2007-2013年河南专升本高数真题及答案 - 图文

题号 分数

2007年河南省普通高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 《高等数学》试卷 一 二 三 四 五 六 总分 核分人

一. 单项选择题（每题2分，共计50分）

在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合的所有子集共有 {3,4,5}（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数2n?23?8?D。

f(x)?arx?1c)?3s?xi的n(2.函数定义域为

（ ）

A. [0,3] B. [0,2] C. [2,3] D. [1,3]

??1?x?1?1?0?x?2?B。 解： ?3?x?0?

3. 当x?0时，与x不等价的无穷小量是 ( )

A.2x B.sinx C.ex?1 D.ln(1?x) 解：根据常用等价关系知，只有2x与x比较不是等价的。应选A。

14.当x?0 是函数f(x)?arctan 的 （ ）

x A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点

1?1?解：lim?arctan? ；lim?arctan???C。

x?0x?0x2x2f(1?2h)?f(1?h)5. 设f(x) 在x?1处可导，且f?(1)?1，则lim的值为

h?0h（ ）

A.-1 B. -2 C. -3 D.-4

f(1?2h)?f(1?h)解：lim?lim[?2f?(1?2h)?f?(1?h)??3f?(1)??3?C 。

h?0h?0h 6.若函数f(x)在区间(a,b)内有f?(x)?0,f??(x)?0，则在区间(a,b)内，f(x)图形 （ ）

A．单调递减且为凸的 B．单调递增且为凸的 C．单调递减且为凹的 D．单调递增且为凹的 解：f?(x)?0?单调增加；f??(x)?0?凸的。应选B。 7.曲线y?1?x3的拐点是 （ ） A. (0,1) B. (1,0) C. (0,0) D. (1,1) 解：y???6x?0?x?0?(0,1)，应选A 。

x2?28.曲线f(x)?的水平渐近线是 （ ） 23x2211 B. y?? C. y? D. y?? 3333x2?211解：lim??y??C 。

x???3x233A. y??9. limx?0x20tantdtx4? （ ）

1 C.2 D. 1 2 A. 0 B.

2xtanx21?lim??B 。 43x?0x?02x4x 10.若函数f(x)是g(x)的原函数，则下列等式正确的是 （ ）

0? 解：limx2tanxdxA.?f(x)dx?g(x)?C B. ?g(x)dx?f(x)?C C.?g?(x)dx?f(x)?C D. ?f?(x)dx?g(x)?C 解：根据不定积分与原函数的关系知，?g(x)dx?f(x)?C。应选B。

1?3x)dx? （ ） 11.?cos(11A.?sin(1?3x)?C B. sin(1?3x)?C

33C. ?sin(1?3x)?C D. 3sin(1?3x)?C

11 解：?cos(1?3x)dx???cos(1?3x)d(1?3x)??sin(1?3x)?C?A。

3312. 设y??(t?1)(t?3)dt，则y?(0)? （ ）

0x A.-3 B.-1 C.1 D.3

解：y??(x?1)(x?3)?y?(0)?3?D 。

13. 下列广义积分收敛的是 （ ）

??dx??dx A.? B. ?

11xx??dx1dxC.? D. ? 10xxxx??dx解：由p积分和q积分的收敛性知，?收敛，应选C 。

1xx114. 对不定积分?2dx，下列计算结果错误是 2sinxcosx（ ）

1 A. tanx?cotx?C B. tanx??C

tanxC. cotx?tanx?C D. ?cot2x?C 解：分析结果，就能知道选择C。

15. 函数y?x2在区间[1,3]的平均值为 （ ）

2613A. B. C. 8 D. 4

33解：

1x12?xdx? f(x)dx2?16b?a?ab333?113?B。 316. 过Oz轴及点(3,?2,4)的平面方程为 （ ） A. 3x?2y?0 B. 2y?z?0 C. 2x?3y?0 D. 2x?z?0 解：经过Oz轴的平面可设为Ax?By?0，把点(3,?2,4)代入得2x?3y?0应选C。 也可以把点(3,?2,4)代入所给的方程验证，且不含z。

?x2z2?1??17. 双曲线?3绕z轴旋转所成的曲面方程为 （ ） 4?y?0?x2?y2z2x2y2?z2A. ??1 ??1 B.

