第三章___三角恒等变换学案(1)

三角恒等变换

第三章 三角恒等变换

一、课标要求：

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.

1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.

二、编写意图与特色

1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；

2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；

4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.

三、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约2课时

课题 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.

二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.

三角恒等变换

三、学习重点与难点

1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；

2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.

课题 3.1.1 两角差的余弦公式（第一课时）

一、学习目标

(1)掌握借助单位圆，运用三角函数定义和向量夹角的余弦公式推导出两角差的余弦公式；

(2)通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础；

(3)通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。

二、学习重、难点

1.重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2.难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.

三、学习过程

1、学习引导

探究（一）：两角差的余弦公式

思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?

思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？

思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？

思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？

三角恒等变换

思考5：上图中，如何用线段分别表示sinβ和cosβ？

思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？ sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？

思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？

思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？

思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？

思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、

B，则向量OA、OB的坐标分别是什么？其数量积是什么？

思考11：向量OA与OB的夹角θ与α、β有什么关系？根

据量积定义，OA OB等于什么？由此可得什么结论？

思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？ 探究（二）：两角差的余弦公式的变通

思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？

思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？

思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？

思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？

2、随堂练习

⑴、cos15 ________ ⑵、已知

sin

2 33

, (, ),cos , ( ,),求cos( ) 3242

三角恒等变换

⑶、已知sin 1517， 是第二象限角，求cos（ 3

）的值

3、知识拓展

例1

已知 ， 为锐角，

cos 17，sin（ ） ，求cos 例2 已知cos(a+b)cosb+sin(a+b)sinb=

1 3,且 3 2,2

, 求cos(

4

)的值.

四、反思小结

1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.

2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时, 要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.

3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β) 等. 同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.

五、自我测评

1、cos79 cos34 sin79 sin34 （ ）

A 12

B 1 C D

2、已知cos

45, (

2, ),则

cos(4

) ( ) A

3、在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80 ，sin80 ），B(cos20 ，sin20 ），则AB A ）

三角恒等变换

4、若sin sin 1

1

,cos cos ,则cos( ) 22

5、若cos cos cos 0,sin sin sin 0,则cos( )

111

6、已知 ， 都是锐角，cos ，cos（ ） ，求cos 的值。

714

34

7、若sinx siny ，cosx cosy ，求cos（x y)的值。

55

课题 §3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第二课时）

一、学习目标

理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

二、学习重、难点

1.重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 2.难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

三、学习过程

1、学习引导

探究（一）：两角和与差的基本三角公式

思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α＋β)等于什么？

思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，记作C( )，该公式有什么特点？如何记忆？

思考3： 诱导公式sin(

2

) cos 可以实现由正弦到余弦的转化，结合C( )

和C( ) 你能推导出sin(α＋β)，sin(α－β)分别等于什么吗？

思考4：上述公式就是两角和与差的正弦公式，分别记作S( )，S( )，这两个公式有什么特点？如何记忆？

思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从S( )、C( )出发，tan(α

三角恒等变换

＋β)、tan(α－β)分别与tanα、tanβ有什么关系

思考6：上述公式就是两角和与差的正切公式，分别记作T( )，T( )，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成立的条件是什么？

思考7：为方便起见，公式S( )，C( )，T( )称为和角公式，公式S( )，C( )，

T( )称为差角公式。怎样理解这6个公式的逻辑联系？

探究（二）：两角和与差三角公式的变通

思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α＋β)等于 思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝b，则sin(α＋β)等于 思考3：根据公式T( )，tanα＋tanβ可变形为 思考4：sinx＋cosx能用一个三角函数表示吗？

2、随堂练习

⑴、利用和差角公式，求下列各式的值

①sin15； ②cos75；

⑵、利用和差角公式，求下列各式的值 ①sin72cos42 cos72sin42； ②cos20cos70 sin20sin70；

3

⑶、已知sin , 是第四象限角，求sin ,cos 的值.

