08 点线面之间的位置关系

第8课 点线面位置关系

【知识归纳】

一．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：A?l,B?l,且A??,B?????l??。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：P??,且P????I??l,P?l。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：a//l,且b//l?a//b。

二．空间中直线与直线之间的位置关系

1．概念（1） 异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

（2）异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b，经过空间任意一点O作直线a?//a,b?//b，我们把a?与b?所成的角（或直角）叫异面直线a,b所成的夹角。 范围0???90

（3）（等角）定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 三．空间中直线与平面之间的位置关系

???直线在平面内（l??）有无数个公共点??直线与平面相交（lI??A）有且只有一个公共点 ?直线在平面外???直线与平面平行（l//?）没有公共点?四．空间中平面与平面之间的位置关系

（1）平行：没有公共点 （2）相交：有一条公共直线

五．直线、平面平行的判定及其性质 定理 定理内容

线面平行 平面外的一条直线与平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行 的判定

面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行，则这两个平面平行 的判定 线面平行 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 的性质 任一平面与此平面的交线与该直线平行

面面平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行 的性质 符号表示 a??,b??,且a//b ?a//?a??,b??, aIb?P,a//?,b//?a//?,a??,?I??b ?a//b?//?,?I??a, ?I??b?a//b六．直线、平面垂直的判定及其性质

（一）基本概念

1．直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面?垂直，记作l??。 注：l??,a???l? a2．直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。 当直线与平面垂直时，规定这条直线与该平面成直角。 范围：0???90

3．二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的公共棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 范围：

??0????180?．

（二）四个定理

定理 定理内容

线面垂直 一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 的判定 符号表示 m、n??,mIn?P,且a?m,a?n?a??

面面垂直 一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面垂直。 a??,a?????? 的判定 线面垂直 同垂直与一个平面的两条直线平行。 的性质 面面垂直 两个平面垂直，则一个平面内垂直与交线的直线的性质 与另一个平面垂直。 a??,b???a//b ???,?I??l,a??, a?l?a??【考点题型】 考点一：公理的应用 1．下列命题正确的是（ ） A．三点确定一个平面；

B．一条直线和任意一点确定一个平面； C．两条互相垂直的直线确定一个平面；

D．和同一条直线都相交的三条平行线确定一个平面。

2．已知平面?I??l，A,B??，C??且C?l，又ABIl?R，若过A、B、C 三点的平面为ABC，则?I平面ABC?（ ）

A．直线l B．直线CR C．直线AC D．直线BC 考点二：点、线、面的位置关系 3．若直线a不平行于平面?，则下列结论成立的是（ ）

A．?内所有的直线都与a异面； B．?内不存在与a平行的直线； C．?内所有的直线都与a相交； D．直线a与平面?有公共点. 4．对于任意的直线l与平面?，在平面?内必有直线m，使m与l( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 5．已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0 6．下列命题中正确的为( )

A．如果直线a垂直于平面?内的无数条直线，则a??； B．如果直线a平行于平面?内的无数条直线，则?//?； C．过空间一点有且只有一条直线平行于已知平面； D．过空间一点有且只有一条直线垂直于已知平面。

7．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面?，使得( ) A．a??,b?? B．a??,b//? C．a??,b?? D．a??,b?? 8．对于平面?和共面的直线m、n，下列命题中为真命题的是( ) A．若m??，m?n，则n//? B．若m//?，n//?，则m//n C．若m??，n//?，则m//n D．若m、n与?所成的角相等，则m//n

9．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是AB、CD的中点，则下列直线中不互相垂直．．．．．的是(A．B1C与D1C1 B．B1C与D1B C．D1B与EF D．A1B与B1C1 考点三：空间角 ) E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角10．已知正方体ABCD?A1BC11D1中，

的余弦值为( )

4333A．? B． C． D．?

554511．如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AB?2，AD?1，

E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面

D1A1EDB1C1GC直线A1E与GF所成角的余弦值为( ) A．

152 B． C． 5210 D．0 5AFB考点四：解答题训练 12．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF//平面ACD; (2)平面EFC⊥平面BCD.

H点． 13．如图，正方体ABCD?A1BC11D1中，B1D与平面A1BC1相交于

（1）求证：平面A1BC1//平面ACD1； （2）求证：B1D?平面A1BC1；

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