3434(x?y)2z2x2(y?z)2 C. ??1 D. ??1

3434x2z2x2?y2z2222解：把??1中x换成x?y得??1，应选A。

34343?xy?918.lim? （ ）

x?0xyy?0 A.

11 B. ? C.0 D. 极限不存在 663?xy?9?xy11解：lim?lim??lim???B 。

x?0x?0x?0xy6xy?9)xy?9y?0y?0xy(3?y?03??z?y? （ ）

(e,1) 19.若z?xy，则

1 A. B. 1 C. e D. 0

e?z?xylnx?elne?e?C 。 解：

(e,1)?y(e,1)?z? （ ） ?xz2z2zzA. B. C. D.

2y?3xz3xz?2y2y?3xz3xz?2yFx??zz23223??? 解：令F?zy?xz?1?Fx???z;Fz??2zy?3xz?，应?xFz?2y?3xz选A。

21. 设C为抛物线y?x2上从(0,0)到(1,1) 的一段弧，则?2xydx?x2dy?

20. 方程 z2y?xz3?1所确定的隐函数为z?f(x,y)，则

C （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2

1?x?x2,x从0变到1，?2xydx?xdy??4x3dx?1?C 。 解：C：?2C0?y?x22.下列正项级数收敛的是 （ ）

??11A. ? B. ?

n?23n?1n?2nlnn?11C. ? D. ?2nn(lnn)n?2n?2nn??11 解：对级数?、?需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数2nlnnn(lnn)n?2n?2???111有结论：当时收敛，当时发散。级数、与级p?1p?1???pn3n?1n(lnn)n?2n?2n?2nn?1数?利用比较判别法的极限形式来确定---发散的，应选C。 n?2n?123.幂级数?n?1(x?1)n的收敛区间为 （ ）

n?03 A.(?1,1) B.(?3,3) C. (?2,4) D.(?4,2) 1??t?n解： 令x?1?t，级数化为?n?1t?????收敛区间为(?3,3)，即

3n?0?3?n?03x?1?(?3,3)?x?(?4,2)?D。

24. 微分y???3y??2y?e?xcosx特解形式应设为y?? （ ）

??1n A. Cexcosx B. e?x(C1cosx?C2sinx) C. xe?x(C1cosx?C2sinx) D. x2e?x(C1cosx?C2sinx) 解：?1?i 不是特征方程的特征根，特解应设为e?x(C1cosx?C2sinx)。应选B。 25.设函数y?f(x)是微分方程y???y??e2x的解，且f?(x0)?0，则f(x)在x0处（ ）

A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D. 取最大值 解：有f??(x0)?f?(x0)?e2x0?f??(x0)?e2x0?0?A 。 得评卷人

二、填空题（每题2分，共30分） 分

26.设f(x)?2x?5，则f[f(x)?1]?_________.

解：f[f(x)?1]?2(f(x)?1)?5?2f(x)?3?2(2x?5)?3?4x?13 。

2n?____________. 27.limn??n!?2n解：构造级数?，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条

n?0n!2n?0。 件limn??n!?3e4x，x?0? 28.若函数f(x)??在x?0处连续，则a?____________. a?2x?，x?02?a解：lim?f(x)?;lim?f(x)?3?a?6。

x?02x?029.已知曲线y?x2?x?2上点M处的切线平行于直线y?5x?1，则点M的坐标为 ________

解：y??2x?1?5?x?2?y?4?M(2,4)。

30.设f(x)?e2x?1，则 f(2007)(0)?_________ 解：f(n)(x)?2ne2x?1? f(2007)(0)?22007e?1。

?x?3t?1dy?__________ 31.设?，则2dxt?1?y?2t?t?1dydy4t?1?1。 解：??

