2010高考专题（集合与简易逻辑）训练

集合与简易逻辑

一、【重点知识结构】 集合及元素 集合的基本概念 集合分类及表示 子集、包含与相等 集合 集合与集合的关系

交集、并集、补集 集合的应用 解含绝对值符号、一 元二次、简单分式不 逻辑联结词

命题 简单命题与复合命题 四种命题及其关系 简易逻辑 充分必要条件

二、【高考要求】

1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包

含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合. 2. 理解|ax+b|c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元

二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法.

3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握

充要条件的意义和判定.

4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维

品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力. 三、【高考热点分析】

集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.

四、【高考复习建议】

概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理

解集合问题.

五、【例 题】

【例1】 设x,y?R,A?{a|a?x2?3x?1},B?{b|b?y2?3y?1}，求集合A与B之间的关系。

3555解：由a?x2?3x?1?(x?)2???，得A={x|x??}

2444355b?y2?3y?1?(y?)2???

244∴A=B

【例2】 已知集合A={x|x2?3x?10?0}，集合B={x|p?1?x?2p?1}，若B?A，求实数p

的取值范围。

解：若B=Φ时，p?1?2p?1?p?2

?p?1?2p?1?若B≠Φ时，则??2?p?1?2?p?3

?2p?1?5?综上得知：p?3时，B?A。

【例3】 已知集合A?{(x,y)|如果A?B??，

试求实数a的值。

解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B； 当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ

当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ

当a≠±1时，集合A：y?3?(a?1)(x?2)，(2,3)?A，只有(2,3)?B才满足条件。 故(a2?1)?2?(a?1)?3?30；解得：a=－5或a=∴a=1或a=

7或a=－1或a=－5。 27 2y?3?a?1}，集合B={(x,y)|(a2?1)x?(a?1)y?30}。x?2【例4】 若集合A={3?2x,1,3}，B={1,x2}，且A?B?{3?2x,1,3}，求实数x。 解：由题设知A?B?A，∴B?A，故x2?3或x2?3?2x

即x??3或x?1或x??3，但当x?1时，3?2x?1不满足集合A的条件。 ∴实数x的值为?3或?3。

【例5】 已知集合A={x|10?3x?x2?0}，B={x|x2?2x?2m?0}，若A?B?B，求实数m的值。

解：不难求出A={x|?2?x?5}，由A?B?B?B?A，又x2?2x?2m?0，??4?8m

①若4?8m?0，即m?②若4?8m?0，即m?1，则B???A 21，B?{x|1?1?2m?x?1?1?2m}， 2?1?1?1?2m??2∴???4?m?

2??1?1?2m?5故由①②知：m的取值范围是m?[?4,??)

注：不要忽略空集是任何集合的子集。

【例6】 已知集合A={x|x2?ax?a2?19?0}，B={x|log2(x2?5x?8)?1}，C={x|x2?2x?8?0}，

若AB??与AC??同时成立，求实数a的值。

解：易求得B={2,3}，C={2,?4}，由AB??知A与B的交集为非空集。 故2，3两数中至少有一适合方程x2?ax?a2?19?0

又AC??，∴2?A，即9?3a?a2?19?0得，a=5或a=－2 当a=5时，A={2,3}，于是A?C?{2}??，故a=5舍去。 当a=－2时，A={2,5}，于是A?B?{3}??，∴a=－2。

【例7】 成的集合。

解：∵A∪B=A，∴B?A，当B??时a2?16?0，∴-4

A?{x|x2?3x?2?0}?{1,2}，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，

A?{x|x2?3x?2?0}，B?{x|2x2?ax?2?0}，A∪B=A，求a的取值构

当2∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时B?{,2}?A，a=5舍去，∴-4

【例8】 已知A?{x|x2?3x?2?0}，B?{x|ax?2?0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C。

解：由A={1，2}，由A∪B=A，即B?A，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。

另外显然有当a=0时，B?? 也符合。所以C={0，1，2}。

【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求：

（1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数； （4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。

解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图

12解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人

如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。

【例10】 （2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于x的不等式

2x2?(3a?7)x?(3?a?2a2)?0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范

围，并用a表示出该不等式的解集.

解：原不等式即(2x?a?1)(x?2a?3)?0，

由x?0适合不等式故得(a?1)(2a?3)?0，所以a??1，或a?若a??1，则?2a?3?3. 2a?1a?15?(?a?1)?5，∴3?2a?，

222a?1?x?3?2a}； 此时不等式的解集是{x|2a?13a?155?(?a?1)??，∴3?2a?若a?，由?2a?3?，

22224a?1}. 此时不等式的解集是{x|3?2a?x?2【例11】 （2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知a?1，设命题

P:a(x?2)?1?0，命题Q:(x?1)2?a(x?2)?1.试寻求使得P、Q都是真命题的x的

集合.

