第一章整式的运算第二讲 同底数幂的乘法运算

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龙文教育个性化辅导教案提纲

学生: 日期: 年 月 日 星期: 时段: 第二讲 同底数幂的乘法：同底数幂乘法 【学习目标】 1．能说出同底数幂的乘法法则． 2．会用同底数幂的乘法法则进行计算． 【主体知识归纳】 1．幂的意义 n个?????几个相同因数a相乘，即a?a?a，记作an，读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数。 注：底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式。 2. 同底数幂的乘法法则： 1．字母表示 a·a＝amnm＋n（m、n都是正整数）． 2．语言叙述 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3．法则的推广 a·a·a＝amnpm＋n＋p（m、n、p都是正整数）． 【基础知识精讲】 在应用同底数幂的乘法法则进行计算时，要注意以下几点： 1．只有在幂的底数相同而且是相乘关系时，才能应用这个法则进行计算．如 3472224482·3≠3，a·b≠（a＋b），b＋b≠b． 2．计算的结果，底数与原底数相同，指数为原来各指数的和． 3．不要漏下指数为“1”的情况，因为这个“1”在多数情况下是省略不写的． 4．法则a·a＝a 1

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mnm＋n中的底数a，可以表示一个具体的数，也可以表示一个单项式或一个多项式．

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5．注意法则与合并同类项的区别． ［例2］计算： （1）a6·a6 （2）a6＋a6 点拨：对于（1），可利用“同底数幂的乘法公式”计算，而第（2）题，是两个幂相加，需进行合并同类项，注意两者的区别． ＋解：（1）a6·a6＝a66＝a12 （2）a6＋a6＝2a6 注意区分：同底数幂的乘法是乘法运算，且底数不变，指数相加． 而合并同类项是加（减）法，且系数相加，字母与字母的指数不变． 6．对于法则的应用，不仅要知道a·a＝amnm＋n，还要知道am＋n＝a·a，即要学会逆向思维． mn 7．此公式相乘的幂必须底数相同，若不相同，需进行调整，化为同底数，才可用公式． 8．有系数的幂的乘法：系数同系数相乘、幂同幂相乘。 【例题精讲】 例1．计算： 23324（1）x·x； （2）（－x）（－x）； （3）－m·m； 23372（4）（－a）·a； （5）（－b）·（－b）·b． 232＋35解：（1）x·x＝x＝x； 31＋344（2）（－x）（－x）＝（－x）＝（－x）＝x； （3）－m·m＝－m23242＋4＝－m； 32＋356（4）（－a）·a＝a·a＝a＝a； 3723723723＋7＋212（5）（－b）·（－b）·b＝（－b）·（－b）·b＝b·b·b＝b＝b． 说明：在幂的运算中，经常会用到以下的一些变形： 224466（1）（－a）＝a，（－a）＝a，（－a）＝a，?? 335577（2）（－a）＝－a，（－a）＝－a，（－a）＝－a，?? 2244（3）（b－a）＝（a－b），（b－a）＝（a－b），?? 33（4）（b－a）＝－（a－b），（b－a）＝－（a－b），?? 以上这些变形，可归纳如下： nn???a(n为偶数),?(a?b)(n为偶数),n（－a）＝?n （b－a）＝? n????a(n为奇数);??(a?b)(n为奇数).n22 教育是一项良心工程——深圳龙文教育