dxt?1dx332. 若函数f(x)?ax2?bx在x?1处取得极值2，则a?______，b?_____

解：f?(x)?2ax?b?0?2a?b?0；a?b?2?a??2;b?4。

f?(x)33. ?dx? _________

f(x)f?(x)df(x)解：?dx???ln|f(x)|?C。

f(x)f(x)34．?1?x2dx?_________

011?解：?1?x2dx?S圆?。

04?4????35.向量a?3i?4j?k的模|a|?________

???解：|3i?4j?k|?9?16?1?26。

36. 已知平面?1：x?2y?5z?7?0与平面?2：4x?3y?mz?13?0垂直，则m?______

??解：n1?{1,2,?5};n2?{4,3,m}?4?6?5m?0?m?2。 37.设f(x?y,xy)?x2?y2，则f(x,y)?________

解：f(x?y,xy)?x2?y2?(x?y)2?2xy?f(x,y)?x2?2y。

1 38.已知I??220dy?1?y2yf(x,y)dx，交换积分次序后，则I?_______

??2,y?x?1?y2? 解：D??(x,y)|0?y?2??????22,0?y?x???(x,y)|?x?1,0?y?1?x2?，所 ??(x,y)|0?x?22????以次序交换后为??220dx?f(x,y)dy??2dx?02x11?x20f(x,y)dy。

??11?1??39.若级数?收敛，则级数???u?的和为 _______ uun?1?nn?1nn?1??1?11??11?1?111??????????????lim?0，解：Sn??，而?uu??u???n??un?12??1?2u3??unun?1?u1un?11所以S?limSn?。

n??u140.微分方程y???2y??y?0的通解为________

解：有二重特征根1，故通解为y?C1ex?C2xex（C1,C2为任意常数）。 得评卷人 分

三、判断题（每小题2分，共10分） 你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.

41.若数列?xn?单调，则

?xn?必收敛.

( )

解：如数列?n?单调，但发散，应为×。

42.若函数f(x)在区间?a,b?上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，则一定不存在，使. ??(a,b)f?(?)?0( )

解：如y?x2在??1,3?满足上述条件，但存在??0?[?1,3]，使得f?(?)?0，应为×。

x?sinx由洛比达法则1?cosxsinx43.lim??????lim?lim??1. ( )

x??x?sinxx??1?cosxx???sinxsinx1?x?sinx0?x?1。解：第二步不满足或，是错误的，事实上lim?limx??x?sinxx??sinx0?1?x应为×。

ln230??1?e?2xdx?ln244..

02( )

ln231?e?2xdx?ln2?ln2，解：因0?1?e?2x?1，由定积分保序性知：0??02应为√。

45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条件.( )

解：f(x,y)在点P(x,y)处可微可得f(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立，应为应为√。

得评卷人

分 四、计算题（每小题5分，共40分）

46．求lim?xsinx.

x?0 解： lim?xx?0sinx?lim?ex?0sinxlnx?ex?0limsinxlnxsinx~x??ex?0?limxlnx

lnxlimx?0?1x??x?0?lim?e???e?1x1x2?e?limxx?0??e0?1。

47.求函数y?x2?31?xdy的导数. 1?xdx1?ln|1?x|?ln|1?x|?，----（1分） 3121??11?? 两边对x求导得：y????，-------（3分）

yx3?1?x1?x??解： 两边取自然对数得 ln|y|?2ln|x|??211??即y??y???，------（4分） x3(x?1)3(x?1)??1?x?211?dy??故 ?x23?。-----（5分） 1?x?x3(x?1)3(x?1)dx??48.求不定积分?[e2x?ln(1?x)]dx. 解：?[e2x?ln(1?x)]dx?12xed(2x)??ln(1?x)dx ----（1分） 2?1x?e2x?xln(1?x)??dx -----（3分） 21?x11???e2x?xln(1?x)???1??dx--（4分） 21?x??1?e2x?xln(1?x)?x?ln(1?x)?C。----（5分） 249.计算定积分??02?2cos2xdx .

?解：因2?2cos2x?2(1?cos2x)?4cos2x，所以

??02?2cos2xdx??0?204cos2xdx??2|cosx|dx-----（2分）

0?2??2?cosxdx?2??cosxdx------（4分）

?2sinx?2sinx??2?2?4。-----（5分）

2?20?50.设z?f(esiny,3xy)，且f(u,v)为可微函数，求dz.

