大学物理刚体力学基础

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大学物理学 刚体力学

一.刚体运动的基本形式由无数个连续分布的质点组成的质点系,每个质点称 为刚体的一个质量元. 每个质点都服从质点力学规律. 刚体 —— 一种理想模型. 刚体内任意两质元间距离, 在运动过程中保持不变.

刚体的运动——平动和转动. 任何复杂的运动为 两者的叠加.倪忠强 第2页

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刚体的平动 刚体上任一给定直线(或任意二质点间 的连线)在运动中空间方向始终不变而 保持平行. 转轴 刚体的转动 转动 —— 刚体内各质元绕同一直线做圆周运动.

定轴转动 —— 整个转轴相对参 考系静止.定点转动 —— 转轴上只有一点 相对参考系静止, 转动方向不断 变动.倪忠强 第3页

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描述刚体转动的物理量 转动平面: 定轴转动刚体上各质点的运动面. 刚体定轴转动的特点: 1. 转动平面垂直于转轴. 2. 转动平面上各点均做圆周运动, 角量相 同, 线量不同. 3. 定轴转动刚体上各点的角速度矢量 的 方向均沿轴线。角坐标: 角速度:

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dt 角加速度: d (rad s 2 )dt

( rad) 角位移: , d d 1 (rad s ) 方向右旋

倪忠强 第4页

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线速度与角速度之间的关系:

v r

dv d dr a r dt dt dt 2 reτ rend d2 2 dt dt

v

定轴转动中的基本关系式:d (t ), dt

和 是矢量,在定轴转动中由 于轴的方位不变, 故用正负表示其 方向.倪忠强 第5页

v r a r

v2 an r 2 r

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二.定轴转动定律 力对轴的力矩 力的大小？ 力的作用点？

表征力对 物体转动作 用, 称为力矩.

倪忠强 第6页

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力F 对参考点O的力矩:

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M0 r F

( N m)

M

z

大小: M 0 rF sin 力矩方向由右手螺旋关系确 定,垂直于 r 和 F 确定的平面.O

F

r

y

A M

力 F 对轴的力矩: F

x

O

r

F

力F 对轴OA的力矩:

M r F r F

F

只有 F 能改变刚体的转动状态.倪忠强 第7页

M r F

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刚体绕定轴的转动定律 把刚体看作一个质点系

z

合内力: f i 0 ri Fi Δmi ri ai ri Fi Δmi ri ai 加速度： ai ai ain

Fi f i mi ai

ri

fi mi

Fi

合外力矩: M r F z i i

M z mi ri ai mi ri ain倪忠强 第8页

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2 其中: ri ain 0 ri ai ri ai sin 90 k ri k 2 M z mi ri J r Δm2

M z mi ri ai mi ri ain

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转动惯量:

单位: kg m2

d 转动定律: M z J J dt刚体在作定轴转动时, 刚体的角加速度与它所受 到的合外力矩成正比, 与刚体的转动惯量成反比.倪忠强 第9页

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转动定律转动惯量的定义式:

M z J

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J r dm2

J S r 2 dS

J V r 2 dV

J l r 2 dl

转动惯量的物理意义: 反映刚体转动惯性的量度. 影响 J 的因素: 1. 刚体的总质量 (同分布M > m , JM > Jm).

2. 刚体质量分布 (同m, J中空>J实).3. 转轴的位置. 探索演示实验: 等质量四筒比滚仪.倪忠强 第10页

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例1:求一质量为m,长为 l 的均匀细棒的转动惯量. (1) 转轴通过棒的中心并与棒垂直. (2) 轴通过棒的一端并与棒垂直. 解: 在棒上取质量元,长为dx, 离轴 O 为 x .