解：设A?{x|a(x?2)?1?0}，B?{x|(x?1)?a(x?2)?1}， 依题意，求使得P、Q都是真命题的x的集合即是求集合A?B，

211??x?2??a(x?2)?1?0x?2???∵? ??aa??2?(x?1)?a(x?2)?1?x2?(2?a)x?2a?0?(x?a)(x?2)?0??1?x?2??∴若1?a?2时，则有?， a??x?2或x?a而

11a?(2?)?a??2?0aa，所以

a?2?1a，

即当1?a?2时使P、Q都是真命题的x?{x|x?2或2?当a?2时易得使P、Q都是真命题的x?{x|x?1?x?a}； a3,且x?2}； 21?x?2??若a?2，则有?， a??x?a或x?2此时使得P、Q都是真命题的x?{x|x?a或2?1?x?2}． a综合略.

【例12】 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件p:|5x?1|?a和条件

1?0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造22x?3x?1命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.

分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a，也能先猜后证，所找到的实数q:a只需满足

1?a11?a?，且?1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是525对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符

合当今倡导研究性学习的教学方向.

解：已知条件p即5x?1??a，或5x?1?a，∴x?已知条件q即2x2?3x?1?0，∴x?令a?4，则p即x??1?a1?a，或x?， 551，或x?1； 23，或x?1，此时必有p?q成立，反之不然. 5故可以选取的一个实数是a?4，A为p，B为q，对应的命题是若p则q，

由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题. 【例13】 已知p:|1?x?1|?2，q:x2?2x?1?m2?0(m?0)；?p是?q的必要不充3分条件，求实数m的取值范围.

解：由|1?x?1得?2?x?10， |?2，3由x2?2x?1?m2?0(m?0)，得1?m?x?1?m(m?0)，

∴?p即x??2，或x?10，而?q即x?1?m，或x?1?m(m?0)； 由?p是?q的必要不充分条件，知?q??p，

设A={x|x??2，或x?10}，B={x|x?1?m，或x?1?m(m?0)}，

?1?m??1，?则有A?B，故?1?m?10，且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，

??m?0，?解得0?m?3，此即为“?p是?q的必要不充分条件”时实数m的取值范围. 【例14】 （2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数f(x)?logax，其中

a?{a|20?12a?a2}.

（1）判断函数f(x)?logax的增减性；

（2）（文）若命题p:|f(x)|?1?f(2x)为真命题，求实数x的取值范围. （2）（理）若命题p:|f(x)|?1?|f(2x)|为真命题，求实数x的取值范围. 解：（1）∵a?{a|20?12a?a2}，∴a2?12a?20?0， 即2?a?10，∴函数y?logax是增函数； （2）（文）|f(x)|?1?f(2x)即|loga当0?x?1，logax|?loga2x?1，必有x?0，

x?0，不等式化为?logax?loga2x?1，

∴loga2?1，这显然成立，此时0?x?1； 当x?1时，logax?0，不等式化为logax?loga2x?1，

aa，此时1?x?； 22a}. 2∴loga2x?1，故x?

综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是{x|0?x?（2）（理）|f(x)|?1?|f(2x)|即|loga当0?x?x|?|loga2x|?1，必有x?0，

1时，loga4x?loga2x?0，不等式化为?logax?loga2x?1，

111?x?； ，此时

2a2a4∴?loga2x?1，故loga2x??1，∴x?当

1?x?1时，loga4x?0?loga2x，不等式化为?logax?loga2x?1，

1?x?1； 4∴loga2?1，这显然成立，此时当x?1时，0?loga∴loga2x?1，故x?

x?loga2x，不等式化为logax?loga2x?1，

aa，此时1?x?； 221a?x?}. 2a2综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是{x|

六、【专题练习】

一、选择题

1．已知I为全集，集合M、N?I，若M?N=M，则有：（D）

A．M?(CuN) B．M?(CuN) C．(CuM)?(CuN) D．(CuM)?(CuN) 2．若非空集合A、B适合关系A?B，I是全集，下列集合为空集的是：（D） A．A?B B．(CuA)?(CuB) C． (CUA)?B D．A?(CUB)

3．已知集合A={0，1，2，3，4}，B={0，2，4，8}，那么A∩B子集的个数是：（C） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

4．满足｛a｝?X?｛a,b,c｝的集合X的个数有 （ B ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

5．已知集合I、P、Q适合I=P?Q=｛1，2，3，4，5｝，P?Q=｛1，2｝则（P?Q）?（CuP?CuQ）

为（ C ）

（A）｛1，2，3｝ （B）｛2，3，4｝ （C）｛3，4，5｝ （D）｛1，4，5｝ 6．已知I为全集·集合M，N是I的子集M?N=N，则 （ B ）

（A）(CuM)?(CuN) （B）(CuM)?(CuN) （C）M?(CuN) （D）M?(CuN) 7．设P=｛x| x≥-2｝,Q=｛x | x≥3｝，则P?Q等于 （ D ）

（A）? （B）R （C）P （D）Q

8．设集合E=｛n|n=2k , k?Z｝，F=｛n|n=4k , k?Z｝，则E、F的关系是 （ B ） （A）E?F （B）E?F （C）E=F （D）E?F=?

