专题三 抽象函数的单调性与奇偶性

一、问题的提出 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则.由于此类函数问题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想,所以倍受命题者的青睐.

二、问题的探源 由于抽象型函只是给出一些特殊条件的函数问题,比较抽象,学生难以理解,接受困难；教材又没有讲解处理,因此,这类问题时常困惑着不少师生.但是这类问题对于发展学生的思维能力,进行数学思想方法的渗透,培养学生的创新思想,提高学生的数学素质,有着重要作用.为此,本文就这类问题的解题思路及方法谈点看法. 1.利用特殊模型的解题思想

在中学函数部分教材中可以找到一些抽象型函数的特殊模型（列表如下）,

特殊函数模型与抽象函数对照一览表

特殊函数模型 正比例函数f(x)=kx (k≠0) 抽象函数 f(x+y)=f(x) + f(y) （x、y∈R） xf(x)f(xy)=f(x)f(y) (x、y∈R) ;f ( )= (x、y∈yf(y)R,y≠0) f(x+y)=f(x)f(y), (x、y∈R) ;f(x-y)=R,f(y)≠0) 对数函数f(x)=㏒ax (a＞0,a≠0) xf(xy)=f(x)+f(y),f ( ) = f(x) – f(y) (x＞0,y＞0) yf(x) (x、y∈f(y)幂函数f(x)=x α指数函数f(x)=a (a＞0,a≠0) x若充分利用这些模型解题,既可使学生掌握解决数学问题的规律,培养了解题能力,又使学生体会到人们对事物的认识,总是在感性认识的基础上,通过抽象概括上升为理性认识,最终揭示事物的本质,这样一种认识

规律.对于抽象函数解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可借助特殊模型理解题意；同时,对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题,要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型,从而得到抽象函数问题的求解方法. 2.利用特殊方法的解题思想

对于用常规解法难以解决的数学问题,若利用一些特殊的数学思想方法求解,有时会收到事半功倍的效果.如抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值,抽象函数单调性的判断一般用定义,解关于抽象函数的不等式,一般利用用单调性脱去f.

三、问题的佐证 1.以正比例函数为模型

【例1.】已知f（x）是定义在R上的函数,对任意的x、y∈R都有f（x+y）= f（x）+ f（y）,且当x>0时,f（x）<0,f（1）=－2.问当?3?x?3时,函数f（x）是否存在最大值？若存在,请求出最大值；若不存在,请说明理由.

【分析】我们知道,正比例函数f(x)?kx(k?0)满足f(x?y)?f(x)?f(y).根据题设,我们可推知本题是以函数f（x）=－2x作为模型设计的问题.于是,我们可以判定函数f（x）的奇偶性、单调性入手来求解.

【解析】令x=y=0,则f（0+0）= f（0）+ f（0）,解得f（0）=0 又因为f（x）+ f（－x）= f（x－x）= f（0）=0 所以f（－x）= f（－x） 即函数f（x）为奇函数.

设x1、x2?R，x1?x2,则x2?x1?0 依题意,有f(x2?x1)?0

f(x2)?f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?0所以,f(x2)?f(x1)

即函数f（x）在R上是减函数.

因此,函数f（x）当?3?x?3时有最大值f（－3）,且

f（－3）=－ f（3）=－[ f（1）+ f（2）]=－3 f（1）= （－3）·（－2）=6

2. 以一次函数为模型

【例2】 定义在R上的函数f（x）满足f(x?y)?1?f(x)?f(y)，f()?0,且x?2112时,f（x）<0.

判断f（x）的单调性,并证明.

【分析】对于一次函数f(x)?kx?b(k?0)有f(x)?f(y)?f(x?y)?b成立.分析本题条件可知该题是以函数f（x）=－2x+1为模型命制的.

3. 以指数函数为模型

【例3】设函数f（x）定义在R上,对于任意实数m、n,恒有f(m?n)?f(m)·f(n),且当x>0时,0

（1）求证：f（0）=1,且当x<0时,f（x）>1； （2）求证：f（x）在R上单调递减；

【分析】分析本题条件和结论,可推知本题是以函数f(x)?a?0?a?1?为模型命制的. 【解析】（1）令m=1,n=0,得f（1）= f（1）·f（0）

x又当x>0时,0< f（x）<1,所以f（0）=1 设x<0,则－x>0

令m=x,n=－x,则f（0）= f（x）·f（－x） 所以f（x）·f（－x）=1

1f(?x)又0< f（－x）<1,所以f(x)??1

（2）设x1、x2?R,且x1?x2,则x2?x1?0 所以0?f(x2?x1)?1

从而f(x2)?f(x2?x1?x2)?f(x2?x1)·f(x1) 又由已知条件及（1）的结论知f（x）>0恒成立

f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)所以

?f(x2?x1),所以0??1

所以f（x2）< f（x1）,故f（x）在R上是单调递减的. 4. 以对数函数为模型

【例4】设函数y= f（x）定义域为?0，???,且对任意的实数x、y,有f（xy）= f（x）+ f（y）,已知f（2）=1,且当x>1时f（x）>0.

?1??2?（1）求证：f????1；

（2）试判断y= f（x）在?0，???上的单调性,并证明.

【分析】分析本题条件,可判定该题是以函数f(x)?log2x为模型命题的. 证明：（1）令x=y=1,则f（1）= f（1）+ f（1） 解得：f（1）=0

令x?2,y?12,则f?2??f?1????f?1??0, ?2?解得：f(1)??f(2)2??1

（2）设0?x1?x2,则

x2?1,于是f??x2?x1?x??0

1?因为f(x?x2?2)?f(x1)?f??x?

1?所以f(x2)?f(x1)?f??x2??x??0 1?所以f(x2)?f(x1),即函数f（x）在?0，???上是增函数.

四、问题的解决 1.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b), （1）求证：f(0)=1；

（2）求证：对任意的x∈R,恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x2

)>1,求x的取值范围.

2.已知函数f(x),g(x)在R上有定义,对任意的x,y?R有f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y)f(1)?0

（1）求证：f(x)为奇函数

（2）若f(1)?f(2), 求g(1)?g(?1)的值 3.已知函数f(x)对任意实数x,y恒有

f(x?y)?f(x)?f(y)且当x＞0,f(x)?0.又f(1)??2.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)求

f(x)在区间[－3,3]上的最大值；

(3)解关于x的不等式f(ax2)?2f(x)?f(ax)?4.

且

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