5 4 4

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

3、知识拓展

1 tan15

例1.化简

xx ⑵

1 tan15

三角恒等变换

2 1

例2.已知tan ,tan ,求tan 的值．

54 44

3 3 3 5

,cos ,sin ，求sin 的值． 例3.已知0

44 4 5 4 13

四、反思小结

1.两角差的余弦公式C( )是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.

2.公式S( )与S( )，C( )与C( )，T( )与T( )的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.

3.公式都是有灵活性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适当变形.

五、自我测评

1、

sin163 sin223 sin253 sin313 ( )11A - B 222、已知

1 tan

4tan（ ）的值等于（ ）

1 tan 4

3、已知sin cos

0 ），则sin +cos =（ ）2

21A B C D 1

333

sin7 cos15 sin8

4的值为 cos7 sin15 sin8

5、函数y=cosx+cos（x+）的最大值是

3

三角恒等变换

23tan

6、已知sin ，sin

，求的值。

34tan

7、已知函数y x cosx，x R

1 、当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

2 、该函数的图像可由y sinx x R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

课题 §3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（第三课时）

一、 学习目标

以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导

过程，掌握其应用.

二、学习重、难点

1、重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；

2、难点：二倍角的理解及其灵活运用.

三、学习过程

1、学习引导

探究（一）：二倍角基本公式

思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式都是恒等式，特别地，当β＝α时，这三个公式分别变为什么？

三角恒等变换

思考2：上述公式称为倍角公式，分别记作S2α，C2α，T2α，利用平方关系，二倍角的余弦公式还可作哪些变形？

思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切公式中，角α的取值范围分别如何？

思考4：如何推导sin3α，cos3α与α的三角函数关系？

探究（二）：二倍角公式的变通

思考1：1＋sin2α可化为

思考2：根据二倍角的余弦公式，sin2α，cos2α与cos2α的关系分别如何？ 思考3：tanα与sin2α，cos2α之间是否存在某种关系？

思考4：sin2α，cos2α能否分别用tanα表示？

2、随堂练习

⑴．sin22 30’cos22 30’=__________________;

⑵．2cos2 1 _________________;

8

⑶．sin2 cos2 ____________________;

88⑷．8sin cos cos cos __________________.

48

48

24

12

5 5 5 5 cos)(sin cos) __________________; 12121212

⑹．cos4 sin4 ____________________;

22

3

、知识拓展

⑸．(sin

3

例1、已知cos ，cos ， 0 ，求tan2 的值。

52 2

例2、已知sinxcosx

3

，求4sin x sin x 的值。10 4 4

三角恒等变换

四、反思小结

1.角的倍半关系是相对而言的, 2α是α的两倍, 4α是2α的两倍等，这里蕴含着换元的思想.

2.二倍角公式及其变形各有不同的特点和作用，解题时要注意公式的灵活运用，在求值问题中，要注意寻找已知与未知的联结点.

3.二倍角公式有许多变形，不要求都记忆，需要时可直接推导.

五、自我测评

1、下列各式中，值为1

2

的是

A sin15

cos15

B 2cos2

15

tan22.5

1 tan222.5

2、已知x

4 2，0

，cosx 5，则tan2x=

A 77242424 B -24 C 7 D -73、cos275 sin275 cos75 cos15 的值为

A352 C 44、已知cos 4 cos 4 1

4

，则sin4 cos4 的值等于 5sin cos 2cos sin =13

，则tan2 = 6、已知sin cos sin cos ，求sin2 的值。7、已知f x cos4x-2sinxcosx-sin4x

1 求f x 的最小正周期； 2 求f x 在区间 0

2

上的最值。

三角恒等变换

3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）

一、课标要求：

本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．

二、编写意图与特色

本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

三、学习目标

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

四、学习重、难点

1、重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．

2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．

课题3.2简单的三角恒等变换（第一课时）

一．学习目标

① 掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路，不断提高从整体上把

握变换过程的能力式推导。 ② 弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 ③ 深刻理解三角变换的思想，培养学生运用换元、逆向使用公式、方程等数学思想方法解

