青阳中学2016届高三数学限时训练(15)含答案 2016-5-22

青阳中学2016届高三数学限时训练（15） 2016-5-22

一、 填空题：本大题共l4小题，每小题5分，共计70分．

*2

1. 已知全集U＝{x∈N|x－9x＋8≤0}，集合A＝{1，2，3}，B＝{5，6，7}，则( UA)∩( UB)＝________．

i2 016

2. 在复平面内，复数z＝＋i(i为虚数单位)对应的点位于第________象限．

1－i

3. 某班有学生45人，现将所有学生按1，2，3，…，45随机编号，并采用系统抽样的方法从中抽取5名学生参加学习情况问卷调查，已知抽取的学生的编号分别为3，a，21，b，39，则a＋b＝________.

4. 如图是一个算法流程图，则输出的结果为________．

5. 某小店有5瓶果粒橙，其中有且仅有2瓶已过保质期，现从中随机取2瓶，则所取2瓶果橙中至多有1瓶已过期的概率等于________．

x＋2y－19≥0

6. 设实数x，y满足约束条件 x－y＋8≥0，则目标函数z＝x＋3y的最

2x＋y－14≤0

小值为________．

(第4题图)

x2y2

7. 若双曲线＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|

412

的最小值是________．

8π

8. 已知高与底面半径相等的圆锥的体积为其侧面积与高为2的圆柱OO1的侧面积

3

相等，则圆柱OO1的体积为________．

π

9. 若函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(0<φ<π)的图象关于原点对称，且f(x)在区间 0， 上单调递

4

减，则ω的取值范围是________．

12

10. 已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝4Sn－1＋an(4Sn－1＋1)＝0(n≥2，n∈N*)，

2

1

则数列 S的前n项和为________．

n

1－x，x∈（－1，1]

11. 已知周期为4的函数f(x)＝ ，则方程3f(x)＝x的根的个数为

1－|x－2|，x∈（1，3]

________．

12. 在平面直角坐标系中，已知定点A(－2，0)，B(4，0)，若在直线y＝kx＋3上存在一点P使得|PA|2＋|PB|2＝26，则实数k的取值范围为________．

13. 有一个向量列{an}：a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，…，an＝(xn，yn)，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这个向量列称为等差向量列．已知等差向量列{an}满足a1＝(－20，13)，a3＝(－18，15)，那么这个向量列{an}中模最小的向量的序号n＝________．

124

14. 若c>0，非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0，则当|2a＋b|最大时，＋＋abc值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

→→→→

在△ABC中，已知2AB·AC＝|AB|·|AC|，设∠CAB＝α. (1) 求α的值；

3 π5π (2) 若cos(β－α)，其中β∈ ， ，求cosβ的值．

6 7 3

16. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，

1

且PA＝PD，BC＝CD＝AD，E，F分别为AD，PD的中点．

2

(1) 求证：CF∥平面PAB；

(2) 求证：平面PEC⊥平面PBD.

17. (本小题满分14分)

某健身产品企业第一批产品A上市销售，40天内全部售完．该企业对第一批产品A上市后的市场销售情况进行调研，结果反馈大致如图①、图②所示，其中市场的日销售量f(t)(单位：万件)与上市时间t(单位：天，t∈N)的关系近似满足图①中的抛物线；每件产品A的日销售利润y(单位：元/件)与上市时间t(单位：天，t∈N)的关系近似满足图②中的折线．

(1) 写出市场的日销售量f(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；

(2) 第一批产品A上市后的第几天，这家企业的日销售利润最大，最大利润是多少？

图① 图②

18. (本小题满分16分)

x2y2

已知椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F(1，0)，过点F的直线l交椭圆C于M，N两

ab2

点，圆x2＋y2C的四个顶点构成的四边形相切．

3

(1) 求椭圆C的方程；

11

(2) ＋定值，并求出此定值．

|MF||NF|

19. (本小题满分16分)

已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an(n∈N*)．

an＋2

(1) 求数列{an}的通项公式；(2) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn；

anan＋1

(3) 在第(2)问的条件下，若不等式(－1)nλ(4－Sn)≤1对任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

20. (本小题满分16分)

已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d为实常数)在x＝0处取得极小值2，且曲线y＝

f(x)在x＝3处的切线方程为3x＋y－11＝0.

