数列学案（步步高成品）

学校 高二年级数学学科导学案 编制人： 审核人： 高二文数 授课日期： 月 日 姓名： 班级： 编号：第 周 号

课题：数列的概念与简单表示法

【学习目标】： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)

.2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

【学习重点】：数列的概念及表示 【学习难点】：利用概念及表示解决习题 【学习过程】（步步高28）

一、【基础知识梳理】：

1．数列的定义

按________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{an}，其中an是数列的第____项．

2．通项公式：

如果数列{an}的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．

3．数列常用表示法有：_________、________、________. 4．数列的分类： 数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列?an＋1______an；递减数列?an＋1______an；常数列?an＋1______an.

5．an与Sn的关系：

? ，n＝1，?

已知Sn，则an＝?

?? ，n≥2.

自我检测 1．(2011·汕头月考)设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大 ( ) A．10 B．11 C．10或11 D．12

2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于 ( ) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21

81524

3．(2011·龙岩月考)已知数列－1，，－，，?按此规律，则这个数列的通项公是( )

579

2

n?n＋3?nn＋nA．an＝(－1)·B．an＝(－1)n·

2n＋12n＋1

?n＋1?2－1n?n＋2?

C．an＝(－1)·D．an＝(－1)n·

2n＋12n＋3

4．下列对数列的理解：

①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3，?，n})上的函数； ②数列的项数是有限的；

③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．

其说法正确的序号是 ( ) A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④

1211

5．(2011·湖南长郡中学月考)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，则该数

2an＋1anan＋2

列的通项an＝______.

n

二、【合作探究】：（本部分先由同学自主完成，课堂上通过与小组同学交流合作进一步完善） 三、【能力训练】：（重难点突破）

探究点一 由数列前几项求数列通项

例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： 246810

(1)，，，，，?； 3153563991925

(2)，－2，，－8，，?. 222

变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：

1925

(1)3,5,9,17,33，?；(2)，2，，8，，?；

222

(3)2，5，22，11，?；(4)1,0,1,0，?.

探究点二 由递推公式求数列的通项

例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．

－

(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n1an＝an－1 (n≥2)．

1

变式迁移2 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；

(3)a1＝2，an＋1＝an＋ln??1＋1n??.

探究点三 由an与Sn的关系求an

例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式．

变式迁移3 (2011·杭州月考)(1)已知{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求{an}的通项公式．(2)已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2Sn＝an＋1，求an.

反思：

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课题：等差数列及其前n项和（1） 【学习目标】： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列

2

与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．

【学习重点】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 【学习难点】：．1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

【学习过程】（步步高29）

基础知识梳理

1．等差数列的有关定义

(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n∈N*，d为常数)．

(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的__________． 2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝________，an＝am＋________ (m，n∈N*)． (2)前n项和公式：Sn＝__________＝____________. 3．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sd

n＝2

n2＋??ad1－2??n. 数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝__________. 4．等差数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N*)，则有__________，特别地，当m＋n＝2p时，______________. (2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为____________；若d<0，则数列为__________；若d＝0，则数列为________．

自我检测 1．(2010·北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中，a5＋a9－a7＝10，记Sn＝a1＋a2＋?＋an，则S13的值为 ( )

A．130 B．260 C．156 D．168

2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于 ( )

A．1 B.5

3

C．2 D．3

3．(2010·泰安一模)设San是等差数列{an}的前n项和，若5a＝5，则S9等于 ( )

39S5A．1 B．－1 C．2 D.1

2

4．(2010·湖南师大附中)若等差数列{an}的前5项之和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 ( ) A．12 B．13 C．14 D．15

3

5．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.

二、【合作探究】：（本部分先由同学自主完成，课堂上通过与小组同学交流合作进一步完善） 三、【能力训练】：（重难点突破） 探究点一 等差数列的基本量运算

例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10＝30，a20＝50， (1)求通项an；

(2)若Sn＝242，求n.

变式迁移1 设等差数列{an}的公差为d (d≠0)，它的前10项和S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.

