2

，则四面体A﹣BCD外接球的

【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．

【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2

，2

为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、

两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．

【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以10，2

，2

为三边的三角形作为底面，

且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体， 并且x+y=100，x+z=136，y+z=164， 设球半径为R，则有（2R）=x+y+z=200， ∴4R2=200，

∴球的表面积为S=4πR2=200π． 故选C．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12．设函数f（x）满足2xf（x）+xf'（x）=e，f（2）=2）， 当x∈ ．

【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．

23x

，则x∈=e﹣

2

=（x﹣

【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围． 【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=设|

，∴∠BOC=

；

=p+q两边平方，

=r，则O为△ABC外接圆圆心；

∵∴

=p

+q=

，

=r， =r2，

2

即p2r2+q2r2+2pqr2cos∴p2+q2﹣pq=1， ∴（p+q）=3pq+1；

2

又M为劣弧AC上一动点， ∴0≤p≤1，0≤q≤1， ∴p+q≥2∴pq≤

， =

，

∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1， 解得1≤（p+q）2≤4， ∴1≤p+q≤2； 即p+q的取值范围是．

故答案为：．

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a﹣4bc=0． （1）当a=2，

时，求b、c的值；

2

（2）若角A为锐角，求m的取值范围． 【考点】HR：余弦定理．

【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a﹣4bc=0．a=2，

时，代入解出即可得出．

（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出． 【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0． 当

时，

，bc=1．

2

解得．

（2）．

∴

，又由b+c=ma可得m＞0，所以．

18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果： 学生编号 （x，（2，（3，（3，（1，（2，（2，（2，（2，（2，（2，A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

y，z） 2，3） 2，3） 3，3） 2，2） 3，2） 3，3） 2，2） 3，3） 1，1） 2，2） （1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；

（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．

（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．

【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8． 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A， 则

．

（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5.

；

；

；

∴随机变量X的分布列为： X P ∴

19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=AD=CD=BC=CF．

1 2 = 3 ．

4 ；．

5 ，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，

（1）求证：EF⊥平面BCF；

（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．

【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；

（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（

），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个

法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为

，此时点M与点F重合．

【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1， 又∵

2

2

2

，∴AB=2，

∴AC=AB+BC﹣2AB?BC?cos60°=3． ∴AB=AC+BC．则BC⊥AC． ∵CF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴AC⊥CF，而CF∩BC=C， ∴AC⊥平面BCF． ∵EF∥AC， ∴EF⊥平面BCF；

（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（则C（0，0，0），A（∴

=（﹣

），

2

2

2

，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1）， =（λ，﹣1，1），

，1，0），

设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，

由得，取x=1，则=（1，，），

∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量， ∴cos＜

＞=

=

．

∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，

．

∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为

20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=⊥x轴于点N，且动点M满足

（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；

（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．

【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．

（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过

，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②

相切，点A为圆C1上一动点，AN，设动点M的轨迹为曲线C．

若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．

【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）． 又圆

．

∴圆

．

与直线

即

相切，∴

由题意，∴

，得

．

，

∴，

即∴

将代入x+y=9，得曲线C的方程为

22

．

（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

由求根公式得

∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴

．即

．（*）

．

∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0． 化简可得，

．

将（*）代入可得，即3m﹣8k﹣8=0．

22

即，又．

将代入，可得

=．

∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴

，

∴

．

（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，

联立解得，同理求得，

故

．综上，得．

21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．

（1）函数h（x）=f（ex﹣a）+g'（ex），x∈，求函数h（x）的最小值； （2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为

．

②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数． ∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e

a﹣1

+a．

③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．

综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为当a≥2时，h（x）最小值为（1﹣a）e+a． （II）设

，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．

，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e

a﹣1

+a，

①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0． ②当a≤﹣1时，令∴

，解得：

，此时

．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1

≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，

即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立． ③当﹣1＜a＜0时，此时

，当

时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当

时，F''（x）＜0，F'（x）递减．

∴∴在

=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，

上F'（x）＞0，F（x）递增，

上F（x）＞0，显然不合题意．

又∵F（2）=0，所以在综上所述：a≤﹣1．

22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为方程为ρsinθ﹣2cosθ=0． （1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；

（2）将直线l的参数方程代入y=2x，得tsinθ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．

【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ． ∴曲线C的直角坐标方程为y=2x；

（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0． 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则

，

，

2

2

2

2

2

，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标

==．

当

时，|AB|的最小值为2．

23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．

（1）若?x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可； （2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

【解答】解：（1），

当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3， 所以﹣3≤f（x）≤3， ∴m≥﹣3；

（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0， 即﹣f（x）≥x﹣8x+15由（1）可知，

当x≤2时，﹣f（x）≥x﹣8x+15的解集为空集； 当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣10x+22≤0，∴

2

2

2

；

当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15， 即x﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6； 综上，原不等式的解集为

．

2

2018年5月23日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/26fo.html