解：令exsiny?u,3x2y?v ，有z?f(u,v)，利用微分的不变性得 dz?fu?(u,v)du?fv?(u,v)dv?fu?d(exsiny)?fv?d(3x2y)----（3分） ?fu?(exsinydx?excosydy)?fv?(6xydx?3x2dy)------（4分） ?(exsinyfu??6xyfv?)dx?(excosyfu??3x2fv?)dy---（5分） 51．计算??x2dxdy，其中D为圆环区域：1?x2?y2?4.

Dx2解：积分区域D如图07-1所示：D的边界x2?y2?1、x2?y2?4用极坐标

y 表示分别为r?1，r?2；故积分区域D在极坐标系系下为

?(r,?)|0???2?,1?r?2?，----（2分）

2?2r?2 2故??xdxdy??d??r2cos2??rdr----（3分） r?1 01Dx

o422?22?rcos2?d? ??cos2?d??r3dr??01041152?152?22cos?d??2cos?d?---（4分） 图07-1 ??00482?152?15115? ??(1?cos2?)d??(??sin2?)?。---（5分）

8082402x52．将展开为x的幂级数，并写出收敛区间. 24?x ? 解： 因

2x11???22?x2?x4?xx?(?1,1)。

?n1x2(1?)2?1x2(1?)2；---（2分）

?1??xn1?xn?0?1?x??x?所以????x?(?2,2)；?????x?(?2,2)。--（3分）

xn?0?2?xn?0?2?1?1?22nn??1?(?1)n?n2x1??x?1??x??????????????xx?(?2,2)--（4分） 故2n?1??2n?0?2?2n?0?2?4?x2n?0??1n ??n?0?12n?1253．求微分方程x2dy?(y?2xy?x2)dx?0的通解.

1?2x解：方程可化为y??2y?1，这是一阶线性非齐次微分方程，---（1分）

x11?2x2x它对应的齐次方程y??2y?0的通解为y?Cxe，---（2分）

xx2n?1x?(?2,2)。--（5分）

设原方程有通解y?C(x)x2e，代入方程得C?(x)x2e?1，

1?x?即 C(x)?2e，--（3分）

x11?1?x所以 C(x)??2edx?ex?C，---（4分）

x11x1x故所求方程的通解为y?Cxe?x2。---（5分） 得评卷人

五、应用题（每题7分，共计14分） 分

54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容

积为V立方米，底面造价每平方米a元，侧面造价每平方米b元,

问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？

V 解：设长方体的长、宽分别为x,y ，则高为，又设造价为z，---（1分）

xy由题意可得

V2bV2bV?axy??(x?0,y?0)；---（3分） z?axy?2b(x?y)xyyx2bV?z2bV?z?ax?2;在定义域内都有意义. 而?ay?2; ?y?xyx2bV??z?ay??02?2bV?xx?令?得唯一驻点x?y?3，-----（5分）

?z2bVa??ax??0?y2??y由题可知造价一定在内部存在最小值，故x?y?32bV就是使造价最小的取a21x2aV值，此时高为3。

2b2aV2bV2bV所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为3、3、3时，工

2baa程造价最低。---（7分）

55. 设平面图形D由曲线y?ex,直线y?e及y轴所围成.求：

y?ex （1）平面图形D的面积; y

(2) 平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积. 解：平面图形D如图07-2所示：---（1分） e 取x为积分变量，且x?[0,1] （1）平面图形D的面积为 1 x 1xS??(e?e)dx----（3分）

0o 1 1x?(ex?e)?1。----（4分）

0图07-2 （2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成 旋转体的体积为

Vy?2??xe?edx?2?e?xdx?2??xexdx

0001?x?11x2 ?2?e210?2??xdex??e?2?xex?2??exdx

000111 ??e?2?e?2?exe110??(e?2)。-----（7分）

ee11或Vy???(lny)2dy??(lny)2y???2lnydy ??e?2??lnydy??e?2?ylny1?2??dy

11eee ??e?2?e?2?(e?1)??(e?2)。 得评卷人 分 六、证明题（6分）

56.若f?(x)在[a,b]上连续，则存在两个常数m与M，对于

满足a?x1?x2?b的任意两点x1,x2，证明恒有

m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1).