探究点二 等差数列的判定

例2 已知数列{a311

n}中，a1＝5，an＝2－an－1 (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝an－1

(n∈N*)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．

变式迁移2 已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3的值．

(2)是否存在实数λ，使得数列{an＋λ

2

n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

探究点三 等差数列性质的应用

例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．

变式迁移3 已知数列{an}是等差数列．

(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n项和为286，求n； (2)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；

(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

探究点四 等差数列的综合应用 例4 (2011·厦门月考)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3

1

＝10，S6＝72.若bn＝an－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

2

4

变式迁移4 在等差数列{an}中，a16＋a17＋a18＝a9＝－36，其前n项和为Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值． (2)求Tn＝|a1|＋|a2|＋?＋|an|.

反思：

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课题：等差数列及其前n项和（2） 【学习目标】： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．

【学习重点】1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 【学习难点】：．1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 【学习过程】（步步高29）

基础知识梳理

1．等差数列的判断方法有：

(1)定义法：an＋1－an＝d (d是常数)?{an}是等差数列． (2)中项公式：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)?{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q (p，q为常数)?{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)?{an}是等差数列．

2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．

3．要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．

4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a，a＋d，a＋2d；②a－d，a，a＋d；③a－d，a＋d，a＋3d等可视具体情况而定．

二、【合作探究】：（本部分先由同学自主完成，课堂上通过与小组同学交流合作进一步完善）

三、【能力训练】：（重难点突破） 1．(2010·重庆)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为 ( ) A．5 B．6 C．8 D．10

2．(2010·全国Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋?＋a7＝ ( ) A．14 B．21 C．28 D．35

3．(2010·山东潍坊五校联合高三期中)已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是 ( )

A．4 B．5 C．6 D．7

4．在等差数列{a，则a1

n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝1209－3

a11的值为 ( )

A．14 B．15 C．16 D．17

5．等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的是 ( ) A．S30是Sn中的最大值 B．S30是Sn中的最小值 C．S30＝0 D．S60＝0

6．(2010·辽宁)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.

5

7．(2009·海南，宁夏)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________. 8．在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________. 三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·莆田模拟)设{an}是一个公差为d (d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110，且a22＝a1a4.

(1)证明：a1＝d；

(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．

10．(12分)(2010·山东)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn；

(2)令ba21n＝n－1

(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.

11．(14分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1

an

}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项；

(3)若λa1

n＋a≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

n＋1

【学习反思】

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课题：等比数列及其前n项和

【学习目标】：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 【学习重点】：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 【学习难点】：能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 【学习过程】：（步步高30） 一、【基础知识梳理】：

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________. 3．等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质

6

(1)通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________________．

?1??an?2

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，?a?，{an}，{an·bn}，?b?仍是等比数列． 5．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1 (n＝1,2，?)，若数列{bn}有连续四项在?n??n?

集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________. ???a1<0?a1<0?a1>0，?a1>0，

(4)单调性：?或??{an}是________数列；?或??{an}是________

?01?q>1?0

数列；q＝1?{an}是____数列；q<0?{an}是________数列．

5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1； 二、【合作探究】：（本部分先由同学自主完成，课堂上通过与小组同学交流合作进一步完善）

nnn

a1?1－q?a1?q－1?a1qa1 当q≠1时，Sn＝＝＝－. 1－qq－1q－1q－1

三、【能力训练】：（重难点突破） 6．等比数列前n项和的性质

探究点一 等比数列的基本量运算 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公

例1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}比为______．

的通项an和前n项和Sn. 自我检测

1．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的 ( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式迁移1 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q. n

2．若数列{an}的前n项和Sn＝3－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是 ( ) A．3 B．1 C．0 D．－1

473n＋1*

3．(2011·温州月考)设f(n)＝2＋2＋2＋?＋2 (n∈N)，则f(n)等于 ( )

22＋

A.(8n－1) B.(8n1－1) 探究点二 等比数列的判定 77

2＋2＋

C.(8n2－1) D.(8n3－1) 例2 (2011·岳阳月考)已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈77

*N.

(1)证明数列{an＋1}是等比数列； (2)求{an}的通项公式以及Sn. 4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an等于 ( )

?3?n ?2?n A．8· B．8·?2??3? ?3?n－1 ?2?n－1 C．8· D．8· ?2??3?

7

变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋?＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)． (1)求a2，a3的值；

(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．

探究点三 等比数列性质的应用

11111

例3 (2011·湛江月考)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，

a1a2a3a4a5

求a3.

变式迁移3 (1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5

＋b9的值；

(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.

