2017年高中数学第二章参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第1

第二讲 第二节 第一课时 直线的参数方程

一、选择题(每小题5分，共20分)

??x＝3＋4t1．已知直线?

??y＝－4＋3t

(t为参数)，下列命题中错误的是( )

A．直线经过点(7，－1) 3

B．直线的斜率为

4C．直线不过第二象限

D．|t|是定点M0(3，－4)到该直线上对应点M的距离

解析： 直线的普通方程为3x－4y－25＝0.由普通方程可知，A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，故|t|不具有上述几何意义，故选D．

答案： D

1x＝1－t?2?

2．以t为参数的方程?

3

y＝－2＋t??2

表示( )

π

A．过点(1，－2)且倾斜角为的直线

3B．过点(－1,2)且倾斜角为

π

的直线 3

2π

C．过点(1，－2)且倾斜角为的直线

3D．过点(－1,2)且倾斜角为解析： 化参数方程 1x＝1－t?2??3y＝－2＋t??2

2π

的直线 3

为普通方程得y＋2＝－3(x－1)，

故直线过定点(1，－2)， 2π

斜率为－3，倾斜角为. 3答案： C

1

3．双曲线－＝1中，被点P(2,1)平分的弦所在的直线的方程是( )

94A．8x－9y＝7 C．4x－9y＝6

B．8x＋9y＝25 D．不存在

x2y2

??x＝2＋tcosα，

解析： 设直线的参数方程为?

??y＝1＋tsinα

(t为参数)，

代入双曲线方程，得

4(2＋tcosα)－9(1＋tsinα)＝36，

整理得(4cosα－9sinα)t－(16cosα－18sinα)t－29＝0. 设方程的两个实根分别为t1，t2， 18sinα－16cosα

则t1＋t2＝. 22

4cosα－9sinα因为点P平分弦， 所以t1＋t2＝0，

8

即18sinα－16cosα＝0，tanα＝，

98即k＝. 9

8

因此弦所在直线方程为y－1＝(x－2)，

9即8x－9y＝7. 答案： A

4．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )

??x＝1＋t，A．?

?y＝3＋t?

2

2

2

2

2

(t为参数)

??x＝1－t，

B．?

?y＝5－2t?

(t为参数)

??x＝1－t，

C．?

?y＝3－2t?

(t为参数)

25

?x＝2＋t，?5D．?

5

y＝5＋t??5

(t为参数)

1

解析： 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，

2所以可以排除A、D两项；B、C两项中直线斜率均为2，但B项中直线的普通方程为2x－y＋3＝0.

答案： C

二、填空题(每小题5分，共10分)

2

1x＝t＋，??t5．过点P(－3，0)且倾斜角为30°的直线和曲线?

(t为参数)相交于

??y＝t－1

tA，B两点，则线段AB长为__________ ________.

?x＝－3

解析： 直线的参数方程为?3＋s，?

2

??y＝12s

(s为参数)，

?x＝t＋1

，曲线??t??y＝t－1

t

(t为参数)

可以化为x2

－y2

＝4.

将直线的参数方程代入上式， 得s2

－63s＋10＝0，

设A，B对应的参数分别为s1，s2， ∴s1＋s2＝63，s1s2＝10， |AB|＝|s1－s2|＝s1＋s2

2

－4s1s2＝217.

答案： 217

6．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝π

??x＝2cos θ，6，设l与曲线?

??

y＝2sin θ数)交于两点A，B，则点P到A，B两点的距离之积为__________ ________.

解析： 直线的参数方程为 ??x＝1＋tcos π

，?6?x＝13

则?＋

??y?

2t，＝1＋tsin π6

??y＝1＋12

t.

曲线的直角坐标方程为x2

＋y2

＝4， ?x＝1＋3

t，把直线??

2??y＝1＋12t

代入x2＋y2

＝4

得??1＋3?2??2t??＋??1＋12t??2

?

＝4，

θ为参

3

(t2＋(3＋1)t－2＝0，t1t2＝－2，

则点P到A，B两点的距离之积为2. 答案： 2

三、解答题(每小题10分，共20分) 5π

7．设直线l过点P(－3,3)，且倾斜角为. 6(1)写出直线l的参数方程；

??x＝2cosθ，

(2)设此直线与曲线C：?

?y＝4sinθ?

(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|；

(3)设AB中点为M，求|PM|. 解析： (1)直线l的参数方程是 5π3

?x＝－3＋tcos＝－3－t，?62?5π1y＝3＋tsin＝3＋t??62

(t为参数)．

(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x＋y－16＝0.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得4?－3－

2

22

?

?3?2?1?2

t?＋?3＋t?－16＝0. 2??2?

即13t＋4(3＋123)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 116

故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝. 13(3)由t的几何意义，知 中点M的参数为

t1＋t2

2

，

＋123

. 13

1

故|PM|＝|t1＋t2|＝

2

8．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点．求|PA|·|PB|的值为最小时直线l的方程．

解析： 设直线的倾斜角为α，

??x＝3＋tcosα，则它的方程为?

?y＝2＋tsinα，?

(t为参数)

由A、B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0， ∴0＝2＋tsinα，

4

2

即|PA|＝|t|＝，

sinα0＝3＋tcosα， 3

即|PB|＝|t|＝－.

cosα故|PA|·|PB|＝

2. sinα

?－3?＝－12. ?cosα?sin2α??

∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°， 即α＝135°时， |PA|·|PB|有最小值． 2

?x＝3－t?2

∴直线方程为?

2

y＝2＋t??2

(t为参数)，

化为普通方程即x＋y－5＝0. 尖子生题库

☆☆☆

9．(10分)在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ＝arccos

2

)方向300 km的海面P处，并以200 km/h的速度向西偏北45°10

方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解析： 方法一：如图建立坐标系，以O为原点，正东方向为x轴正向．在时刻t(h)22

?x＝300×－20×t，?102

台风中心P(x，y)的坐标为?

722

y＝－300×＋20×t.??102

5

此时台风侵袭的区域是(x－x)2

＋(y－y)2

≤[r(t)]2

， 其中r(t)＝10t＋60，

若在t时刻城市O受到台风的侵袭， 则有(0－x)2

＋(0－y)2

≤(10t＋60)2

， 即??300×210－20×22t??2?＋???

－300×7210＋20×22t??2??≤(10t＋60)2，288≤0，

解得12≤t≤24.

即12小时后该城市开始受到台风的侵袭 方法二：如图，设在时刻t(h)台风中心为Q， 此时台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60(km)．

若在时刻t城市O受到台风的侵袭， 则OQ≤10t＋60.

由余弦定理知OQ2

＝PQ2

＋OP2

－2·PQ·POcos∠OPQ. 又由于OP＝300，PQ＝20t， 所以cos∠OPQ＝cos(θ－45°) ＝cosθcos45°＋sinθsin45° ＝

2×2＋1－224

102

102×2＝5

， 故OQ2＝(20t)2＋3002

－2×20t×300×45 ＝202t2

－9 600t＋3002

.

t2－36t＋6

即因此20t－9 600t＋300≤(10t＋60)， 即t－36t＋288≤0， 解得12≤t≤24.

即12小时后该城市开始受到台风的侵袭．

2

2222

7

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