决问题的能力。

二、学习重、难点

1、重点：三角恒等变换的内容、思路和方法，以及在积化和差、和差化积、半角公式等方面的应用。

2、难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计。

三、学习过程

三角恒等变换

1、学习引导

问题1：前面学过的倍角公式是什么？

问题2： 与

有什么关系？ 2

代替 将公式进行改写为 2

2 ,cos2,tan2． 问题4：试以cos 表示sin

222

问题3：在二倍角公式中，以 代替2 ，以

问题5：（１）已知cos ，如何求sin

（２）代数式变换与三角变换有什么不同呢？

问题6：求证：（１）sin cos

（２）sin sin 2sin

2

,cos

2

,tan

2

?

1

sin sin( ) 2

2

cos

2

.

问题7：上述证明中用到哪些数学思想？

2、随堂练习

sin 1 cos

（１）求证：tan 。

21 cos sin

2

3

（２）已知sin2 ,0 2 ,求

52

2cos

sin 1

sin( )

2

的值。

（3）已知sin cos 2sin ,sin cos sin

2

,求证：2cos2 cos .

3、知识拓展

三角恒等变换

sin2 sin2

例1 化简

sin cos sin cos

例2 已知cosx＝cosαcosβ，求证：tan

x x

tan tan2 222

四、反思小结

倍角公式的灵活运用，弄清倍、半关系的相对性。注意等价转化，换元、方程的思

想。

五、自我测评

1的结果是（ ） 1

2、已知sin ，则cos

4 3 4

A -11

B D 2233

tan2 1

的值是（ ）3tan

8

A -1 B -2 C 1 D 2

2sin2 1

4、若f（ ）=，则f （ ）

sin4 12

5

5、等腰三角形的顶角的正弦值为，则它的底角的余弦值为（ ）

13

1 tan

6、已知 1，求证tan2 4tan（ ）

2 tan 4

1 2sin cos

72 tan（ ）2

cos sin 4

三角恒等变换

课题 3．2 简单的三角恒等变换（第二课时）

一．学习目标

① 能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学

生的推理能力。 ② 能正确地对形如y asin bcos 的三角函数的性质进行讨论。

③ 由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学

数学地思考问题、解决问题。

二、学习重、难点

1、重点：灵活运用三角变换化简函数表达式，探究函数y asin bcos 的有关性质，提升学生的探究能力。

2、难点：利用三角恒等变换化简函数表达式及对函数y asin bcos 性质的讨论。

三、学习过程

1、学习引导

问题1：三角函数有哪些基本性质？

问题2：对形如y Asin x 的三角函数的性质有哪些？

问题3：

如何求函数y sinxx的周期，最大值和最小值呢？（启发学生逆

用不同的和差公式进行三角恒等变换，将三角函数式化成类似于y Asin x 的标准形式，再进行求解。）

2、随堂练习

1

、求函数y sinxxx 0,数最值的基本思路和要点）

的最大值和最小值？（改变条件，突出求函 3

三角恒等变换

2、求函数y sin2x 2sinxcosx 3cos2x的周期，最大值和最小值？（改变三角函数式，进一步强化三角恒等变换在化简函数式方面的关键地位）

3、知识拓展

22

例1、求函数y asinx bcosxa,b R,a b 0的最值?(引导学生如何引入辅助角。

之后教师进行点评总结。)

例2、求函数y

sinx 1

的最值。

cosx 3

四、反思小结

通过三角变换，我们把形如y asinx bcosx的函数转化为形如y Asin( x )的函数，从而使问题得到简化，这个过程中蕴涵了化归思想。我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

五、自我测评

三角恒等变换

1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： （1）y sin2xcos2x； （2）y 2cos

