2014迎春杯六年级复赛试题与解析

2014“数学解题能力展示”读者评选活动

复赛试题

小学六年级（2014年2月6日）

一、选择题（每小题8分，共32分）

57的计算结果是（ ）1．算式．

2014?201.4?225?8+1?1111A． B． C． D．

6758

2．对于任何自然数，定义n!?1?2?3??n．那么算式2014!?3!的计算结果的个位数字是（ ）． A．2 B．4 C．6 D．8

3．统统在计算有余数的除法时，把被除数472错看成了427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，那么

这个余数是（ ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

4．下图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS．那么正八边形中阴影

部分的面积（ ）．

BACDPSQRHEGF

A．

1235 B． C． D． 2358

二、选择题（每题10分，共70分）

5．右面竖式成立时的除数与商的和为（ ）．

2014260

A．589 B．653 C．723 D．733

6．甲乙丙三人进行一场特殊的真人CS比赛，规定：第一枪由乙射出，射击甲或者丙，以后的射击过程中，

若甲被击中一次，则甲可以有6发子弹射击乙或丙，若乙被击中一次，则乙可以有5发子弹射击甲或丙，若丙被击中一次，则丙可以有4发子弹射击甲或乙，比赛结束后，共有16发子弹没有击中任何人？则甲乙丙三人被击中的次数有（ ）种不同的情况．

A．1 B．2 C．3 D．4

7．甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把1，2，3，4，5，6，7，8，

9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□，每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N整除，乙胜；否则甲胜．当N小于15时，使得乙有必胜策略的N有（ ）．

A．5 B．6 C．7 D．8

8．在纸上任意写一个自然数，把这张纸旋转180度，数值不变，如0、11、96、888等，我们把这样的数

称为“神马数”．在所有五位数中共有（ ）个不同的“神马数”．

A．12 B．36 C．48 D．60

9．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而

来，边数记为a4，??，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n?3 ），则111+++a3a4a5+12014?，那么n?（ ）． an6051(1)(2)(3)(4)

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017

10．如右图所示，五边形ABCDEF面积是2014平方厘米，BC与CE垂直于C点，EF与CE垂直于E点，

四边形ABDF是正方形，CD:DE?3:2．那么，三角形ACE的面积是 （ ）平方厘米．

ABFCDE

A．1325 B．1400 C．1475 D．1500

11．甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车．甲行驶了60千米后和乙车在

C点相遇．此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶．那么当甲车到达B地时，甲乙两车最

远相距（ ）千米．

A．10 B．15 C．25 D．30

三、选择题（每题12分，共48分）

12．在“爸爸去哪儿”的节目中有一个任务，五个参加任务的孩子（天天、石头、Kimi、Cindy、Angela）

需要换爸爸（每个小朋友可以选择除了自己爸爸之外其他四位父亲中的任何一位），那么最终五人有（ ）种不同的选择结果．

A．40 B．44 C．48 D．52

13．老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔

成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是（ ）．

A．188 B．178 C．168 D．158

14．从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可

折叠为一个无盖的正方体，则共可以剪出（ ）种不同的图形（经过旋转或翻转相同的图形市委同一种）．

A．8 B．9 C．10 D．11

15．老师把某个两位数的六个不同约数分别告诉了AF六个聪明诚实的同学．

“我知道这个数是多少了．” A和B同时说：

C和D同时说：“听了他们两人的话，我也知道这个两位数是多少了．” “听了他们的话，我知道我的数一定比F 的大．” E：

“我拿的数的大小在C和D之间．” F：

那么六个人拿的数之和是（ ）

A．141 B．152 C．171 D．175

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复赛试题 小学六年级参考答案

1 D 9 C 2 B 10 A 3 A 11 B 4 A 12 B 5 C 13 C 6 B 14 A 7 B 15 C 8 D 部分解析

一、选择题（每小题8分，共32分）

57的计算结果是（ ）1．算式．

2014?201.4?225?8+1?1111A． B． C． D．

6758【考点】计算 【难度】☆☆ 【答案】D

5200?1.4201.417??? 【解析】

2014?201.4?2201.4?10?201.4?2201.4?8825?8+1?