8

反思：

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课题：等比数列及其前n项和 【学习目标】：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 【学习重点】：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 【学习难点】：能用等比数列的有关知识解决相应的问题． 【学习过程】： 一、【基础知识梳理】：(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0

a1n－

函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn1＝q·q (q>0且q≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思

a1想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．

1－q

a1?1－qn?n

本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q和的值整

1－q

体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．

na1， q＝1，??－

1．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn1，Sn＝?a1?1－qn?

， q≠1.??1－q2．等比数列的判定方法：

an＋1

(1)定义法：即证明a＝q (q≠0，n∈N*) (q是与n值无关的常数)．

n

(2)中项法：证明一个数列满足a2an＋2 (n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)． n＋1＝an·3．等比数列的性质：

－

(1)an＝am·qnm (n，m∈N*)；

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an；

(3)设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．

5．等差数列与等比数列的关系是：

(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列．

例 (12分)设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．

解 设数列{an}的公比为q，

若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn. ∵S2n＝6 560≠2Sn＝160，∴q≠1，

S52．(2010·浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于 ( )

S2

A．－11 B．－8 C．5 D．11

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于( ) A．33 B．72 C．84 D．189

4．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25

中也是常数的项是 ( )

A．T10 B．T13 C．T17 D．T25

S105．(2011·佛山模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )

S5

A．－3 B．5 C．－31 D．33

6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．

7．(2011·平顶山月考)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋?＋a99＝________.

8．(2010·福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

9．(12分)(2010·陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项；

(2)求数列{2an}的前n项和Sn.

9

??

由题意得?a?1－q

??1－q

1a1?1－qn?

＝80， ①1－q

2n

?

＝6 560. ②

∴qn＝81.

将qn＝81代入①得a1(1－81)＝80(1－q)， ∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1， ∴数列{an}为递增数列．

a1na1－

∴an＝a1qn1＝q·q＝81·q＝54. a12

∴＝.与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3， q3

－

∴a2n＝2×32n1 (n∈N*) 1．(2010·辽宁)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于 ( )

15313317A. B. C. D. 2442

将①整体代入②得80(1＋qn)＝6 560，

10．(12分)(2011·廊坊模拟)已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5. (1)求证：数列{an－1}是等比数列；

111

(2)求＋＋?＋的值．

a2－a1a3－a2an＋1－an

11．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

c1c2cn(2)设数列{cn}对n∈N*均有＋＋?＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋?＋c2 010.

bnb1b2

10

反思：

学校 高二年级数学学科导学案 编制人： 审核人： 高二文数 授课日期： 月 日 姓名： 班级： 编号：第 周 号

数列求和

【学习目标】探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法； 【学习重难点】．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。 【学习过程】

一、【基础知识梳理】

1．数列an与Sn的关系

2.（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an=?数列前n项和

①重要公式：1+2+?+n=1+2+?+n=

2

2

2

?sn?sn?1n?2 。

sn?1?11n(n+1)； 21n(n+1)(2n+1)； 63332122

1+2+?+n=(1+2+?+n)=n(n+1)；

4②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；

nm

③等比数列中，Sm+n=Sn+qSm=Sm+qSn； ④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：

an?1111?(?)

(An?B)(An?C)C?BAn?BAn?C

111=－

n(n?1)nn?1n·n！=(n+1)!－n!、Cn－1

r－1

=Cn－Cn－1、

rr

n11=－等。

(n?1)!n!(n?1)!⑤错位相减法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错项相消法。

an?bn?cn, 其中

?bn?是等差数列，

?cn?是等比数列，记

Sn?b1c1?b2c2???bn?1cn?1?bncn，则qSn?b1c2????bn?1cn?bncn?1，?

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：an?bn?cn

二、【合作探究】（本部分先由同学自主完成，课堂上通过与小组同学交流合作进一步完善） 三、【能力训练】高考调研(三十七) 1． 公式法求和

例1．求数列1，4，7，?，3n?1的所有项的和

例2．求和1?x?x???x2n?2?5n?1(n为奇数)?例4．已知数列?an?中，an??，求S2m。 n??(2)(n为偶数)

3．并项法求和

例5．数列?an?中， an?(?1)

例6．数列?an?中，，an?(?1)4n，求S20及S35。

nn?1n2，求S100。

(n?2,x?0)

2．分组法求和

例3．求数列1，1?2，1?2?3，?，1?2?3???n的所有项的和。

11

4．错位相减法求和

例7．求和1?2x?3x2???nxn?1（x?0）。

5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。例8．求和11?3?13?5?115?7???(2n?1)(2n?1)。

例9．求和12?1?13?2?12?3???1n?1?n。

［练习］

求和：1?11?2?11?2?3????11?2?3????n

6 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

已知f(x)?x21?x2，则f(1)?f(2)?f??1??1??1??2???f(3)?f??3???f(4)?f??4???

