七年级数学上册第三章3.4实际问题与一元一次方程第3课时一元一次方程解决比赛问题与分段计费问题素材(1)

3.4 实际问题与一元一次方程

第3课时 体育赛事与一元一次方程

情景导入

置疑导入

归纳导入

复习导入

类比导入

悬念激趣

情景导入 我们来看两张图片(教师出示课件)

图3－4－7

(1)你知道它们蕴含的是我们数学中的什么问题吗？ (2)路程、速度、时间这三个量之间有怎样的等量关系？ [说明与建议] 说明：通过图片的形式揭示生活中蕴含着我们数学的一个常见问题——追及问题，激发学生的好奇心，引起每位同学的兴趣，唤醒学生的思维和问题意识，进而轻松地引入本节所要探讨的主要问题．建议：教学时注意引导学生关注路程公式的变形，让学生熟练掌握路程、速度、时间之间的关系．

复习导入 问题导入：1.若小明每分钟走60米，那么他4分钟能走__240__米．(路

程＝速度×时间)

2．小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为__200__米/分．(速路程度＝)

时间

3．已知小明家距离火车站2400米，他以4米/秒的速度骑车到达车站需要__10__分钟．(时路程间＝)

速度

[说明与建议] 说明：通过几个简单的问题，引入路程、时间、速度概念及其之间的关系，复习了相关知识，同时降低了学生对于此类问题的畏惧感，便于新知识的学习．建议：从基本题目入手，让学生熟悉路程公式，并引导学生对公式灵活变形，为新课学习做好铺垫．

教材母题——教材第112页第5，6题

1．(我国古代问题)跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12

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天，快马几天可以追上慢马？

2．运动场的跑道一圈长400 m．小健练习骑自行车，平均每分骑350 m；小康练习跑步，平均每分跑250 m，两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？ 【模型建立】

行程问题中常见的是追及问题和相遇问题．解决此类问题的关键是：(1)熟悉路程、速度、时间三者的关系；(2)理解相遇问题与追及问题的等量关系．相遇问题：甲的路程＋乙的路程＝甲、乙的距离；追及问题：甲的路程－乙的路程＝甲、乙的距离．

【变式变形】

1．小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小强每秒跑6米． (1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？

(2)如果小彬站在小强前10米处，同时同向起跑，那么几秒后小强追上小彬？ 解：(1)设x秒后相遇，根据题意得：

4x＋6x＝100，解得x＝10.答：10秒后两人相遇． (2)设x秒后小强追上小彬，根据题意得： 6x－4x＝10，解得x＝5. 答：5秒后小强追上小彬．

2．A，B两地相距6千米，甲、乙两人分别从A，B两地出发，甲的速度是8千米/时，乙的速度是6千米/时．

(1)若两人相向而行，甲先出发半小时，乙才出发，问乙出发几小时后与甲相遇？ (2)若两人同时同向出发，甲在后，乙在前，问甲用多少时间可以追上乙？ (3)若两人同时出发，相向而行，经过多长时间两人相距0.4千米？ (4)若两人同时出发，同向而行，经过多长时间两人相距1.8千米？

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解：(1)乙出发x小时后与甲相遇，根据题意得：8×＋8x＋6x＝6，解得：x＝.

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答：乙出发小时后与甲相遇．

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(2)设甲用x小时可以追上乙，根据题意得：8x－6x＝6，解得x＝3.答：甲用3小时可以追上乙．

(3)设经过x小时两人相距0.4千米，根据题意得：8x＋6x＝6－0.4或8x＋6x＝6＋0.4，

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解得：x＝0.4或x＝.答：经过0.4小时或小时两人相距0.4千米．

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(4)设经过x小时两人相距1.8千米，根据题意得：8x－6x＝6－1.8或8x－6x＝6＋1.8.

解得：x＝2.1或x＝3.9.答：经过2.1小时或3.9小时两人相距1.8千米．

3．一架飞机加满油后最多能在空中飞行11小时，飞机在无风时的速度是550千米/时，风速为50千米/时，这架飞机最远飞出多远就应返回？

xx

解：设这架飞机最远飞出x千米就应返回，根据题意得＋＝11，解得x

550＋50550－50＝3000.