证明： 因f?(x)在[x1,x2]有意义，从而f(x)在[x1,x2]上连续且可导，即f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件，-----（2分）

f(x2)?f(x1)?f?(?)，----（3分） 故存在??(x1,x2)，使得

x2?x1又因f?(x)在[a,b]上连续，根据连续函数在闭区间上最值定理知，f?(x)在[a,b]上既有最大值又有最小值，不妨设m,M分别是最小值和最大值，从而x?(a,b)时，有m?f?(x)?M。------（5分）

f(x2)?f(x1)?M， 即 m?x2?x1故 m(x2?x1)?f(x2)?f(x1)?M(x2?x1)。---（6分）

2008年河南省普通高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

高等数学 试卷

题号 分数

得分 评卷人 一 二 三 四 五 总分 核分人 一. 单项选择题（每题2分，共计60分）

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.

1. 函数f(x)?ln(1?x)?x?2的定义域为 （ ） A. [?2,?1] B. [?2,1] C. [?2,1) D. (?2,1)

?1?x?0??2?x?1?C. 解：?x?2?0?

40.

??40dx??40?4xcosydy?___________ y?y112444?cosydy??dy?cosydx??cosydy?sinx0.

00y0y2??解:

?dx??4x41.直角坐标系下的二重积分

??D31f(x,y)dxdy(其中D为环域1?x2?y2?9)化为极坐

标形式为___________________________.

解：

??Df(x,y)dxdy??d??f(rcos?,rsin?)rdr.

0?3x?3x2?42.以y?C1e?C2xe?3x为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为 .

?3x?C2xe解:由y?C1ey???6y??9y?0.

43.等比级数

?为通解知,有二重特征根-3,从而p?6,q?9,微分方程为

?aqn?0?n(a?0),当_______时级数收敛,当_______时级数发散.

解: 级数

?aqn?0n是等比级数, 当|q|?1时,级数收敛,当|q|?1时,级数发散.

1展开为x的幂级数为__________________

x2?x?211?11?1111?????????解: f(x)?2

x3?1?x2?x?31?x6x?x?2?1?2n??(?1)n?11?1?x1?nnn???(?1)x??n????x,(?1?x?1). n?1?3n?06n?0233?2?n?0?44.函数f(x)??n?2?45.???的敛散性为________的级数.

n?n?1? 解:limun?lim?n???n?n?2??2??lim??1??n??n???n??n?nn??(?2)2?e?2?0,级数发散.

三、计算题（每小题5分，共40分）

?x2?2??46．求lim?x???x2?3????x2?2??解：lim?x???x2?3???x2?52.

x2?52x2?52??1??lim?x????1??2x23x2???????lim2???1?2?x??3??1???x2??52x222????1?2?x??52x??x23??(?)323????1?2?x??5252

?2??lim?1?2?x??x??3??lim?1?2?x??x??x222????1?2?x??x23??(?)323????1?2?x??52?ee3?2?e.

47. 求limx4x?0?2x2.

000t31?t2dtx4解：limx?0?x???lim4x3x230t31?t2dtx?01?x?2x4?lim21?x4x?03?2.

dy. dxdy1解：?sin(1?2x)???cos(1?2x)?1?2x????2cos(1?2x) ?dxsin(1?2x)sin(1?2x)sin(1?2x) ??2cot(1?2x).

48.已知y?lnsin(1?2x),求49. 计算不定积分xarctanxdx.

??x2?x2x21??arctanx??dx 解：?xarctanxdx??arctanxd?2??2?221?x??x21?1??arctanx???1??dx 22?1?x2?x211?arctanx?x?arctanx?C. 222x50.求函数z?ecos(x?y)的全微分.

