《人教版初中数学九年级上册全书教案》

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第二十一章 二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握2＝（a≥0，b≥0），=2；

=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点

1．二次根式（a≥0）的内涵． （a≥0）是一个非负数； （）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用．

- 1 -

3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点

1．对（a≥0）是一个非负数的理解； 对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减 3课时 教学活动、习题课、小结 2课时

- 2 -

21．1 二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用 教学目标

理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键

1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评：

问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）． 问题2：由勾股定理得AB= 问题3：由方差的概念得S=. 二、探索新知 很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，有意义吗？ 老师点评:（略）

例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y?≥0）．

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

- 3 -

解：二次根式有：、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：、、、． 例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．

解：由3x-1≥0，得：x≥

当x≥时，在实数范围内有意义． 三、巩固练习

教材P练习1、2、3． 四、应用拓展

例3．当x是多少时， +在实数范围内有意义？ 分析：要使+在实数范围内有意义， 必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x≥- 由②得：x≠-1

当x≥-且x≠-1时， +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=++5，求的值．(答案:2) (2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)

五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第一课时作业设计 一、选择题

1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- B． C． D．x

2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． B． C． D．

3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B． C． D．以上皆不对 二、填空题

1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根．

- 4 -

三、综合提高题

1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时， +x2在实数范围内有意义？ 3．若+有意义，则=_______．

4.使式子有意义的未知数x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值． 第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1．（a≥0） 2． 3．没有

三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：x=． 2．依题意得：，

∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义． 3.

4．B

5．a=5，b=-4

- 5 -

21.1 二次根式(2)

第二课时

教学内容 1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）． 教学目标

理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键 1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（）2=a（a≥0）． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） （a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 （a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空： （）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______； （）2=______；（）2=_______；（）2=_______． 老师点评：是4的算术平方根， 根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4． 同理可得： （）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0， 所以（）2=a（a≥0） 例1 计算 1．（）2 2．（3）2 3．（）2 4．（）2

分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题． 解：（）2 =，（3）2 =322（）2=3225=45，

- 6 -

（）2=，（）2=． 三、巩固练习

计算下列各式的值： （）2 （）2 （）2 （）2 （4）2 四、应用拓展 例2 计算 1．（）2（x≥0） 2．（）2 3．（）2 4．（）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2

又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-222x23+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略)

五、归纳小结 本节课应掌握： 1．（a≥0）是一个非负数；

22

2．（）=a（a≥0）;反之:a=（）（a≥0）． 六、布置作业

1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 第二课时作业设计 一、选择题 1．下列各式中、、、、、， 二次根式的个数是（ ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0

- 7 -

二、填空题 1．（-）2=________．

2．已知有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 （1）（）2 （2）-（）2 （3）（）2 （4）（-3）2 (5)

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0） 3．已知+=0，求xy的值．

4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C

二、1．3 2．非负数 三、1．（1）（）2=9 （2）-（）2=-3 （3）（）2=36= （4）（-3）2=93=6 (5)-6 2．（1）5=（）2 （2）3.4=（）2 （3）=（）2 （4）x=（）2（x≥0） 3． xy=34=81 4.（1）x2-2=（x+）（x-） （2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+）（x-） (3)略

- 8 -

21.1 二次根式(3)

第三课时

教学内容 ＝a（a≥0） 教学目标

理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键

1．重点：＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立． 教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．（a≥0）是一个非负数； 3．()2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时， =a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

=_______； =_______； =______； =________； =________； =_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2； =0.01； =； =； =0； =． 因此，一般地： =a（a≥0） 例1 化简

（1） （2） （3） （4） 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）?去化简． 解：（1）==3 （2）==4 （3）==5 （4）==3 三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展

例2 填空：当a≥0时， =_____；当a<0时， =_______，?并根据这一性质回答下列问题．

- 9 -

（1）若=a，则a可以是什么数？ （2）若=-a，则a可以是什么数？ （3）>a，则a可以是什么数？ 分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， =，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为=a，所以a≥0； （2）因为=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在； 当a<0时， =-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简-． 分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握： =a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P8习题21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

- 10 -

第三课时作业设计 一、选择题

1．的值是（ ）．

A．0 B． C．4 D．以上都不对 2．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A． =≥- B． >>- C． <<- D．->= 二、填空题

1．-=________．

2．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 三、综合提高题

1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。 答案:

