第07章 涡度、散度与垂直速度

第7章 涡度、散度与垂直速度

涡度、散度与垂直速度，是天气分析预报中经常使用的三个物理量。在天气学教科书(例如：朱乾根等，2000)与动力气象学教科书(例如：吕美仲与彭永清，1990)中都有详尽介绍。本章内容，主要取材于朱乾根等的教科书。 §7.1 涡度的表达式

涡度是衡量空气质块转运动强度物理量，单位为1s。根据右手定则，逆时针旋转时为正，顺时针旋转时为负。从动力学角度分析，根据涡度的变化，就可了解气压系统的发生和发展。

更确切地说，我们这里的涡度是指相对涡度，其表达式为：

?i?j??yv?k? ?zw ??V3???xu?w?v??u?w??v?u? ?(?)i?(?)j?(?)k

?y?z?z?y?x?y??? ??i??j??k (7.1.1) ??? 其中V3(?ui?vj?wk)是三维风矢。

虽然涡度是一个矢量，但在天气分析中，一般却只计算它的垂直分量，亦即：相对涡度垂直分量或垂直相对涡度?。?的表达式为： ???v?u? (7.1.2) ?x?y 需要注意的是，在日常分析预报中说的涡度?，其全称应是垂直相对涡度。 将式(7.1.2)变微分为差分，得： ????v?u? (7.1.3) ?x?y 1

§7.1.2 相对涡度?的计算方法

犹如风矢有实测风与地转风一样，相对涡度?有实测风涡度?o与地转风涡度?g两种。下面分别介绍它们的计算方法。 1. 实测风涡度?o计算方法

用实测风计算涡度时要按照式(7.1.3)所列各项分别进行。首先把实测风分解为u、v分量，然后分别读取图7.1.1所示的A、C点的u值和B、D点的v值，最后代入式(7.1.3)即得O点的涡度： ?o?vD?vBuA?uC (7.1.4) ??x?y

图7.1.1 计算物理量用的正方形网格(朱乾根等，2000)

2. 地转风涡度?g计算方法

假若实测风与地转风相差很小，那么，便可用地转风代替实测风，并可根据地转风公式直接从高度场(或气压场)求算相对涡度。用地转风计算得到的相对涡度称地转风涡度，也有人也简称地转涡度。

地转风涡度?g的几何意义是代表等压面凹凸的程度。 把等压面上的地转风公式

9.8?H?u??g?f?y? ? (7.1.5)

?vg?9.8?H?f?x?

2

代入式(7.1.2)中，略去地转参数f(?2?sin?)的空间变化后，即可得到地转风涡度?g的表达式：

9.8?2H?2H9.82 ?g?(2?2)??H (7.1.6)

f?x?yf上式中H为位势高度，?2H为高度场的拉普拉斯。在实际业务中可用图7.1.1所示网格进行计算，并把上式改写为差分形式：

?HD?HOHO?HBHA?HOHO?HC???dmdmdmdm9.8??g??f?dmdm ??9.8m2?(HA?HB?HC?HD?4HO)fd2????? (7.1.7) ?式中m为地图投影放大系数。由上式可见，读取网格上A、B、C、D、O五点的高度值，代入式(7.1.7)，便得O点的地转风涡度?g。 §7.2 散度的计算

(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp618～620)。 1. 定义及表达式

散度是衡量速度场辐散、辐合强度的物理量，单位为1/s，辐散时为正，辐合时为负。

水平散度的表达式为： D??u?v? (7.2.1) ?x?y水平散度D的大小是从同一水平面(或等压面，请读者牢牢记住这个条件)上的实测风场计算求得的。 2. 计算方法

把式(7.2.1)写成差分形式： D??u?v? (7.2.2) ?x?y若用图7.1.1所示网格计算水平散度，变微分为差分，则上式就改写为：

3

D? ?uD?uBvA?vC ?2dm2dmm(uD?uB?vA?vC) (7.2.3) 2d式中d为在天气图上所取网格点的距离。这样把图7.1.1中B、D点的u值和A、C点的v值代入式(7.2.3)，便得O点的散度。 3. 注意事项

当气象测站不在同一个海拔高度上时，地面图上散度的计算方法，我们将在后面介绍。

关于对上面计算散度值的修正方法，将在§7.3介绍。 §7.3 垂直速度?的诊断

(引自：朱乾根等《天气学原理与方法》(第3版)pp620～635)。

大气垂直运动是天气分析和预报中必须经常考虑的一个重要物理量。 需要提请读者注意的是，这里说的垂直速度(或运动)，仅仅指大尺度的。 垂直速度不是直接观测到的物理量，它是通过间接计算而得到的。垂直速度的计算方法很多，下面只介绍O’Brie(1970)提出的运动学法(积分连续方程法)。 1. 计算原理

在(x,y,p)坐标系中，连续方程可写为：

?u?v?????0 (7.3.1) ?x?y?p???u?v??(?) (7.3.2) ?p?x?y或

将上式两端对p积分得： ?p??p0???(p0p?u?v?)dp ?x?y ?(?u?v?)(p0?p) (7.3.3) ?x?y令D?(?u?v?)为p0和p两层等压面之间的平均散度，则式(7.3.3)可改写成： ?x?y 4

?p??0?D(p0?p) (7.3.4)

式中?p和?0分别为p和p0高度处的垂直速度。单位为hPas；正值为下沉运动，负值则为上升运动。若平均散度D在p0和p两层之间的变化是线性的，即：

D?1(D0?D)，那么，在求得各层散度之后，根据式(7.3.4)便可自下而上一层2一层地算出各层的垂直速度来。 2. 下边界条件

假定：(a)地面海拔高度很低，且是平坦的(读者要特别注意这个假定)，(b)p0?1000hPa处，??0，则各主要等压面上的垂直速度?可分别用式(7.3.4)推算出来。