解：利用微分的不变性,

dz?d[excos(x?y)]?exdcos(x?y)?cos(x?y)dex ??exsin(x?y)d(x?y)?cos(x?y)exdx ??exsin(x?y)[dx?dy]?cos(x?y)exdx

?ex[cos(x?y)?sin(x?y)]dx?exsin(x?y)dy. y x51．计算??2d?，其中D是由y?2,y?x,xy?1所围成的闭区域. 2 Dy解：积分区域D如图所示:把区域看作

Y型,则有

1 y?x?x?y

??1D??(x,y)|1?y?2,?x?y?,

y??2yxx故 ??2dxdy??dy?12dx

1yyDy ?o 1

xy?1?x?x 1y

?21y211x2dy?1xdx??2dy?21y2yyy

1y12?1?1?1?17??. 1?dy?y???4?3???12?y?2?3y?148?sinx52．求微分方程y??ycosx?e满足初始条件y(0)??1的特解.

解:这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次微分方程y??ycosx?0的通解为

y?Ce?sinx,设y?C(x)e?sinx是原方程解,代入方程有C?(x)e?sinx?e?sinx,

?sinx?xe?sinx, 即有C?(x)?1,所以C(x)?x?C,故原方程的通解为y?Ce?sinx把初始条件y(0)??1代入得:C??1,故所求的特解为y?(x?1)e.

?23nnx的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点). 53．求级数?n?0n?11解：这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径R?,

??an?13n?1n?1n?1?lim?n?3lim?3, 而??limn??an??n?2n??n?23n故收敛半径R?1. 3?11当x?时,级数化为?,这是调和级数,发散的;

3n?0n?1?(?1)n1当x??时,级数化为?,这是交错级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的;

3n?0n?1?11?所以级数的收敛域为??,?.

?33?

得分 评卷人

四、应用题（每题7分，共计14分） 2254. 过曲线y?x上一点M(1,1)作切线L，D是由曲线y?x，切线L及x轴所围成的

平面图形，求

（1）平面图形D的面积;

（2）该平面图形D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积.

y 解：平面图形D如图所示：

因y??2x,所以切线L的斜率k?y?(1)?2, 切线L的方程为y?1?2(x?1),即y?2x?1

取x为积分变量，且x?[0,1]. 1 （1）平面图形D的面积为

y?x2?x?y

x32S??xdx??1(2x?1)dx?032111?(x?x)10221（2）平面图形D绕x轴旋转一周所生成旋转体的体积为 Vx??xdx??1(2x?1)dx??021?. o 11 122 1x

?14?12x5510?4x3??2?????2x?x??3?130.

??255.一块铁皮宽为24厘米,把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要

使梯形的面积A最大,求腰长x和它对底边的倾斜角?.

解: 梯形截面的下底长为24?2x,上底长为 24?2x?2xcos?,高为xsin?,所以截面面积为 A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin?, 2?(0?x?12,0???)

2即A?24xsin??2x2sin??x2sin?cos?,

x ? 24?2x

??A?24sin??4xsin??2xsin?cos??0?x?8???x?令?得唯一驻点??.

?A?????24xcos??2x2cos??x2(cos2??sin2?)?03??????根据题意可知,截面的面积最大值一定存在,且在D:0?x?12,0???内取得,又函数

2?在D内只有一个可能的最值点,因此可以断定x?8,??时,截面的面积最大.

3

得分 评卷人

?x??1?cos2xdx在区间(e,e3)内仅有一个实根. e0?x证明：构造函数 f(x)?lnx???1?cos2xdx,

e0?xx3即有f(x)?lnx??2?sinxdx?lnx??22,显然函数f(x)在区间[e,e]连续,

0ee且有f(e)?22?0,f(e3)?3?e2?22?6?e2?0,由连续函数的零点定理知方程

?xf(x)?0即lnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)有至少有一实数根.

e0113另一方面, f?(x)??在区间(e,e)内恒小于零,有方程f(x)?0,即

xe?xlnx???1?cos2xdx在区间(e,e3)有至多有一实数根.

e0?x3综上所述, 方程lnx???1?cos2xdx在区间(e,e)内仅有一个实根.

e0

五、证明题（6分）

56. 证明方程lnx?

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