2017年秋九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法（第4课时）教

22.2一元二次方程的解法

第四课时 公式法和一元二次方程根的判别式

教学目标： 知识技能目标

1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程； 2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力． 过程性目标

1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；

2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点． 情感态度目标

1. 通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；

2. 培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识． 重点和难点：

重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程； 难点：对字母系数二次三项式进行配方． 教学过程： 一、创设情境

问题1 用配方法解方程：x2-4x+2＝0． 问题2 思考如何用配方法解下列方程？ (1)4x2-12x-1＝0，(2)3x2+2x-3=0．

二、探究归纳

让学生独立解决问题1，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？ 用配方法解一元二次方程的步骤：(1)移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；(2)配方，方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；(3)用直接开平方法求解．其中(2)是关键．

问题1的结果是：x1?1?2,x2?1?2．

让学生仿问题1，讨论尝试求解问题2；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？ 指出 当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．

x?问题2的结果是：(1)探索

?1?103?10x?32；(2)．

我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解． 用配方法来解一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a，得

x2?bcx??0aa，

移项，得

x2?bcx??aa，

22配方，得

bc?b??b?x?x????????aa?2a?， ?2a?2即

b?b2?4ac??x???2a?4a2． ?因为a≠0，所以4a2＞0，当b2-4ac≥0时，得

2bb2?4acx???2a4a2，

即

bb2?4acx???2a2a．

所以

bb2?4acx???2a2a，

即

?b?b2?4acx?2a．

上面的式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．

用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

从上面的结论可以发现：

(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的． (2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把

2

?b?b2?4acx?2aa、b、c的值代入(b2-4ac≥0)中，可求得方程的两个根．

思考(1)当b2-4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？ (2)当 b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？ 例 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？

2（1）2x?5x?3?0；

（2）8y(2y?5)??25； （3）x2?x?1?0．

过程，总

学生独立利用公式法解上述3个方程，然后观察方程的解的情况，观察解题结一元二次方程根的规律和b2?4ac的关系．

鼓励学生独立解方程，在解出方程后引导学生观察方程的解，经过讨论得出下列结论： （1）当b2?4ac?0时，一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有实数根

2?b?b2?4ac?b?b2?4acx1?，x2?；

2a2a（2）当b2?4ac?0时，一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有实数根

2x1?x2??b； 2a2（3）当b2?4ac?0时，一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)无实数根．

这里的b2?4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“△”来表示，用它可以直接判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况。

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＜0时，方程有两个相等的实数根； 当△=0时，方程没有实数根。 三、实践应用

例1 解下列方程：

(1)2x2＋x-6＝0； (2)x2＋4x＝2； (3)5x2-4x-12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1-8x． 解 (1)这里 a＝2，b＝1，c＝-6．

3

因为b2-4ac＝(1)2-4×2×(-6)＝1＋48＝49＞0，

?b?b2?4ac?1?49?1?7??,2a2?24所以 x=

?即原方程的解是x1＝-2，x2

32.

(2)将方程化为一般式，得x2＋4x-2＝0. 因为 b2-4ac＝24,

x?所以

?4?24??2?62．

原方程的解是x1＝-2＋6,x2＝-2-6. (3)因为b2-4ac＝256，

x?所以

?(?4)?2564?162?8??2?5105．

x1??65，x2＝2.

原方程的解是

(4)整理，得4x2-12x＋9＝0.

因为b2-4ac＝0,所以

x???12?08，

原方程的解是

x1?x2??32.

在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤 ：(1)确定a、b、c的值；(2)算出b2-4ac的值；(3)代入求根公式求出方程的根．

对于(4)b2-4ac＝0，方程有两个相等的实数解，而不是一个实数解，不能写成

例2 运用适当方法解下列方程：

x??32．

1?x?3?2?1????(1)2； (2)x?1x?1?22x；

4

(3)(2x-5)(x-3)＝0； (4)2x?4x?5?0．

分析 (1)适宜用直接开平方法；(2)化简后，得x?22x?1?0，可选择用公式法；(3)用因式分解法简单；(4)用公式法．

2??x?3?2， 解 (1)化为

22直接开平方，得x?3??2， 所以原方程的解是x1?3?22,x2?3?2．

(2)化为x?22x?1?0, 因为b2-4ac＝12,

x?所以

?(?22)?1222?23??2?32?12,

原方程的解是x1＝2?3，x2＝2?3. (3)移项并因式分解，得(2x-5)(x-3)＝0,

所以2x-5＝0或x-3＝0．

5原方程的解是x1＝2，x2＝3.

(4)因为b2-4ac＝-4＜0,

所以这个方程没有实数解.

例3 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)x2＋4x-6＝0； (2)2x2＋6x＝-7； (3)2x2+4x-2＝0； (4)4x2＋4x＋5＝1-8x．

解 （1）因为△=42-4×1×（-6）=40，所以方程有两个不相等的实数根。

（2）原方程变形为2x2＋6x+7=0，因为△=62-4×2×7=-20，所以方程没有实数根。 （3）因为△=42-4×2×2=0，所以方程有两个相等的实数根。

（4）原方程可变形为4x2＋12x＋4＝0，因为△=122-4×4×4=80，所以方程有两个不相等的实数根。

四、交流反思

5

1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式

?b?b2?4acx?2a(b2-4ac≥0)．

利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a、b、c的值；(3)算出b2-4ac的值；(4)代入求根公式求根．

2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b2-4ac的值． 3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，对于各

种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．

五、检测反馈

1.应用求根公式解方程：

(1)x2-6x＋1＝0； (2)2x2-x＝6；

(3)4x2-3x-1＝x-2； (4)3x(x-3)＝2(x-1)(x＋1) ． 2.运用适当的方法解下列方程：

(1) (x-1)(x＋3)＝15； (2) 2x2+3＝6x；

2x?(3)

?3?1x?0； (4)(2x+1)2＝2(2x+1)．

?六、布置作业

习题22．2的第4(5)\\(6\\(7)\\(8)，5,6,7,8,9题.

6

1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式

?b?b2?4acx?2a(b2-4ac≥0)．

利用公式法求一元二次方程的解的步骤：(1)化方程为一般式；(2)确定a、b、c的值；(3)算出b2-4ac的值；(4)代入求根公式求根．

2.通过上面的例1和例2，可以发现，在应用求根公式时，一定要先算b2-4ac的值． 3.解一元二次方程的方法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法，对于各

种类型的一元二次方程，可以用不同的方法求解，在具体求解时，应当根据方程的特点，灵活运用各种方法．

五、检测反馈

1.应用求根公式解方程：

(1)x2-6x＋1＝0； (2)2x2-x＝6；

(3)4x2-3x-1＝x-2； (4)3x(x-3)＝2(x-1)(x＋1) ． 2.运用适当的方法解下列方程：

(1) (x-1)(x＋3)＝15； (2) 2x2+3＝6x；

2x?(3)

?3?1x?0； (4)(2x+1)2＝2(2x+1)．

?六、布置作业

习题22．2的第4(5)\\(6\\(7)\\(8)，5,6,7,8,9题.

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