9．已知集合M={x|?2?x?2}，N={ x || x -1|≤2}，则M?N等于 （ B ） （A）{x|?2?x?3} （B）{x|?1?x?2} （C）{x|?2?x??1} （D）{x|2?x?3} 10．已知集合I=R，集合M={ x | x =是 （ B ）

（A）M?P=? （B）(CUM)?P=? （C）M?(CUP)=? （D）(CUM)?(CUP)=? 11．已知集合A={y|y=2x, x ?R},B={y|y=x2 x ?R},则A?B等于 （ C ） （A）{2，4} （B）{（2，4），（4，16）} （C）{ y|y ≥0} （D）{ x| x<0}

12．设全集I=R，集合P={x|(x?4)(2?x)?0}，集合Q={ x | x+4>0}，则 （ D ） （A）P?Q=? （B）P?Q=R

（C）(CUP)?Q=(CUP) （D）(CUP)?(CUQ)={-4} 二、解答题

1、设A={x|4x?x2?ax}，B={x|0?x?1}；若A?B，求实数a的取值范围。

解：由图象法解得： 当a>0时，A?{x|0?x?42y12n，n?N}，P={ x | x =

14n，n?N}，则M与P的关系

1?a当a≤0时，A?{x|0?x?4}

}；

ox∴要使得A?B，必须且只须

41?a2?1，解得a?3

112、已知A={x| |x?(a?1)2|?(a?1)2}，B={x|x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0}。若A?B，求

22实数a的取值范围。

解：易得A?{x|2a?x?a2?1}，由x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0得(x?2)[x?(3a?1)]?0 ⑴当3a+1>2，即a?1时，B?{x|2?x?3a?1} 3??2a?2要使A?B，必须?2?1?a?3，

?a?1?3a?1?⑵当3a+1=2，即a?当3a+1<2，即a?1时，B?{2}；要使A?B，a=1 31时，B?{3a?1?x?2} 3??2a?3a?1⑶要使A?B，必须?2?a??1

?a?1?2?综上知：a??1或a?[1,3]

23、已知集合A={y|y?x2?2mx?4,x?R}，B={x|log3x?log1x?0}，且A?B??，求实

3数

m的值。

解：B?{x|1?x?3}，A?{x|x?4?m2}，由4?m2?3得：m?(??,?1]?[1,??) 4、已知集合A={y|y2?(a2?a?1)y?a(a2?1)?0}，B={y|y?A?B??，求实数a的取值范围。

125x?x?,0?x?3}；若 22解：B={x|2?x?4}，由y2?(a2?a?1)y?a(a2?1)?0得：(y?a)(y?a2?1)?0 因为a2?1?a，所以A={x|x?a2?1或x?a}。 由A?B??得：a2?1?4 或a?2 所以a?(?3,3)?(2,??)

5、已知集合A?{x|x2?px?q?0}，B?{x|qx2?px?1?0}同时满足

①A?B??，②A?CuB?{?2}，其中p、q均为不等于零的实数，求p、q的值。 解：条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但?2?B，A、B是两个方程的解集，方程x2?px?q?0和qx2?px?1?0的根的关系的确定是该题的突破口。

2设x0?A，则x0?0，否则将有q=0与题设矛盾。于是由x0?px0?q?0，两边同除

2以x0，得q(121)?p?1?0， x0x0知

1?B，故集合A、B中的元素互为倒数。 x011，得x0?1或x0??1。 ?B，且x0?x0x0由①知存在x0?A，使得

由②知A={1，-2}或A={-1，-2}。 1若A={1，-2}，则B?{1,?}，

2有??p??(1?2)?1;

?q?1?(?2)??2.1同理，若A={-1，-2}，则B?{?1,?}，得p=3，q=2。

2综上，p=1，q=-2或p=3，q=2。

(a?1)2(a?1)2?6、已知关于x的不等式x?，x2?3(a?1)x?2(3a?1)?0的解集依次为22A、B，且A?B?φ。求实数a的取值范围。

解：A?{x|2a?x?a2?1}，B={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0} ∵A?B?φ

①当3a+1≥2时，B={x|2≤x≤3a+1}

2∴3a+1<2a或a?1?2，∴?a?1

13②当3a+1<2时，B={x|3a+1≤x≤2}

2∴2a>2或3a?1?a?1，∴0?a?1 37、已知集合A?{x|x2?3x?2?0,x?R}，若B?{x|x2?ax?a?1?0,x?R}，且

A?B?A，求实数a。

解：∵A∪B=A，∴B?A。

∵A={1，2}，∴B??或B={1}或B={2}或B={1，2}。 若B??，则由△<0知，不存在实数a使原方程有解； 若B={1}，则由△=0得，a=2，此时1是方程的根； 若B={2}，则由△=0得，a=2，此时2不是方程的根， ∴不存在实数a使原方程有解；

若B={1，2}，则由△>0，得a∈R，且a≠2，

此时将x=1代入方程得a∈R，将x=2代入方程得a=3。

综上所述，实数a的值为2或3。

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