最新高中数学第二章概率5离散型随机变量的均值与方差导学案北师大版选修2 - 32017113035

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§5 离散型随机变量的均值与方差

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1.设随机变量X的可能取值为a1,a2,…,ar,取ai的概率为pi(i=1,2,…,r),即X的分布为 P(X=ai)=pi(i=1,2,…,r).

则定义X的均值为_________________，即随机变量X的取值ai乘上取值ai的概率P（ X=ai）再求和.

X的均值也称作X的数学期望(简称期望),它是一个数,记为_________________,即 EX=_________________.

均值EX刻画的是X取值的“_________________”，均值能够反映随机变量取值的“_________________”，这是随机变量X的一个重要特征.

2.一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用_________________来衡量X与EX的平均偏离

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程度,E(X-EX)是_________________的期望,并称之为随机变量X的方差,记为_________________.方差越小,则随机变量的取值就越_________________在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越_________________. 高手笔记

1.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.

2.EX是一个实数,由X的分布列唯一确定.即作为随机变量X是可变的,可取不同值,而EX是不变的,它描述X取值的平均状态.

3.EX=a1p1+a2p2+…+arpr直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后再相加.

4.∵E(aX+b)=aEX+b,∴随机变量X的线性函数Y=aX+b的期望等于随机变量X的期望的线性函数.此式可有如下几种特殊形式: 当b=0时,E(aX)=aEX，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积.

当a=1时,E(X+b)=EX+b,此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和.

当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的期望等于这个常量.

5.DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之DX越小,X的取值越集中在EX附近.统计中常用DX来描述X的分散程度(DX称为标准差).

6.DX与EX一样也是一个实数,由X的分布列唯一确定.

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7.要注意:D(aX+b)=aDX，而易错记为 D(aX+b)=aDX+b; D(aX+d)=aDX. 名师解惑

1.期望和方差有哪些性质? 剖析：(1)期望的性质: E(c)=c(c为常数),

E(aX+b)=aEX+b. (2)方差的性质: D(c)=0(c为常数),

2

D(aX+b)=aDX.

(3)期望与方差的联系:

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DX=EX-(EX).

2.几个常用离散型随机变量的期望与方差的求解公式是什么？ 剖析：（1）两点分布：设X服从两点分布

X 1 P p

则EX=p,DX=pq.

（2）超几何分布：设X服从参数为N，M,n的超几何分布，

kn?kCMCN?M即P(X=k)=(k=0,1,2,…,l=min｛M,n｝). nCN0 q

则EX=

nMnM(N?M)(N?n),DX=（此公式只作为了解，不要求记忆）. NN2(N?1)（3）二项分布：设X服从二项分布B（n,p）,即 P(X=k)=Cknpq(k=0,1,2, …,n),

kn-k

则EX=np，DX=npq.

讲练互动

【例1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为: 甲保护区:

X1 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2

乙保护区:

X2 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4

试评价这两个保护区的管理水平. 分析：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值大小还是不够的,比如:两个随机变量的均值相等了(即数学期望值相等),这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算其方差(或是标准差).方差大说明随机变量取值分散性大;方差小说明取值分散性小,或者说取值比较集中、稳定. 一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件次数的均值,即数学期望;二是要看发生违规事件的波动情况,即方差值的大小(当然,亦可计算其标准差,同样说明道理). 解：甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差为: EX1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;

2222

DX1=(0-1.3)×0.3+(1-1.3)×0.3+(2-1.3)×0.2+(3-1.3)×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数X2的数学期望和方差为： EX2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;

222

DX2=(0-1.3)×0.1+(1-1.3)×0.5+(2-1.3)×0.4=0.41.

因为EX1=EX2，DX1＞DX2,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散,波动性较大.

绿色通道:期望决定了随机变量的取值的平均水平、集中位置，而方差求的是随机变量的稳定与波动情况.要防止只由期望来评价两者稳定性,而应该进一步考查其方差. 变式训练

1.有10张卡片,其中8张标有数字2,两张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字和为X,求EX和DX.

解：这3张卡片上的数字之和X这一随机变量的可能取值为6,9,12.

C837X=6表示取出的3张卡片上标有2,则P(X=6)=3?.

C10151C82C21X=9表示取出的3张卡片上两张标有2,一张为5,则P(X=9)=. ?315C10X=12表示取出的3张卡片中的两张为5,一张为2,则

12C8C21P(X=12)=. ?315C10∴X的分布列为:

X

P

∴EX=6×

6 9 12

7 157 151 15771+9×+12×=7.8. 151515771222

DX=×(6-7.8)+×(9-7.8)+×(12-7.8)=3.36.

