实用计算方法习题2解答
更新时间:2024-05-25 16:03:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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习题2
2.1 已知下,节点x1,x2及节点处函数值f(x1),f(x2),构造线性插值多项式p1(x). 解:
p1(x)?(x?x2)(x1?x2)f(x1)?(x?x1)(x2?x1)f(x2)
2.2 设f(xi)=i(i=0,1,2),构造二次式,使p2(x)满足: p2(xi)=f(xi)(i=0,1,2) 解: p2(x)?(x?x1)(x-x2)(x0?x1)(x0?x2)f(x0)?(x?x0)(x?x2)(x1?x0)(x1?x2)f(x1)?(x?x0)(x?x1).(x2?x0)(x2?x1)f(x2)
2.3 设节点xi=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造次数不超过3次的多项式p3(x),满足
p3(xi)=f(xi),i=0,1,2,3 解:
(x?x1)(x-x2)(x?x3)(x0?x1)(x0?x2)(x0?x3)(x?x0)(x?x1)(x?x3).(x2?x0)(x2?x1)(x?x3)(x?x0)(x?x2)(x?x3)(x1?x0)(x1?x2)(x?x3)(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x3-x0)(x-x1)(x-x2)33p3(x)?f(x0)?f(x1)
f(x)3 ?f(x2)?2.4已知函数y=f(x)的观察数据为
-2 0 4 5 5 1 -3 1 试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn(x),并计算f(-1)。 解 先构造基函数
xk yk
所求三次多项式为
2.5已知函数y=f(x)的数据如下表中第1,2列。计算它的各阶均差。
k 0 1 2 3 4
xk 0.40 0.55 0.65 0.80 0.90 f(xk) 0.410 75 0.578 15 0.696 75 0.888 11 1.201 52 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 解 依据均差计算公式,计算结果列下表中。
k 0 1 xk 0.40 0.55 f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0.410 75 0.578 15 1.116 00 2 3 4
0.65 0.80 0.90 0.696 75 1.168 00 0.280 00 0.888 11 1.275 73 0.358 93 0.197 33 1.201 52 1.384 10 0.433 48 0.213 00 0.031 34 2.6 设节点xi=i(i=0,1,2,3),f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-7,f(3)=26,构造Newton插值多项式。
解:依据均差计算公式,计算结果列下表中。
k 0 1 2 3 xk 0 1 2 3 f(xk) 1 0 -7 26 一阶均差 二阶均差 三阶均差 -1 -7 33 -3 20 23/3 所以有: P3(x)=1-x-3x(x-1)+(23/3)x(x-1)(x-2)
2.7 构造三次多项式P3(X)满足:P3(0)= P3(1)=0,P3(0)=P3(1)=1。
解:
构造p3(x)具如下形式:
p3(x)= p1(x)+(x-0)(x-1) q1(x)
其中p1(x) 满足:P1(0)= P1(1)=0(因此p1(x)=0),q1(x)为一次多项式。 因此p3(x) 也满足:P3(0)= P3(1)=0
对p3(x)求导有:p’3(x)=(2x-1)q1 (x)+x(x-1)q1’(x)
令p’3(x) 满足: P3’(0)=P3′(1)=1有:q1 (0)=-1; q1 (1)=1 即:q1(x)=2x-1
所以有:p3(x)= (x-0)(x-1)(2x-1)
2.8 已知数据如下表,试用直线拟合这组数据。
’
′
xk yk
解:计算结果列入下表中
k 1 2 3 4 5 1 4 2 4.5 3 6 4 8 5 8.5 xk 1 2 3 4 5 yk 4 4.5 6 8 8.5 xk ?xkyk 4 9 18 32 42.5 1 4 9 16 25 ? 15 .n=5.a0,a1满足的法方程组是 ??a????a???? ?
??a???a????.????31 55 105.5
解得a0=2.45, a1=1.25.所求拟合直线方程为 y =2.45+1.25x
2.9给定数据如下表:
xk yk 1.00 1.25 6.10 6.79 1.50 1.75 2.00 7.53 8.45 9.46 求形如y?aebx的最小二乘拟合曲线。
解:提示:如例2.6。
2.10 依据本章2.1问题举例中表2-2的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录,确定该纤维的强度与其拉伸倍数的关系。
解:提示:用2.4.3最小二乘曲线拟合例程求解。
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