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递推公式求通项公式 一、【基础知识梳理】

1．数列的概念

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，??，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an；

数列的一般形式：a1，a2，a3，??，an，??，简记作 ?an?。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

（3）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（4）递推公式定义：如果已知数列?an?的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

类型一：an?1?pan?q（p?1）（待定系数法）

例1 已知数列?an?满足an?2an?1?3且a1?1，求数列?an?的通项公式。

12

类型二：an?1?an?f(n) （叠加法） 例2 已知a1?1，an?an?1?n，求an。

类型三：an?1?f(n)?an （叠乘法）

例3 已知a1?1，an?1n?n?1an?1，求an。

类型四：an?1?c?anpa?d（c?0）（取到数） n例4 已知a2?an1?4，an?1?2a，求an。

n?1

能力训练：

1. 已知{an}中，a1?3，ann?1?an?2，求an。

2. 已知{an}中，a1?1，an?3an?1?2（n?2）求an。

3. 已知{an}中，a1?1，an?2an?1?2n（n?2）求an。

a4. 已知{an?4?4n}中，a1?4，an?1（n?2）求an。

13

5. 已知{an}中，a1?1，其前n项和Sn与aa?2S2nnn满足

2Sn?1（n?2） {1}（1）求证：Sn为等差数列 （2）求{an}的通项公式

6. 已知在正整数数列{aSn}中，前n项和Sn满足n?128(an?2)

（1）求证：{a?1an}是等差数列 （2）若bn2n?30求{bn}的前n项和的最小值

14

1. 解：由a2n，得an?1n?1?an?n?an?1?2

∴ a?1n?an?1?2n

an?2n?1?an?2?2??

?a2?a1?2

2(1?2n?1∴ a?)n?a11?2?2n?2 ∴

an?2n?2?an1?2?1 2. 解：由an?3an?1?2得：an?1?3(an?1?1)

an?1?3∴ an?1?1 即{an?1}是等比数列

an?1n?1?(a1?1)?3 ∴ an?(a1?1)?3n?1?1?2?3n?1?1

anan?1an3. 解：由an?2an?1?2n得2n?2n?1?1{an∴ 2n}成等差数列，2n?12?(n?1)ann?n?2?2n?1

4. 解：

a4n?1?2?2?a?2(an?2)1?an?1?1nan ∴ an?1?22(an?2)2an?2（n?1） 1?1∴ an?1?2a?2?12n?1b?1nn（）设an?2

1即

bn?1?bn?2(n?1)

1∴ {bn}?1?(n?1)?1?n是等差数列 ∴ aa2n?2a1?222 n?n?2

5. 解：

Sn?S?2S2nn?1（1）

2Sn?1 ∴ Sn?1?Sn?2SnSn?1

11S??2{1}nSn?1 ∴ Sn是首项为1，公差为2的等差数列 1?2n?1∴ Sn

2(1an?2n?1)2?21?2(n?2)（2）S1n?2n?1 ∴ 2?2n?1?14n?8n?3

?n?1a?1n????2?4n2?8(n?2)又 ∵ a1?1 ∴

n?3

6. 解：

（1）a?S?111(a1?2)28 ∴ a1?2

2时，a11n?Sn?Sn?1?8(an?2)2?8(an?1?2)2n?

整理得：(an?an?1)(an?an?1?4)?0

∵ {an}是正整数数列 ∴ an?an?1?0 ∴ an?an?1?4 ∴ {an}是首项为2，公差为4的等差数列 ∴ an?4n?2

（2）

b1n?2(4n?2)?30?2n?31∴ {bn}为等差数列 ∴

Sn?n2?30n∴ 当n?15时，Sn的最小值为152?30?15??225

15

∴

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