《机械优化设计》第6章习题解答-1

第六章习题解答

1．已知约束优化问题：

minf(x)?(x?2)?(xs?tg(x)?x?x?0?2?0?1)

g(x)?x?x试从第k次的迭代点x???12? 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254

?所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点x的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向：

S?0.562???0.5622?0.254??。并作图画出目标函数

0.25420.562??S2?0.2542??????0.911?0.412?

2) 用公式：x?x 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界

上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：

xx???x?xX??S??S???1?2?0.911?0.822?2?2?(?0.412)?1.176

即：?0.822???? ?1.176? 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2．已知约束优化问题：

minf(x)?4x?xs?tg(x)?xg(x)??xg(x)??x?x?0?0?12?25?0

试以x??21?,x??41?,x??33?为复合形的初始顶点，用复合形法进行

两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：

xxx0203??21????41????33??f0??5f2?3f3??90

经判断，各顶点均为可行点，其中，x为最好点，x为最坏点。 2）计算去掉最坏点 x02 后的复合形的中心点：

1??2??3???2.5??3?????????????? ?1322???3????????x?1L???x? 3）计算反射点xx1 （取反射系数??1.3）

0?x??(x10?x02??2.5??4???0.55??2.5???)???1.3????????????2???2??1???3.3?

值f1经判断x为可行点，其目标函数001??20.69 4）去掉最坏点x，由x1，x3和xR构成新的复合形，在新的复合形中

10 xR为最好点，x1为最坏点，进行新的一轮迭代。

5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：

x1??3??0.55???1.775???????????? ?3.152??3??3.3????? 6）计算新一轮迭代的反射点得：

x2?x1??(x21??1.775??2???1.4825??1.775?0???x1)???1.3????????????3.15???3.15??1???5.945?值f1

经判断x为可行点，其目标函数??41.413，完成第二次迭代。

3．设已知在二维空间中的点x??x?g???1x?，并已知该点的适时约束的梯度

1?，试用简化方法确定一个适用

?1?，目标函数的梯度?f???0.5的可行方向。 [解] 按公式6-32 d x x??P?f(x)/P?f(x)计算适用的可行方向：1?

点的目标函数梯度为：?f(x)???0.5

点处起作用约束的梯度G为一个n?J 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：

G??g(x)???1?1?

梯度投影矩阵P为：

P?I?GG?G??G?10???1????1?????????1?1????????01?1???????1?????1?0.5?0.5?01????

?0.50.5?? 则：适用可行方向为：

d?0.5?0.5???0.5?????????0.50.5??1??0.5?0.5???0.5???0.707???????? ?0.50.510.707??????

4．已知约束优化问题：

minf(x)?s?tg??xgg??x??x43(x?xx?x)?x?0?0?0

试求在x??01/41/2?点的梯度投影方向。

[解] 按公式6-32 d x x??P?f(x)/P?f(x)计算适用的可行方向：0.25?1?

点的目标函数梯度为：?f(x)???0.125 点处起作用约束的梯度G为一个n?J 阶的矩阵，题中：n=3，J=1：

G??g1(x)???100?

梯度投影矩阵P为：

P?I?GG?G??1G?100???1????????010?0??100?????????001????0?????1?????0??????0????1?000????100???010

????001?? 则：适用可行方向为：

?000???0.125?????0100.25?????1?001??????????000???0.125???0100.25?????1?001??????????0??0.243???0.97?? ???d

5．用内点法求下列问题的最优解：

minf(x)?x1?xs?tg1?3?x2222?2x1?1?0

（提示：可构造惩罚函数 ?(x,r)?f(x)?r?ln?g(x)?，然后用解析法求解。）

?[解] 构造内点惩罚函数：

?(x,r)?f(x)?r?ln?g(x)??x?12?x?2x?1?rln(3?x)

令惩罚函数对x的极值等于零：

?2x?2?????0 2x?(?r)/(3?x)dx??d?x1?1得：

x2?6?36?8r 4舍去负根后，得x2?6?36?8r4

当 r

?0时，x2?3，该问题的最优解为x??13?。

6． 用外点法求下列问题的最优解：

minf(x)?x?xs?tg?xg??x?x?0?0

[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(1)+x(2) end

subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=x(1)*x(1)-x(2) gx(2)=-x(1)

end

subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=0.0 end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 2 KH= 0 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 X : .1000000E+01 .2000000E+01 FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01 PEN = .5000000E+01

R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05

=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06 X : .9493056E-07 .7203758E-07 FX: .1669681E-06

GX: -.7203757E-07 -.9493056E-07

7．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：

minf(x)?xs?t2?x1g1(x)??lnx1?0h2(x)?x1?x2

?1?0[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(1) end

subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1))] gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) end

subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=x(1)+x(2)-1

end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ============== N= 2 KG= 3 KH= 1 X : .2000000E+01 .1000000E+01

FX: -.1000000E+01

GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 X : .2000000E+01 .1000000E+01 FX: -.1000000E+01

GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01 HX: .2000000E+01 PEN = .5942695E+01

R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05

=============== OPTIMUM SOLUTION ============== IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00 X : .1000006E+01 .3777877E-05

FX: -.1000012E+01

GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05 HX: -.2616589E-06

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