2012高考数学（理）二轮复习教案一：函数与导数

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函数与导数

一、高考动向：

函数与导数是高考数学的重点内容之一,函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,在近几年的高考中, 函数类试题在试题中所占分值一般为22---35分．一般为2个选择题或2个填空题，1个解答题 ,而且常考常新.

在选择题和填空题中通常考查反函数、函数的定义域、值域、函数的单调性、奇偶性、周期性、函数的图象、导数的概念、导数的应用以及从函数的性质研究抽象函数。在解答题中通常考查函数与导数、不等式的综合运用。其主要表现在：

1．通过选择题和填空题，全面考查函数的基本概念，性质和图象． 2．在解答题的考查中，与函数有关的试题常常是以综合题的形式出现． 3．从数学具有高度抽象性的特点出发，没有忽视对抽象函数的考查． 4．一些省市对函数应用题的考查是与导数的应用结合起来考查的． 5．涌现了一些函数新题型．

6．函数与方程的思想的作用不仅涉及与函数有关的试题，而且对于数列，不等式，解析几何等也需要用函数与方程思想作指导．

7.多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. 8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 复习中关注：

1．在选择题中会继续考查比较大小，可能与函数、方程、三角等知识结合出题.

2．在选择题与填空题中注意不等式的解法，建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值应用题.

3．解题中注意不等式与函数、方程、数列、应用题、解几的综合、突出渗透数学思想和方法.

二、主干知识整合:

1．函数的性质

(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质，是函数中最常涉及的性质，特别注意定义中的符号语言；

(2)奇偶性：偶函数其图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数其图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．特别注意定义域含0的奇函数f(0)＝0；

(3)周期性：f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则称f(x)为周期函数，T是它的一个周期． 2．对称性与周期性的关系

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(1)若函数f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别地若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；

(2)若函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0)，(b,0)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，2|b－a|是它的一个正周期，特别，若奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)对称，则函数f(x)是周期函数，2|a|是它的一个正周期；

(3)若函数f(x)的图象有一条对称轴x＝a和一个对称中心(b,0)(a≠b)，则函数f(x)是周期函数，4|b－a|是它的一个正周期，特别是若偶函数f(x)有对称中心(a,0)(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期，若奇函数f(x)有对称轴x＝a(a≠0)，则函数f(x)是周期函数，4|a|是它的一个正周期．

3．函数的图象

(1)指数函数、对数函数和幂函数、一次函数、二次函数等初等函数的图象的特点； (2)函数的图象变换主要是平移变换、伸缩变换和对称变换．

4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(注意根据图象记忆性质)

指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况；对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况；幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数α>0，α＝0，α<0三种情况．

5．函数的零点

方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

6．二分法

用二分法求函数零点的一般步骤：

第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； 第二步：求区间[a，b]的中点c； 第三步：计算f(c)：

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)． 7．函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．

8．导数的几何意义

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9．函数的单调性与导数

如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.

10．函数的导数与极值

对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y＝|x|在x＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件． 11．闭区间上函数的最值

在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者．

12．定积分与曲边形面积

(1)曲边为y＝f(x)的曲边梯形的面积：在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)，和直线x＝a，x＝b(a≠b)，|f?x?|dxy＝0所围成的曲边梯形的面积S＝?.当f(x)≥0时，S＝?bf(x)dx；当f(x)<0时，S＝－?bf(x)dx. ?a

??

a

a

b

(2)曲边为y＝f(x)，y＝g(x)的曲边形的面积：在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，y＝g(x)，和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝?b|f(x)－g(x)|dx.当f(x)≥g(x)时，S＝?b[f(x)－g(x)]dx；当f(x)

?a?a

时，S＝?b[g(x)－f(x)]dx

?a

三、课前热身：

2f(x)?x,g(x)?lnx的图像分别交于点M,N，则当|MN|达到最x?t1. （湖南理8）设直线与函数

小时t的值为（D ）

521A．1 B．2 C．2 D．2

【答案】D

【解析】由题|MN|?x?lnx，(x?0)不妨令h(x)?x?lnx，则

22h'(x)?2x?1x，令h'(x)?0解得

x?2x?(0,2，因222)x?(,??)x?2时，h'(x)?0，22时，|MN|当时，h'(x)?0，所以当

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t?达到最小。即

22。

12?－3?0，?时，2．设奇函数y＝f(x)(x∈R)，满足对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)，且x∈?f(x)＝－x，则f(3)＋f?2??2?1

的值等于________－. 4

根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t)＝f(1＋t)，即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－311

－?＝f??＝－.所以f(3)f(t)]＝f(t)，得函数y＝f(x)的一个周期为2，故f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f??2??2?4311

－?的值是0＋?－?＝－. ＋f??2??4?4

3. [2011·辽宁卷] 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( B )

A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

设G(x)＝f(x)－2x－4，所以G′(x)＝f′(x)－2，由于对任意x∈R，f′(x)>2，所以G′(x)＝f′(x)－2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数，又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.

log2x,x?0??f?x???log??x?,x?01f?a??f??a???24．（天津理8）设函数若，则实数a的取值范围是（ ）．

Ａ． Ｃ．

??1,0?U?0,1?

Ｂ． Ｄ．

???,?1?U?1,???

??1,0?U?1,??? ???,?1?U?0,1?

【答案】C

【解析】若a?0，则

若a?0则

2log2a?log1a2，即

2log2a?0，所以a?1，

，所以0??a?1，?1?a?0。

．故选C．

log1??a??log2??a?，即

2log2??a??0所以实数a的取值范围是a?1或?1?a?0，即

a???1,0?U?1,????2xy?e?1在点（0,2）处的切线与直线y?0和y?x围成的三角形的面积为 5. （全国Ⅱ理8）曲线

112(A)3 (B)2 (C)3 (D)1

【答案】A

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6. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)．其中正确命题的序号是________．(请把正确命题的序号全部写出来)

【答案】 ①②④

【解析】 由f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故函数f(x)是周期函数，命题①正确； x＋2－x

由于函数f(x)是偶函数，故f(x＋2)＝f(－x)，函数图象关于直线x＝＝1对称，故命题②正确；

2由于函数f(x)是偶函数，故函数在区间[0,1]上递减，根据对称性，函数在[1,2]上应该是增函数(也可根据周期性判断)，故命题③不正确；

根据周期性，f(2)＝f(0)，命题④正确． 四、典例体验：

1

例题1：已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．

2

(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值； (2)讨论方程f(x)＝0解的个数，并说明理由． a

【解答】 (1)因为f′(x)＝x－(x>0)，

x又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b， 2－aln2＝2＋b，??所以?a解得a＝2，b＝－2ln2.

2－＝1，??2

(2)当a＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解． a

当a<0时，f′(x)＝x－>0在(0，＋∞)上恒成立，

x所以f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数．

1121

e?＝e－1<0，所以方程有唯一解． 因为f(1)＝>0，f??a?2a2

2

ax－a?x＋a??x－a?

当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，

xxx

因为当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)内为减函数； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)内为增函数． 11

所以当x＝a时，有极小值，即最小值f(a)＝a－alna＝a(1－lna)，

221

当a∈(0，e)时，f(a)＝a(1－lna)>0，此方程无解；

21

当a＝e时，f(a)＝a(1－lna)＝0.此方程有唯一解x＝a，

21

当a∈(e，＋∞)时，f(a)＝a(1－lna)<0，

2

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