《用函数观点看一元二次方程》教案

《用函数观点看一元二次方程》教案

普定县补郎中学 马永胜

教材依据：人教版九年级数学下册第26章第2节

教材分析：我们已经学过“一次函数”，了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。这一节内容，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排可以深化我们对一元二次方程的认识，又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。“用函数观点看一元二次方程”从一个斜抛物体的飞行高度问题入手，以给出二次函数的函数值反过来求自变量的值的形式，用函数观点讨论一元二次方程的根的几种不同情况，最后结合二次函数的图象（抛物线）归纳出一般性结论，并介绍了利用图象解一元二次方程的方法。这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。 教学目标 知识与技能

1、总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；

2、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 过程与方法：

1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；

2、通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学建模的思想。 情感态度与价值观：

1、通过对二次函数与一元二次方程关系的探索，培养学生严谨的科学态度及勇于探索的精神；

1

2、通过从函数的角度看问题，让学生体会数学的价值；

3、在探索函数与方程的关系中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。

教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题的能力。 教学难点:

1、探索方程与函数之间关系的过程。

2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 教具准备：多媒体课件 教学准备：

1、三角尺

2、复习旧知识，预习本节课内容。 教学过程：

一、复习提问：二次函数y=ax2+bx+c的开口方向如何？对称轴是什么？顶点坐标是什么？

二、讲授新课：

问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系

h＝20t—5t2。 考虑以下问题

（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？ （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间？

分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数

2

h=20t－5t2。

所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。

解：（1）解方程 15＝20t—5t2， t2—4t＋3=0， t1＝1,t2＝3。

当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。

教师提问：你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为15m？ 学生回答后教师归纳：小球在某一时间达到15 m，然后继续上升，达到最大高度后开始下落，经过一段时间，小球高度又回落到15 m，所以在两个时间球的高度为15 m。

（2）解方程 20＝20t－5t2，

t2－4t＋4＝0， t1＝t2＝2。

当球飞行2s时，它的高度为20m。

教师：为什么只在一个时间内球的高度为20m呢?

学生回答后教师归纳：小球在某一时间内达到最大高度，所以只在一个时间球的高度为20 m。

（3）解方程 20.5＝20t－5t2，

t2－4t＋4.1＝0。

因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。 （4）解方程 0＝20t－5t2，

t2－4t＝0， t1＝0,t2＝4。

当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。

一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0

问题：观察:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你得出相应的一元二次方程的解吗?

(1)y=x2+x-2；

3

(2)y=x2-6x+9； (3)y=x2-x+1。

教师引导学生画出函数的图象，然后归纳总结：

（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它的横坐标是-2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0，由此得出方程x2+x-2=0的根是x1=-2，x2=1。 （2）抛物线)y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3，当x=3时，函数的值是0，由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3。

（3）抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点，由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根。

讲解例题：利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(精确到0.1)。

解：作y= x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大

约是-0.7, 2.7。

所以方程 x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7 三、练习：已知二次函数y=-x2+2x+k+2与x轴的公共点有两个，

（1）求k的取值范围；

（2）当k=1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标； （3）观察图象，当x取何值时，y=0, y>0, y<0? 四、小结：

1、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c都是常数， a≠0）,当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）。那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，二次函数图象与x轴交点情况决定一元二次方程根的情况；

2、二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

五、布置作业 p23页 习题26.2第1题、第2题 六、板书设计：

§26．2用函数观点看一元二次方程 一、复习 二、问题 三、观察 四、例题 五、课堂练习 六、课堂小结 4 七、布置作业 七、教学反思：学习了二次函数后，学生对于函数的了解不是太好，加上以前的方程问题，所以对于学生用函数的眼光来看看一元二次方程，有点困难，不能结合图象来回答方程的问题。

1．注重知识的发生过程与思想方法的应用

《用函数的观点看一元二次方程》内容比较多，而课时安排只一节，为了在一节课的时间里更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课给学生布置的预习作业，从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中。

探究抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形， 从图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法。这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。

2．关注学生学习的过程

在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行。

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