1515152.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X、Y的分布 列为：X 10 9 8 7 6 5 0 P 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0

Y 10 9 8 7 6 5 0 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 计算X、Y的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.

解：依题意,有EX=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环). EY=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环).

22222

DX=(10-8.85)×0.5+(9-8.85)×0.2+(8-8.85)×0.1+…+(5-8.85)×0.05+(0-8.85)×0=2.227 5.

22222

DY=(10-5.6)×0.1+(9-5.6)×0.1+(8-5.6)×0.1+…+(5-5.6)×0.2+(0-5.6)×0.2=10.24.

所以EX＞EY，说明甲的平均水平比乙高.又因为DX＜DY，说明甲射中的环数比较集中、稳定;而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 【例2】交5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样大小的球10个,其中,有8个标1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是抽2球的钱数之和,求抽将人获利的数学期望.

分析：抽到的2个球的钱数之和X是个随机变量,其中每一个X取值时所代表的随机事件的概率是容易获得的,但此题所求为另一个随机变量,即参加摸奖者获利Y的数学期望,X与Y关系为Y=X-5,利用公式Y=aX+b,则EY=aEX+b可获解答. 解:设X为抽到的2球钱数之和.则X的可能取值如下: X=2抽到2个1元;

X=6抽到1个1元,1个5元; X=10抽到2个5元. 所以,由题:

112C8228C8C216C21P(X=2)=2?,P(X=6)=,P(X=10)=, ??2245C1045C10C104528161162+6×+10×=.又设Y为抽奖者获利可能值,则Y=X-5,所以获利的期望454545451627为EY=EX-5=-5=-=-1.4.

455EX=2×

绿色通道:本题若直接求摸奖者获利Y的数学期望较为困难,利用Y=aX+b,及EY=aEX+b转化

为求X的数学期望使问题得到了简化. 变式训练

3.NBA总决赛采用7场4胜制,即若某队先胜4场则比赛结束.由于NBA有特殊的政策和规则能进入决赛的球队实力都较强,因此可以认为,两个队在每一场比赛中取胜的概率相等.根据不完全统计,主办一场决赛,组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2 000万美元(相当于篮球巨星乔丹的年薪).求: (1)所需比赛场数的分布列; (2)组织者收益的数学期望.

解：所需比赛场数X是随机变量,其取值为4,5,6,7,｛X=k｝,k=4,5,6,7,表示比赛最终获胜队在第k场获胜后结束比赛,显然在前面k-1场中获胜3场,从而 P(X=k)=C3k?1(

1k-1

),k=4,5,6,7. 24

5

6

7

(1)分布列为:

X

P

1 81 45 165 16(2)所需比赛场数的数学期望为 EX=4×

93115593+5×+6×+7×=≈6,组织者收益的数学期望为×2 000=11 625万8416161616美元.

【例3】如图,A、B两点之间有6条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4,现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量.

(1)设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为X,当X≥6时,则保证信息畅通,求线路

信息畅通的概率.

(2)求选取的三条网线可通过信息总量的期望是多少.

分析：先分析X的所有可能取值,然后求出X取每一个值的概率,进而列出分布列. 解：X的所有可能取值为4,5,6,7,8,9. 当X=4时，有1+1+2=4,

21C2C21∴P(X=4)=?. 310C6当X=5时，有1+1+3=1+2+2=5,

2112C2C1?C2C23∴P(X=5)=. ?320C6当X=6时，有1+1+4=1+2+3=6,

21111C2C1?C2C2C11∴P(X=6)=?. 34C6当X=7时，有1+2+4=2+2+3=7,

11121C2C2C1?C2C11∴P(X=7)=?. 34C6当X=8时，有1+3+4=2+2+4=8,

11121C2C1C1?C2C13∴P(X=8)=. ?320C6当X=9时，有2+3+4=9,

111C2C1C11∴P（X=9）=. ?310C6X P

4 5 6 7 8 9

1131 44201011313(1)P(X≥6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)=+++=.

4420104131131(2)线路通过信息量的数学期望EX=4×+5×+6×+7×+8×+9×=6.5.

1020442010绿色通道:本题求X的分布列是关键，而求X取每一个值时的概率综合了排列组合的有关知

识.

变式训练

4.一次考试共有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分.”某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求该考生: (1)得60分的概率;

(2)得多少分的可能性最大?

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