2．对于任何自然数，定义n!?1?2?3?【考点】定义新运算 【难度】☆☆ 【答案】B

?n．那么算式2014!?3!的计算结果的个位数字是（ ）．

A．2 B．4 C．6 D．8

【解析】2014!个位数字是0，3!?1?2?3?6，所以2014!?3!个位是4．

3．童童在计算有余数的除法时，把被除数472错看成了427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，那么

这个余数是（ ）．

A．4 B．5 C．6 D．7 【考点】整除同余 【难度】☆☆ 【答案】A

【解析】除数=(472?427)?5?9，472?4(mod9)，所以余数是4．

4．下图中，正八边形ABCDEFGH的面积为1，其中有两个正方形ACEG和PQRS．那么正八边形中阴影

部分的面积（ ）．

BACDPSQRHEGF

1235 B． C． D． 2358【考点】几何

A．【难度】☆☆☆ 【答案】A

【解析】等积变形．

BACDABCDABCDPSQRPSQRPSQRHEHEHEGFGFGF

所以刚好各占一半．

二、选择题（每题10分，共70分）

5．右面竖式成立时的除数与商的和为（ ）．

2014260

A．589 B．653 C．723 D．733 【考点】数字谜 【难度】☆☆☆ 【答案】C

【解析】首先根据倒数第三行可以确定A?0，B?4；

DEC142AB60258185222843110151421140220466220

再根据顺数第三行最后一位为1可以确定，第一行D和C的取值为（1，1）或（3，7）或（9，9）或（7，3），根据尝试只有（1，1）符合题意．再依次进行推理，可得商和除数分别为：142和581．

6．甲乙丙三人进行一场特殊的真人CS比赛，规定：第一枪由乙射出，射击甲或者丙，以后的射击过程中，

若甲被击中一次，则甲可以有6发子弹射击乙或丙，若乙被击中一次，则乙可以有5发子弹射击甲或丙，若丙被击中一次，则丙可以有4发子弹射击甲或乙，比赛结束后，共有16发子弹没有击中任何人？则甲乙丙三人被击中的次数有（ ）种不同的情况． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】不定方程 【难度】☆☆☆ 【答案】B

5y?1，【解析】设甲乙丙分别被击中x、z次则三人分别发射6x、y、4z次[6x?(5y?1)?4z]?(x?y?z)?16化简得5x?4y?3z?15

1 2 3 4 x 3 1 0 0 y 0 1 3 0 0 2 1 5 z 但第一组和第四组不合理，舍去．选B．

7．甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把1，2，3，4，5，6，7，8，

9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□，每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N整除，乙胜；否则甲胜．当N小于15时，使得乙有必胜策略的N有（ ）．

A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】B

【解析】若N是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N是奇数．

N?1，显然乙必胜．

N?3，9，乙只需配数字和1-8，2-7，3-6，4-5，9-9即可． N?5，甲在个位填不是5的数，乙必败．

N?7，11，13，乙只需配成abcabc?abc?1001?abc?7?11?13．

8．在纸上任意写一个自然数，把这张纸旋转180度，数值不变，如0、11、96、888等，我们把这样的数

称为“神马数”．在所有五位数中共有（ ）个不同的“神马数”． A．12 B．36 C．48 D．60 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】D

【解析】设这个数为ABCBA，A位可以填11,88,69,96，4种情况，B位可以填00,11,88,69,96，5种情况，

C位可以填0,1,8，3种情况，4?5?3=60（个）．

9．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而

来，边数记为a4，??，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n?3 ），则111+++a3a4a5+12014?，那么n?（ ）． an6051(1)(2)(3)(4)

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 【考点】找规律 【难度】☆☆☆ 【答案】C

【解析】a3?3?(2?2)?3?4，a4?4?(2?3)?4?5，a5?5?(2?4)?5?6，??

an?n?(2?n?1)?n(n?1) ，111???a3a4a5?111???an3?44?5?1112014???，n?1?2017，n?2016 ．

n?(n?1)3n?16051

10．如右图所示，五边形ABCDEF面积是2014平方厘米，BC与CE垂直于C点，EF与CE垂直于E点，

四边形ABDF是正方形，CD:DE?3:2．那么，三角形ACE的面积是 （ ）平方厘米．

ABFCDE

A．1325 B．1400 C．1475 D．1500 【考点】几何 【难度】☆☆☆ 【答案】A

【解析】作正方形ABCD的“弦图”，如右图所示，

AIBHCGFDE假设CD的长度为3a，DE的长度为2a，

那么BG?3a，DG?2a，根据勾股定理可得BD2?BG2?DG2?9a2?4a2?13a2，所以，正方形ABDF 的面积为13a2；因为CD?EF，BC?DE，所以三角形BCD和三角形DEF的面积相等为3a2； 又因为五边形ABCEF面积是2014平方厘米，所以13a2?6a2?19a2?2014，解得a2?106，