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m dx dm对转轴的转动惯量为: dJ x dm x l l m 2 1 2 2 (1) 解为: J dJ l x dx ml l 12 2 l m 1 2 2 x dx ml (原点O在棒的左端点) (2) 解为: J 0 l 32 2倪忠强 第11页

m 棒的线密度为: l m dm dx l

l

xO

x dx

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例2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心 并与盘面垂直的轴的转动惯量.解：

dm dS 2 rdrJ r dm 2 r dr23

R

o

r

dr

J 2 r dr3 0

R

R 1 2 mR 2 24倪忠强 第12页

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垂直于杆的轴通过杆的中心

1 2 J ml 12垂直于杆的轴通过杆的端点

1 2 J ml 3垂直于杆的轴通过杆的1/4处

7 J ml 2 48

匀 质 直 杆 对 垂 直 于 杆 的 转 轴 的 转 动 惯 量倪忠强 第13页

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常见形状转动惯量

倪忠强 第14页

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平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc, 则刚体对与 该轴相距为 d 的平行轴 z 的转动惯量Jz是:

J z J c md

2

1 2 J c mR 2

Jz

Jc

3 1 2 2 2 J z mR mR mR 2 2

Rm

倪忠强 第15页

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挂钟摆锤的转动惯量 (杆长为l, 质量 为m1, 摆锤半径为R, 质量为m2) :

J J c md

2

1 2 1 2 2 m1l m2 R m2 l R 3 2挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动 的转动惯量(圆环质量为m, 半径为 R):

J J c md

2

mR2 mR2 2mR2倪忠强 第16页

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例3: 如图,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联, 绳子质量可以忽略, 它与定滑轮之间无滑动. 假设定滑轮的质 量为m0 ,半径为R, 其转动惯量为m0R2/2,

滑轮轴光滑. 试求该 物体由静止开始下落的过程中, 下落速度与时间的关系. 解: 由牛顿第二定律和刚体定轴转动定律: (1) 对m: mg T ma R

m0

对m0:

T m W

TR J 1 2 a R J m0 R2

(2) (3)

2m g 联立(1),(2),(3)解得: a 2m m0

恒矢量,与 时间无关.

2m gt 由初始条件 v0 0 ,得 v at 2m m0倪忠强 第17页

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例4: 一半径为R, 质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面 上. 若它的初始角速度为 0, 绕中心O旋转, 问经过多长时间 圆盘才停止.(设摩擦系数为 )

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dM rdF r gdm m 2mrdr dm 2 2πr dr dF 2 d πR R M J 2 dt 2m gr dr 2 1 dM 2 d 2 mgR mR R 3 2 dt 2 r 2 mgr dr t 0 3R 3R M 0 d dt d 0 dt R2 0 4 g 4 g 2 3R 0 mgR t 3解：

dr r

o

R

4 g

倪忠强 第18页

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例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置 的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度.

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解: 平行轴定理

J o J c md转动惯量:

2

A O2

C 质心

B

1 2 l 1 2 J 0 ml m ml 12 6 9(1)

o 0 M J 0

M mgl 6 3g 2 J 0 ml 9 2l

倪忠强 第19页

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例5: 一质量为m, 长为l的均质细杆, 转轴在O点, 距A端l/3. 今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动,求: (1)水平位置 的角速度和角加速度. (2)垂直位置时的角速度和角加速度.

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d 解: (2) M J A C 质心 B dt O l 1 2 d 1 2 d mg cos ml ml 6 9 dt 9 d 3g d cos d 2l π 3g 1 2 3g 3g 2 2 0 d 0 2l cos d 2 2l sin 0 2l 3g d 0 l dt倪忠强 第20页

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三.刚体定轴转动的机械能和力矩的功 刚体转动动能 z ri

1 1 2 2 2 动能: Δmi vi Δmi ri 2 2刚体的总动能:

vi mi

1 1 2 2 Ek mi ri 2 2 刚体的重力势能

m r 2 i i

2

1 2 Ek J 2

mi zi E p mi gzi mg mgzc m倪忠强 第21页

刚体的重力势能等于质量集中于质心的重力势能.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/23g4.html