3. 必须对?和D进行修正的原因

原则上，可以用这种方法计算出任意层次的?。但在实际上，用这种方法来计算高层的?常常很不准确。原因是：(a)风在高层观测的精确度较低；(b)误差随高度有积累。上述原因的详细解释是，在作散度计算时，既有风的观测、分析方面的误差，又有计算中带来的误差，这些误差都随高度升高而有积累，从而导致?的计算值的精确度随高度升高而不断下降。结果到了气柱的顶部，?的值往往不能满足?上界?0的边界条件，这就违背了“补偿原理”。因此必须对上述运动学方法或“补偿作用”进行修正。 4. 对D和?的修正

根据实际资料的分析,D的修正量可以假定为气压的线性函数。即(证明略)： Dk'?Dk?式中M??k?1Nk(?N??T)/?p (7.3.5) M1N(N?1),M是一个只与总层数N有关的常数。 2对D作了上述修正后，?也应作相应的修正(证明略)。 ?k'??k?k(k?1)(?N??T) (7.3.6) 2M其中，k?1,2,?,N，是层次序号。N为需要计算的总层数，?N是未经修正的最高层垂直速度(一般即100hPa处的?9)，?N是经过修正后的最高层垂直速度。

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式(7.3.6)中的?N是借用其它方法(例如绝热法等方法)求出的。

实例分析表明，?N一般都在3～5?10?3hPas，最大可达20～

30?10?3hPas。而由绝热法或其他方法求出的100hPa上?的数值一般很小(大约为0～0.5?10?3hPas)，因此?T较之?N是很小的。这样，在精度允许的情况下，为了计算的方便，可取?T?0。这样，式(7.3.5)与(7.3.6)便可简化成下列形式：

Dk'??Dk? ?k'??k?k?N (7.3.7) M?pk(k?1)??N (7.3.8) 2M 5. w与?的换算关系

在很多情况下，人们需将上面计算出的?(?dpdt)换算成w(?dzdt)。例如，在计算z-螺旋度hz?w?时以及绘制垂直剖面图上的环流时就遇到上述情况。 垂直速度在(x,y,p,t)坐标系里为?(?dpdt)，在(x,y,z,t)坐标系里为

w(?dzdt)，两者有以下的关系： ??dp?p?p??V??p?w (7.3.9) dt?t?zdp~?p?w (7.3.10) dt?zdp~???gw (7.3.11) dt通常，式(7.3.9)的右边前两项之和很小，因此近似有： ??代入静力学关系，则得： ??再代入状态方程，则得： ??dp~p??gw (7.3.12) dtRdTv式(7.3.12)即为?与w的换算关系式。?的单位多取hPas，w的单位多取cms。 §7.4 地转偏差与散度、垂直速度的关系 1. 定义

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地转风虽然可以作为实际风的近似，但一般情况下实际风和地转风总是有差别的。为了量度实际风偏离地转风的程度，人们将实际风与地转风的矢量差定义为地转偏差。令地转偏差用V'表示，则有：

V'?V?Vg (7.4.1) 或

u'?u?ugv?v?vg' (7.4.2)

2. 计算方法

考虑到有关教科书中地转风的定义式后，可将式(7.4.2)改写为：

1??)f?y (7.4.3)

1??v'?v?()f?xu'?u?(?将公式(7.4.3)变为差分形式，得：

1??)f?y (7.4.4)

1??v'?v?()f?xu'?u?(? 根据式(7.4.4)，可以计算出地转偏差矢量的两个分量u'与v'，进而得到地转偏差矢量：

?'? V?ui?vj (7.4.5)

'' 3. 地转偏差与水平散度、垂直速度的关系 将式(7.4.2)代入水平散度公式，得： D??u?v????(ug?u')?(vg?v') ?x?y?x?y?u'?v' ? (7.4.6) ????x?y?x?y 若取f为常数，则有：

?ug?vg?ug?x??vg?y??1???1???()?()?0 (7.4.7) f?x?yf?y?x 7

将式(7.4.7)代入(7.4.6)，得：

?u?v?u?v' D? (7.4.8) ????x?y?x?y式(7.4.8)表明，实际风的水平散度是由地转偏差决定的。由于垂直运动与水平散度联系在一起，故可以认为垂直运动也与地转偏差有一定联系。 4. 地转偏差在动能制造转换中的作用

当有地转偏差时，若实际风偏向低压一侧，水平气压梯度力对空气微团作功，其动能将增加；若实际风偏向高压一侧，空气微团反抗水平气压梯度力作功，其动能将减小。因此，地转偏差对大气运动动能的制造和转换起着重要作用。

5. 地转偏差的大小

自由大气中地转偏差一般很小，地转偏差与地转风的比值平均为20%左右。实际风偏离地转风的角度平均约为15°。地转偏差虽然很小，但对大气运动的演变却起着极为重要的作用。有地转偏差时，空气微团才可能作穿越等压线运动，从而引起质量重新分布，造成气压场和风场的变化，所以地转偏差是天气系统演变的一个动力因子。

6. 地转偏差与水平加速度的关系

可以证明(证明从略)，地转偏差和水平加速度方向相垂直，在北半球指向水平加速度的左侧，如图7.4.1所示。地转偏差的大小和水平加速度成正比，和纬度的正弦成反比。

图7.4.1 地转偏差与水平加速度关系

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