(1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 已知函数h1(x)＝ex＋t [f′(x)＋x2－x]，h2(x)＝t[f′(x)＋x2－x]－lnx，其中t为实常数，试探究是否存在区间M，使得h1(x)和h2(x)在区间M上具有相同的单调性．若存在，说明区间M应满足的条件及对应t的取值范围，并指出h1(x)和h2(x)在区间M上的单调性；若不存在．请说明理由．

数学参考答案

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

9

6. 27 7. 9 8. 2π 9. (0，2] 10. 2n2 10

3－6 3＋26 11. 3 12. ∪ 13. 4或5 14. -1 3 3

二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

→→→→

解：(1) 由2AB·AC＝|AB|·|AC|，

→→→→

得2|AB|·|AC|cosα＝|AB|·|AC|，(3分)

1

所以cosα＝

2

又α为三角形的内角，所以0<α<π，

π

所以α分)

3

π33

(2) 由(1)知sinα＝β－α∈ 0， ，cos(β－α)＝，

272 1

所以sin(β－α)＝分)

7

431133故cosβ＝cos(β－α＋α)＝cos(β－α)cosα－sin(β－α)sinα＝×－＝分)

727214

16. (本小题满分14分)

解：(1) 解法一 连接EF，

在△APD中，E，F分别为AD，PD的中点， 所以EF∥PA，(2分)

1

在四边形ABCD中，BC∥AD， 又BCAD，且AE＝ED，

2

1. {4，8} 2. 一 3. 42 4. 16 5.

所以BC綊AE，四边形BCEA为平行四边形，(4分) 所以EC∥AB.

又EF∩EC＝E，PA∩AB＝A， 所以FC 平面EFC，(6分) 所以CF∥平面PAB.(7分)

解法二 如图，取PA的中点M，连接MF，MB. 在△PAD中，PM＝MA，PF＝FD，

1

所以MF∥AD，且MF＝AD.(3分)

2

1

由已知，BC∥AD，且BC＝AD，

2

所以MF∥BC，且MF＝BC， 所以四边形BCFM为平行四边形， 又FC∥BM，(6分)

又FC 平面PAB，BM 平面PAB， 所以CF∥平面PAB.(7分)

(2) 连接BE，

在△PAD中，PA＝PD，AE＝ED， 所以PE⊥AD.

又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD， 所以PE⊥平面ABCD. 故PE⊥BD.(9分)

在四边形ABCD中，BC∥DE，且BC＝DE， 所以四边形BCDE为平行四边形． 又BC＝CD，

所以四边形BCDE为菱形，

故BD⊥CE，(12分) 又PE∩EC＝E，

所以BD⊥平面PEC， 又BD 平面PBD，

所以平面PEC⊥平面PBD.(14分) 17. (本小题满分14分)

解：(1) 因为市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系近似满足题图①中的抛物线， 由题图①可知，点(0，0)，(40，0)，(20，60)在函数f(t)的图象上，

3

所以可设f(t)＝At(t－40)，将(20，60)代入可得A＝－，(3分)

20

33

故f(t)＝－t(t－40)2＋6t，0≤t≤40，t∈N.(5分)

2020

(2) 由题图②可知，每件产品A的日销售利润y与上市时间t的函数关系为 2t，0≤t<30，t∈N，y＝ 60，30≤t≤40，t∈N，

故该企业的日销售利润φ(t)与上市时间t的函数关系为φ(t)＝3 －103＋12t2，0≤t<30，t∈N， (8分)

－9t2＋360t，30≤t≤40，t∈N.

980

①当0≤t<30时，令φ′(t)＝－t2＋24t＝0，得t＝0或t＝，

103

8080

0时，φ′(t)>0，当t∈ 30 时，φ′(t)<0. 当t∈ 3 3 80

但t＝ N*，

3

当t＝26时，φ(26)＝2 839.2，当t＝27时，φ(27)＝2 843.1.(11分) ②当30≤t≤40时，φ(t)≤φ(30)＝2 700，

故当第一批产品A上市后的第27天，该企业的日销售利润最大，且最大利润是2 843.1万元．(14分)

18. (本小题满分16分)

解：(1) 因为F(1，0)为椭圆的右焦点， 所以a2＝b2＋1 ①，(2分)

设A，B分别为椭圆C的右顶点与上顶点，

xy

则直线AB的方程为＝1，

ab

即bx＋ay－ab＝0.

（－ab）222222

所以圆x＋y＝的圆心(0，0)到直线AB的距离的平方d＝，化简得2(a2＋b2)

33a＋b

＝3a2b2 ②，(5分)

由①②得a2＝2，b2＝1，

x22

所以椭圆C＋y＝1.(7分)

2

(2) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

当直线l的斜率不存在时，x1＝x2＝1， 112则＋y21＝1，解得y1＝ 22

2

所以|MF|＝|NF|＝，

2

11则＝2.(9分) |MF||NF|

当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，

y＝k（x－1） 2

联立 x 2

y＝1， 2

化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 2k2±2k＋2

解得x＝

2k＋12k2＋2k＋2

不妨取x1＝

2k＋1

2k22k＋2x2＝，

2k＋1

所以x1>1，x2<1，(12分) 而|MF|（x1－1）＋y1

＝（x1－1）＋k（x1－1）＝1＋k.