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例2．计算： （1）9·3解：（1）9·3m＋12m＋1·3m－3； （2）（x－y）（y－x）（x－y）（y－x）． m－3232·3m－3＝3·32m＋13·3＝322＋（m＋1）＋（m－3）＝3； 2m（2）（x－y）（y－x）（x－y）（y－x） 232＝（x－y）［－（x－y）］（x－y）（x－y） 2＋1＋3＋28＝－（x－y）＝－（x－y）． 例3．已知：x＝1，x＝4，求x解：x3a＋2b3a2bab3a＋2b的值． b＝x·x＝x·x·x·x·x aaab＝1×1×1×4×4＝16． ?1??1?例4 计算： （1）??????? （2）a10·a2·a ?2??2?分析：（1）中的两个幂的底数都是?231；（2）中的三个幂的底数都是a。这两题都是同底幂的乘法运算，2根据同底数幂的乘法性质底数不变，指数相加。 ?1??1??1?解：（1）???????=????2??2??2?232?31?1?=????? 32?2?5（2）a10·a2·a=a10+2+1=a13 注：第（2）小题中第三个因式a的指数是1，不要误以为没有指数。 例5 计算 －（1）－x2·(－x)2 （2）a·am+1·am1 （3）x5·x3－3x7·x （4）(a+b－c)2·(c－a－b)3 解：（1）－x2·(－x)2=－x2·x2=－x4 －－（2）a·am+1·am1=a1+(m+1)+(m1)=a2m+1 （3）x5·x3－3x7·x=x8－3x8=－2x8 （4）(a+b－c)2·(c－a－b) 3=(a+b－c)2·[－(a+b－c)]3 =－(a+b－c)2·(a+b－c)3=－(a+b－c)5 注：（1）小题中要注意－x2和(－x)2的区别；（2）小题中先算同底数幂的乘法，再合并同类项；（4）小题中是不同底的两个幂相乘，必须通过乘方的意义，先化成同底数幂。 如：判断下列各对式子之间是什么关系？ （1）（－x）2与－x2；（2）（－a）3与－a3；（3）（a－b）2与（b－a）2；（4）（x－y）3与（y－x）3；（5）－a－b与－(a+b)；（6）（x－y+z）与x－（y－z） 其中（2）、（3）、（5）、（6）的式子之间相等，（1）、（4）的式子之间互为相反数。 【难题巧解点拨】 例1 求值2·22 解：2·22=29·22=211 注：3=9不要将22323232当作（23）2，关于同底幂的乘法，底一定要弄清楚。 例2 若m=－2，求－m2·(－m)4·(－m)3的值。 解： －m2·(－m)4·(－m)3 =－m2·m4·(－m)3 3

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=m9 当m=－2时，原式=(－2)9=－512 【课本难题解答】 1．计算 －（1）xn·xn+1·x2n·x （2）xn1·xn+1·x 解：（1）xn·xn+1·x2n·x=xn+(n+1)+2n+1=x4n+2 －－（2）xn1·xn+1·x=x(n1)+(n+1)+1=x2n+1 2．计算： （1）x·xm－xm+1 （2）y·yn+1－yn·y2 解：（1）x·xm－x m+1=x1+m－xm+1=0 （2）y·yn+1－yn·y2=y1+(n+1)－yn+2=yn+2－yn+2=0 【命题趋形分析】 本节考试热点：会用同底数幂的乘法性质进行计算。 命题以计算和选择主为。 【典型热点考题】 例1 判断对错，并说明理由 （1）a3·a3=2a3； （2）x5+x5=x10； （3）b2·b4=b8； （4）a·a2·a3=a5 解：（1）错。a3·a3是同底数的幂相乘，应为a6，这里错在与合并同类项相混淆。 （2）错。x5+x5是合并同类项，应为2x5，这里错在与同底数的幂相乘混淆了。 （3）错。b2·b4是同底数的幂相乘，应为b6，这里错在与幂的乘方混淆了。 （4）错。这里错在误把a的指数看成0，正确的应是1，应为 a·a2·a3=a1+2+3=a6 注：此题一般以选择题为主，如以上正确的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例2 计算：（1）(x+y)3·(x+y)2 （2）－a3·(－a)2 解：（1）(x+y)3·(x+y)2=(x+y)3+2=(x+y)5 （2）－a3·(－a)2=－a3·a2=－a3+2=－a5 【学习方法指导】 ［例1］计算： ＋（1）－a·（－a）3·（－a）2 （2）－b3·bn （3）（x＋y）n·（x＋y）m1 点拨：应用同底数幂的乘法公式时，一定要保证底数相同．（1）中底数是－a，－a可看作（－a）1；（2）中－b3可看作（－1）·b3，这样b3与bn可利用公式进行计算；（3）中底数是x＋y，将它看作一个整体． 解：（1）－a·（－a）3·（－a）2 （不要漏掉指数1）＝ （－a）1·（－a）3·（－a）2 ＝（－a）6 （2）－b3·bn ＝（－1）·（b3·bn）——乘法结合律 ＋＝（－1）·b3n ＋＝－b3n ＋（3）（x＋y）n·（x＋y）m1 ＋（＋）＝（x＋y）nm1 ＋＋＝（x＋y）nm1 ［例3］计算： （1）8×2m×16 （2）9×27－3×34 点拨：这两道题的乘法中，底数都不相同，但可进行相应的调整，变为同底数幂，即可利用公式进行计算．而（2）中先进行乘法，再进行减法，注意运算顺序． ＋＋＋解：（1）8×2m×16＝23×2m×24＝23m4＝2m7 （2）9×27－3×34＝32×33－3×34＝35－35＝0 4