一、1．C 2．A

二、1．-0．02 2．5

三、1．甲 甲没有先判定1-a是正数还是负数 2．由已知得a-?2000?≥0，?a?≥2000 所以a-1995+=a， =1995，a-2000=19952， 所以a-19952=2000． 3. 10-x

- 11 -

21．2 二次根式的乘除

第一课时

教学内容

2＝（a≥0，b≥0），反之=2（a≥0，b≥0）及其运用． 教学目标

理解2＝（a≥0，b≥0），=2（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 发现规律，导出2＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算； 利用逆向思维，得出=2（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 重点：2＝（a≥0，b≥0），=2（a≥0，b≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出2＝（a≥0，b≥0）． 关键：要讲清（a<0,b<0）=， 如=或==3． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空

（1）3=_______， =______； （2）3=_______， =________． （3）3=________， =_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 3_____， 3_____， 3________ 2．利用计算器计算填空 （1）3______，（2）3______， （3）3______，（4）3______， （5）3______．

老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 2＝．（a≥0，b≥0） 反过来: =2（a≥0，b≥0） 例1．计算

- 12 -

（1）3 （2）3 （3）3 （4）3

分析：直接利用2＝（a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1）3= （2）3== （3）3==9 （4）3== 例2 化简 （1） （2） （3） （4） （5） 分析：利用=2（a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1）=3=334=12 （2）=3=439=36 （3）=3=9310=90 （4）=3=33=3xy （5）==3=3 三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评） ①3 ②332 ③2 (2) 化简:;; ; ; 教材P11练习全部 四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）

（2）3=433=43=4=8 解：（1）不正确． 改正： =＝3=233=6 （2）不正确． 改正：3=3===＝4 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）2＝=（a≥0，b≥0），=2（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

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第一课时作业设计 一、选择题

1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，?那么此直角三角形斜边长是（ ）．

A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm 2．化简a的结果是（ ）．

A． B． C．- D．- 3．等式成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）． A．432=8 B．534=20 C．433=7 D．534=20 二、填空题

1． =_______．

2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10ms2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题

1．一个底面为30cm330cm长方体玻璃容器中装满水，?现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）2= 验证：2=3==

23?222(22?1)2== ???22?122?122?122?1 （2）3= 验证：3=3==

3(32?1)?33(32?1)3== ??32?132?132?1 同理可得：4 5，??

通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论． 答案:

一、1．B 2．C 3.A 4.D 二、1．13 2．12s

三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x， 则x2310=30330320，x2=3033032，

- 14 -

x=3=30． 2． a= 验证：a=

a3?a?aa3?aa===. ??222a?1a?1a?1- 15 -

21．2 二次根式的乘除

第二课时

教学内容

=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用其进行计算和化简． 教学目标

理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键

1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空

（1）=_______， =________； （2）=_______， =_______； （3）=_______， =________； （4）=_______， =_______． 规律： _____； _____； ______； ______． 3．利用计算器计算填空: （1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________． 规律： ______； _______； _____； _____。

每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定： =（a≥0，b>0）， 反过来， =（a≥0，b>0） 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（1） （2） （3） （4）

分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案． 解： （1）===2 （2）==3=2 （3）===2 （4）===2 例2．化简：

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（1） （2） （3） （4）

分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． 解：（1）= （2）= （3）= （4）= 三、巩固练习

教材P14 练习1． 四、应用拓展

例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

∴原式=（1+x）=（1+x）=（1+x）= ∴当x=8时，原式的值==6． 五、归纳小结

本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》

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第二课时作业设计 一、选择题

1．计算的结果是（ ）． A． B． C． D． 2．阅读下列运算过程：， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”， 那么，化简的结果是（ ）． A．2 B．6 C． D． 二、填空题

1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______. 2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______． 三、综合提高题

1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，?现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算 （1）2（-）÷（m>0，n>0） （2）-3÷（）3（a>0） 答案:

一、1．A 2．C 二、1．(1);(2);(3) 2．

三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为xcm，依题意，

222

得：（x）+x=（3）， 2

4x=9315，x=（cm）， x2x=x2=（cm2）． 2．（1）原式＝-÷=- =-=-

3(m?n)(m?n)a2a2（2）原式=-2=-2=-a ??22am?nm?n- 18 -

21.2 二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1．计算（1），（2），（3） 老师点评： =， =， = 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，±2 所以

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21.3 二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）2zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式3单项式；（2）单项式3多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算: （1）（+）3 （2）（4-3）÷2

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律． 解：（1）（+）3=3+3 =+=3+2 解：（4-3）÷2=4÷2-3÷2 =2-

例2．计算

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