2k＋2－1|x1－1|＝k＋1·.

2k＋1

2k＋2＋1

同理|NF|＝1＋k|x2－1|＝k＋1·，(14分)

2k＋1

11则 |MF||NF|

2

2k2＋1 12k＋1

＝ 2k＋2－12k＋2＋1 1＋k

2k2＋12k＋2＋12k＋2－1 ＝2k＋2－12k＋2－1 1＋k

2k＋2＝2k＋1 1＋k

＝2.(15分)

11所以＋为定值22. (16分)

|MF||NF|

19. (本小题满分16分)

a＋2a解： (1)由已知得：n∈N*，

n＋1n

a又1， 1

an

所以数列 n 是首项为1，公比为2的等比数列，(2分)

a－－

所以＝2n1，则an＝n·2n1.(4分)

n

4（n＋2）44

(2) 由(1)知，bn＝(6分) －n·（n＋1）2n·2（n＋1）211111111 1－故Sn＝4[1－＋－＋…＋＝4.(8分) －44121232 （n＋1）2 n·2（n＋1）2

1

(3) 由(2)得Sn＝4 1（n＋1）2，

4（－1）nλn

所以(－1)λ(4－Sn)≤1可化为≤1.(10分)

（n＋1）2（n＋1）2n

当n为奇数时，不等式可化为λ≥－

4

（n＋1）2n

记f(n)＝－易证{f(n)}是递减数列，所以f(n)max＝f(1)＝－1，所以λ≥－1.(12分)

4

2k2＋1

（n＋1）2n

当n为偶数时，不等式可化为λ，

4

（n＋1）2n

记g(n)＝{g(n)}是递增数列，所以g(n)min＝g(2)＝3，所以λ≤3.(14分)

4

综上可知，λ的取值范围为－1≤λ≤3.(16分) 20. (本小题满分16分)

f′（3）＝－3

f（3）＝2

解：(1) 因为f(x)＝ax＋bx＋cx＋d，所以f′(x)＝3ax＋2bx＋c，由题可知， f′（0）＝0

f（0）＝2

27a＋6b＋c＝－3， 27a＋9b＋3c＋d＝2，即 (2分)

c＝0， d＝2，

3

2

2

，

解得 b＝1

c＝0 d＝2

1a＝－

3

1

所以f(x)＝－x3＋x2＋2，经检验可得，函数y＝f(x)在x＝0处取得极小值2.

3

1

故f(x)＝－3＋x2＋2.(5分)

3

1

(2) 因为f(x)＝－x3＋x2＋2，

3

所以f′(x)＝－x2＋2x，

所以h1(x)＝ex＋tx，h2(x)＝tx－lnx. (i) 当t＝0时，函数h2(x)＝－lnx在(0，＋∞)上单调递减，h1(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，所以不存在区间M，使得h1(x)和h2(x)在区间M上具有相同的单调性．

(ii) 当t>0时，h′1(x)＝ex＋t>0恒成立，所以函数h1(x)＝ex＋tx在(0，＋∞)上单调递增．h′

11tx－11 0，(x)＝t－，令h′(x)＝0，解得x＝，当x∈22

t时，h′2(x)<0，h′2(x)单调递减；当xxt

11

，＋∞ 时，h′2(x)>0，h2(x)单调递增．所以存在区间M ，使得h1(x)和h2(x)x∈ t t 在区间M上均为增函数．(12分)

1tx－1

(iii) 当t<0时，h′2(x)＝t－<0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以h2(x)在(0，＋∞)上单

xx

调递减．对函数h1(x)＝ex＋tx，令h′1(x)＝ex＋t＝0，得x＝ln(－t)．

①若－1≤t<0时，ln()－t≤0，在(ln(－t)，＋∞)上，h′1(x)>0，所以h1(x)单调递增，由于h2(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以不存在区间M，使得h1(x)和h2(x)在区间M上具有相同的单调性．

②若t<－1时，ln(－t)>0，在(－∞，ln(－t))上，h′1(x)<0，h1(x)单调递减；在(ln(－t)，＋∞)上，h′1(x)>0，h1(x)单调递增．由于h2(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以存在区间M (0，ln(－t)]，使得h1(x)和h2(x)在区间M上均为减函数．(15分)

综上，当－1≤t≤0时，不存在区间M，使得h1(x)和h2(x)在区间M上具有相同的单调性；当t<－1时，存在区间M (0，ln(－t)]，使得h1(x)和h2(x)在区间M上均为减函数；当t>0时，

1 存在区间M t ，使得h1(x)和h2(x)在区间M上均为增函数．(16分)

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