点集拓扑学练习题（第二章）（答案）

练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分)

1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )

3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( 9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ √ ）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ √ ）

11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ 12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中

Zn={n,n+1,n+2,…},

则包含3的所有开集为 Z1,Z2,Z3

包含3的所有闭集为 Z,Z///14,Z5,Z6,...

包含3的所有邻域为 Z1,Z2,Z3,{1}?Z3

设A={1,2,3,4,5} 则A的导集为{1,2,3,4} ，A的闭包为{1,2,3,4,5}

× ) × ） ） √

2、设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=?

3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是____ R ____.

4、x?d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 ;

答案： U?(A?{x})??

5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ; A= ;

答案：X；X

6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ; A= ;

答案：X；X 7、设X,X?{1,2,3}的拓扑T,则X?{X,?,{2},{2,3}的子集A?{1,2} 的内部

为 ; 答案：{2}

三、单项选择题（每题2分） 1、已知X① T② T③ T④ T（ ）是X?{a,b,c,d,e},下列集族中，

上的拓扑.

?{X,?,{a},{a,b},{a,c,e}} ?{X,?,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ?{X,?,{a},{a,b}}

?{X,?,{a},{b},{c},{d},{e}} 答案：③ ?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{b}=（ ）

2、已知X①φ ② X ③ {b} ④ {b,c,d} 答案：④ 3、已知X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a}},则{a}=（ ）

①φ ② X ③ {a,b} ④ {b,c,d} 答案：②

4、设X?{a,b,c,d}，拓扑T?{X,?,{a},{b,c,d}},则X的既开又闭的非空真子集的

个数为（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：② 5、设X?{a,b}，拓扑T?{X,?,{b}},则X的既开又闭的子集的个数为（ ）

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③ 6、在实数空间中，有理数集Q的内部Q ?是（ ）

① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：① 7、在实数空间中，有理数集Q的边界?(Q)是（ ）

① ? ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④ 8、在实数空间中，整数集Z的内部Z ?是（ ）

① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：① 9、在实数空间中，整数集Z的边界?(Z)是（ ）

① ? ② Z ③ R-Z ④ R 答案：② 10、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）

① ? ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③ 11、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ① d(A?B)?d(A)?d(B) ② A?B?A?B

③ d(A?B)?d(A)?d(B) ④ A?A 答案: ③ 12、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ）

① d(A)?? ② d(A)?③ d(A)?A ④ d(A)?

X?A X 答案：①

13、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是

（ ）

① 若A??,则d(A)?? ② 若A?{x0},则d(A)?③ 若A={x1,x2},则d(A)?14、设X?{abcd,,,}XX?A X ④ 若A?dX, 则d(A)? 答案：④

，令B?{{,abc,}{},{,}}c,则由B产生的X上的拓扑是（ ）

① { X,?,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ② {X,?,{c},{d},{c,d}} ③ { X,?,{c},{a,b,c}}

④ { X,?,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}} 答案：① 15、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③ 16、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④ 17、实数空间R中的任一单点集是 ( )

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：② 18、实数空间R的子集A ={1,, ,,……},则A＝（ ）

234111①φ ② R ③ A∪{0} ④ A 答案：③ 19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② ?a,b? ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：① 20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ）

① 整数集Z ② 有理数集

③ 无理数集 ④ 整数集Z的补集Z? 答案：④

21、已知X?{1,2,3}上的拓扑T?{X,?,{1}},则点

1的邻域个数是（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④ 22、已知X?{a,b},则X上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④ 23、在实数下限拓扑空间R中，区间[a,b)是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③ 24、设X是一个拓扑空间，A,B?X,且满足d(A)?B?A,则B是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：② 四.证明题(52分):

n1. 设X有拓扑T1,T2,...Tn,??i?1Ti也是拓扑.

证:

(1)?X,??Ti,i?1,2,...n,?X,???i?1Ti(2)?A,B??i?1Ti,?A,B?Ti,i?1...n.?A?B?Ti,i?1...n,?A?B??i?1Ti~~n(3)?T??i?1Ti,?T?Ti,i?1...n,??~A?Ti,i?1...n,??~A??A?TA?Tni?1nnn

Tin??n~A?TA?Ti,i?1...n,??~A?TA??i?1Ti所以?i?1Ti也是拓扑.

2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.

xi?x,limxi?y 证:设度量空间X中序列{xi}i?Z有：limi??i???若x?y

则

B(x,ρ(x , y)/3)∩B(y, ρ(x , y)/3)=?.

对于B(x , ρ(x , y)/3),存在N1>0,当i >N1时 有xi? B(x , ρ(x , y)/3)

对于B(y , ρ(x , y)/3),存在N2>0,当i >N2时 有xi? B(y , ρ(x , y)/3) 取N=max{N1,N2},则当i > N时

有xi? B(x , ρ(x , y)/3)∩B(y , ρ(x , y)/3) 与B(x , ρ(x , y)/3)∩B(y , ρ(x , y)/3)=?. 矛盾

3.设X是一个拓扑空间,B是一个基, x∈X,则Bx={B∈B | x∈B}是点x处的一个邻域基.

见P.82 定理2.6.7

4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)

证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/231t.html