2

x

1； 2

（3

）y x sin4x。

2、已知f（x）= sin x sin x cosx a(a R)，a为常数。

6 6

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若（fx）在 , 上最大值与最小值之和为，求a值并画出（fx）在 ,

22 22

上的图像。

3

、已知f(x) 2sin(x

)cos(x ) 2(x )

222

（1）化简f(x)的解析式；

（2）若0 ，求 ，使函数f(x)为偶函数；

（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x) 1,x [ , ]的x的集合。

三角恒等变换

课题 3．2 简单的三角恒等变换（第三课时）

一．学习目标

① 熟练掌握求三角函数最值的常用思路和方法，进一步提高学生三角变换的能力。 ② 掌握解数学应用问题的步骤和方法，能正确的选择自变量，建立函数关系式，培养学生

的应用意识和解决实际问题的能力，进一步理解数学建模思想。

③培养学生独立思考、自主探究的能力，学会数学地思考问题、解决问题。

二、学习重、难点

1、重点：求三角函数式的最值，解数学应用问题的思路、步骤和方法。

2、难点：如何科学地把实际问题转化为数学问题，如何选择自变量建立函数关系式。

三、学习过程

1、学习引导

问题1、求三角函数式在某一区间上的最值的基本思路是什么？

问题2、如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD3

是扇形的内接矩形，记 COP ，求当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积。

（给出题目之后适当启发思路关键在找出面积S与角α之间的函数关系式，然后由学生自主探究、合作交流完成整个过程并展示，再由教师点评①在求最值时注意自变量的范围；②应用问题转化为数学问题，最后结论要回归到实际问题。）

三角恒等变换

2、随堂练习

⑴若问题2中去掉条件“记 COP ”，要求改成“求矩形ABCD的最大面积”还有其它解决方法吗？（教师引导学生思考选择不同的自变量以寻求不同的解决方案。之后教师进行点评：①建立数学模型的关键是选择恰当的自变量，不同的自变量决定了数学模型的繁简程度；②自变量的引入通常有代数和三角两种方法，有些方法虽然无法最终解决问题，但能促进对函数模型多样性的理解。）

⑵已知OPQ是半径为1，圆心角为

的扇形，A、B是扇形弧上的动点，AB//PQ，ABCD3

是扇形的内接矩形，求矩形ABCD面积的最大值。

3、知识拓展

例1、2002年8月，在北京召开国际数学大会，大会会标如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积为1，小正方形的面积为

1

，求sin θ的值。 25

三角恒等变换

例2、如图所示，在一个矩形建筑物ABCD的部分周边地带开辟绿化带，使建筑物和绿化带整体构成一个更大的矩形区域AMPN，要求点B在AM边上，点D在AN边上，且对角线MN过C点。已知矩形建筑物的长|AB| = 30m，宽|AD| = 20m，绿化带造价为120元 / m 2。试问，按照此设计要求，至少要准备多少资金？

D

A

四、反思小结

在求有关最值问题时，常常可以设一个角为未知数，从而把实际问题转化为三角问题，然后利用三角函数的有界性、单调性、奇偶性等性质来求解。

五、自我测评

1 函数y 2sin(

3

x) cos(

6

x)(x R)的最小值等于（ ）

3 B 2 C 1

2 △ABC中， C 90，则函数y sinA 2sinB的值的情况（ ）

02

有最大值，无最小值 B 无最大值，有最小值

C 有最大值且有最小值 D 无最大值且无最小值

cos2x

3 当0 x 时,函数f(x) 的最小值是（ ） 2

4cosxsinx sinx

4 B

11

C 2 D

42

4 函数y sinx 3cosx在区间 0,

2

5 函数y (acosx bsinx)cosx有最大值2，最小值 1，则实数a ____，b ___

6 已知函数f(x) asinx cosxcosx

2

b(a 0) 2

(1)写出函数的单调递减区间；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/261i.html