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【同步达纲练习】 1．选择题 33396 6（1）计算－a·a的结果是（ ） A．－2a B．－a C．－aD．a （2）已知a·a2x－3＝a，那么x等于（ ）A．7 B．6 C．5 D．－1 2338 6（3）计算－（－x）（－x）（－x）的结果是（ ）A．－x（4）计算（4·2）（4·2）的结果是（ ） A．4·2（5）a2m＋2mmB．（－x）8 C．－x9 D．－x D．22m＋4182m B．8·22mm C．4·4m＋1 2m 可以写成（ ） A．2a2n＋12nm＋1 B．a＋a2n＋1 2 C．a·a2D．a·a 2m2（6）计算（－3）＋3·（－3）的结果是（ ）A．3B．－32n＋1 C．0 D．1 2．填空题 246m3m＋4（1）（－x）（－x）（－x）＝____________． （2）a·a·____________＝a． m23（3）4·4·16＝____________． （4）（a－b）（a－b）（a－b）＝____________． 434n2n－1（5）a·（－a）·（－a）·（－a）＝____________． （6）b·b－b·b＝____________． （7）若xm－3·xm＋3＝x，则m＝____________． （8）若2·2＝x，则x＝____________． 103523．计算： 45（1）－a·a； 11213）（－）（－）； 333625（3）－m·m＋m·m； 52（4）－（－a）·（－a）·（－a）； nn－1（5）S·S·（－S）； 35（6）（y－x）（x－y）（y－x）； （2）（－（7）x·（－x）·x； （8）b·（－b）＋（－b）·（－b）． 4．已知xa－b222a·x2b＋1＝x，且y11a－1·y4－b＝y．求a、b的值． 5【同步达纲练习】 一、判断题（2′×10，对的打“√”，错的打“×”） （1）a3·a3=2a3 （ ） （2）a+a4=a5 （ ） （3）a5+a5=a10 （ ） （4）－(－x3)·(－x)2=－x5 （ ） （5）(a－b)2·(b－a)2=(a－b)4 （ ） 2．选择题 （1）下列各式，仅有一个括号填入x3，才能使等式成立，此式是（ ） A．x3·( )=2x3 B．x·( )=x3 C．x·( )+x2=2x5 D．x2·( )+x5=2x5 （2）下列各题中的两个幂，其中是同底数幂的是（ ） A．－a3·与(－a)3 B．(－a)3与a3 C．－a3与a3 D．(a－b)3与(b－a)3 5

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（3）审查下列四个等式： ①(－a)n·(－a)n+1=a2n+1 ②(－a)n·(－a)n+1=－a2n+1 ③(－an)·(－an+1)=－a2n+1 ④(－an)·(－an+1)=a2n+1 其中正确的是（ ）A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④ 3．填空题 －（1）（－b）·(－b)3= （2）x2m+1=xm· =x2m2· =xm+2· （3）－(－a)2= （4）－(－a2) （5）b·b2·b3= （6）－32×33 －（7）x3·xn1= （8）(m－2)2(m－2)= －（9）(－x)2·(－x)3= （10）100·10n·10n1= （11）8·25·26= （12）103·10+100·102= 【素质优化训练】 1．计算 －（1）x·x2·xn－xn+3 （2）y·ym+1·ym1－y2m+1 （3）(x－y)(y－x)2·(x－y)3 （4）(b－a)(a－b)3(b－a)3 2．若m·n是自然数，且a>1，anm=amn是否一定成立？若成立，请给予证明，不成立请举出反例。 －－【拓展训练】 计算：am·am3＋a2m4·a －－＋－－＋－－－解：am·am3＋a2m4·a＝amm3＋a2m41＝a2m3＋a2m3＝2a2m3 发散 本节课会用到的以前知识： 1．幂的知识：在am中，a是底数，m是指数，am叫幂． 2．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项． 3．合并同类项法则：在合并同类项时，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变． 4．乘法结合律：a·b·c＝a·（b·c）运用公式时，适当地利用乘法运算律，可简化运算． 教学反思 课后作业 学生对于本次课评价： 教师评定： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 学生签字： 教师签字： 教务主任签字： ________ 6

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