2525三角形ACE的面积为：5a?5a?2?a2，即?106?1325．

22

11．甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车．甲行驶了60千米后和乙车在

C点相遇．此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶．那么当甲车到达B地时，甲乙两车最

远相距（ ）千米．

A．10 B．15 C．25 D．30 【考点】行程问题 【难度】☆☆☆ 【答案】A

aa2【解析】假设甲走60千米时，乙走了a千米，甲到达B地时，乙车应走?a?千米，此时甲、乙相差

6060a1最远为a???(60?a)?a，和一定，差小积大，60?a?a，a?30．甲、乙最远相差

6060900． 30??15（千米）

60

三、选择题（每题12分，共48分）

12．在“爸爸去哪儿”的节目中有一个任务，五个参加任务的孩子（天天、石头、Kimi、Cindy、Angela）

需要换爸爸（每个小朋友可以选择除了自己爸爸之外其他四位父亲中的任何一位），那么最终五人有（ ）种不同的选择结果．

A．40 B．44 C．48 D．52 【考点】排列组合 【难度】☆☆☆ 【答案】B

【解析】设五个爸爸分别是A、B、C、D、E，五个孩子分别是a、b、c、d、e，a 有4种选择，假设a选

择B ， 接着让b选择，有两种可能，选择A和不选择A，（1）选择A，c、d、e 选择三个人错排，（2）不选择A，则b、c、d、e 选择情况同4人错排．所以S5?4?(S4?S3) 同理S4?3?(S3?S2) ，S3?2?(S2?S1)，而S1?0（不可能排错），S2?1，所以S3?2，S4?9，S5?44．

13．老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔

成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是（ ）．

A．188 B．178 C．168 D．158 【考点】数论 【难度】☆☆☆ 【答案】C

【解析】设第一段有n个，则第2段有n?1个，第一个擦的奇数是2n?1，第二个擦的奇数是4n?5，和为

6n?6，是6的倍数．只有168符合．

14．从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可

折叠为一个无盖的正方体，则共可以剪出（ ）种不同的图形（经过旋转或翻转相同的图形视为同一种）．

A．8 B．9 C．10 D．11 【考点】立体几何 【难度】☆☆☆ 【答案】A 【解析】如下图

15．老师把某个两位数的六个不同约数分别告诉了AF六个聪明诚实的同学．

“我知道这个数是多少了．” A和B同时说：

C和D同时说：“听了他们两人的话，我也知道这个两位数是多少了．” “听了他们的话，我知道我的数一定比F 的大．” E：

“我拿的数的大小在C和D之间．” F：

那么六个人拿的数之和是（ ）

A．141 B．152 C．171 D．175 【考点】数论 【难度】☆☆☆☆ 【答案】A

【解析】（1）这个数的因数个数肯定不低于6个（假定这个数为N，且拿到的6个数从大到小分别是

A、B、C、D、E、F ）

（2）有两个人同时第一时间知道结果，这说明以下几个问题：

第一种情况：有一个人知道了最后的结果，这个结果是怎么知道的呢？很简单，他拿到的因数在5099之间（也就是说A 的2倍是3位数，所以A其实就是N）

第二种情况：有一个人拿到的不是最后结果，但是具备以下条件：

1） 这个数的约数少于6个，比如：有人拿到36，单他不能断定N究竟是36还是72．

2） 这个数小于50，不然这个数就只能也是N了．

3） 这个数大于33，比如：有人拿到29，那么他不能断定N 是58还是87；这里有个特例是27，

因为27?2=54，因数个数不少于6个；27?3=81，因数个数少于6个，所以如果拿到27可以判断N只能为54）

4） 这个数还不能是是质数，不然不存在含有这个因数的两位数． 最关键的是，这两人的数是2倍关系

但是上述内容并不完全正确，需要注意还有一些“奇葩”数：17、19、23也能顺利通过第一轮． 因此，这两个人拿到的数有如下可能：

（54，27）（68，34）（70，35）（76，38）（78，39）（92，46）（98，49） （3）为了对比清晰，我们再来把上面所有的情况的因数都列举出来： （54，27，18，9，6，3，2，1） （68，34，17，4，2，1）（×） （70，35，14，10，7，5，2，1） （76，38，19，4，2，1）（×） （78，39，26，13，6，3，2，1） （92，46，23，4，2，1）（×） （98，49，14，7，2，1）

对于第一轮通过的数，我们用红色标注，所以N不能是68、76、92中的任意一个． 之后在考虑第二轮需要通过的两个数．

用紫色标注的6、3、2、1，因为重复使用，如果出现了也不能判断N是多少，所以不能作为第二轮通过的数．

用绿色标注的14和7也不能作为第二轮通过的数，这样N也不是98． 那么通过第二轮的数只有黑色的数． 所以N 只能是54、70、78中的一个． 我们再来观察可能满足E和F所说的内容： （54，27，18，9，6，3，2，1） （70，35，14，10，7，5，2，1） （78，39，26，13，6，3，2，1）

因为F说他的数在C和D之间，我们发现上面的数据只有当N?70的时候，F?7，在C、D(10和5)之间，是唯一满足条件的一种情况．

又因为E 确定自己比F的大，那么他拿到的数一定是该组中剩余数里最大的．所以E拿到的是14（N?70 ）．

所以N?70，六个人拿的数之和为：70+35+14+10+7+5=141．

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