答：这架飞机最远飞出3000千米就应返回．

[命题角度1] 胜、负、平积分问题

本类题一般题意会明确胜、负、平某类情况的场次，关键是通过设未知数找到另两类型

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之间的关系，而后根据题意求解． 例 某中学七年级举行足球赛，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，七年级(九)班在比赛中共积16分，其中胜的场数与平的场数相同，负的场数比胜的场数多1场，问七年级(九)班在比赛中共负了多少场？

解：设胜了x场，同样平了也是x场，负了(x＋1)场．依题意可得3x＋x＝16，x＝4. 所以x＋1＝5.

答：七年级(九)班比赛中共负了5场． [命题角度2] 环形跑道问题

环形跑道问题类似于直线跑道，也涉及同向与反向，同向是追及，反向是相遇． 例 [雅安中考] 甲、乙二人在一环形跑道上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形跑道的长．

解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，根据题意，得2.5x×4－4x＝4x＋300，解得x＝150.

∴2.5x＝2.5×150＝375，4x＋300＝4×150＋300＝900.

答：甲、乙二人的速度分别为375米/分、150米/分，环形跑道的长为900米． [命题角度3] 相遇、追及问题

路程问题包括相遇与追及，解决此类问题关键是抓住等量关系．相遇问题：甲的路程＋乙的路程＝甲、乙之间的距离，追及问题：甲的路程－乙的路程＝甲、乙之间的距离．借助线段图分析此类问题，可以化繁为简，便于解决．

例 A，B两地相距200千米，甲、乙两车分别从A，B两地出发，甲的速度为60千米/时，乙的速度为40千米/时．

(1)如果甲、乙相向而行，甲先行50千米，乙再出发，问：乙出发几小时后与甲相遇？ (2)如果甲、乙同向而行，甲在后，乙在前，乙先行驶两小时，甲再出发，问乙在距离B地多远处被甲追上？

解：(1)乙出发x小时后与甲相遇，根据题意得： 50＋40x＋60x＝200，

解得x＝1.5.答：乙出发1.5小时后与甲相遇． (2)设甲出发x小时后追上乙，根据题意得： 60x－40x＝200＋40×2， 解得x＝14.

∴40×(14＋2)＝640(千米)．

答：乙在距离B地640千米处被甲追上．

[教材习题答案]详见光盘内容

[当堂检测]

1. 足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一队打14场，负5场，共得19分，那么这个队共胜了（ ） A．6场 B．5场 C．4场 D．3场

2. 一份数学试卷，只有25个选择题，做对一题得4分，做错一题倒扣1分，某同学做了全

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部试卷，得了70分，他一共做对了（ ） A．17道 B．18道 C．19道 D．20道

3. 小聪从家到学校，如果每分钟走100米，就会迟到3分钟；如果每分钟走150米，就会早到3

分钟，问小聪每分钟走多少米才能按时到校？

参考答案： 1. B 2. C

3. 解：设小聪按时到校要分钟，则根据题意可列方程：

.

解得：x=15,

100（15+3）÷15=120

答：小聪每分钟应该走120米

如何列一元一次方程解行程类应用问题

所谓行程类应用问题是指与路程、速度、时间这三个量有关的应用问题.在列出一元一次方程解这类应用题时，我们常用的公式是：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度.

当考虑两人或两个物体运动时，就有“相向”、“同向”、“背向”这三种情况.“相向而行”是指两者面对面地行进，其距离越来越近；“同向而行”是指两者的运动方向相同；“背向而行”是指两者背对背行进。如果两人或两个物体相向而行，到一定时间就会相遇；相遇后仍按原方向行进，就会变成背向而行。总之，相向而行与背向而行，其运动方向都是

?方向相同?同向?相反的，所以我们可作如下分类：两人（物体）运动??相向，如果运动路线不

方向相反???背向?是直线，而是一个圆圈（比如我们在操场上进行环形赛跑），情况就要复杂一些.这时两人（或

物体）如果面对面跑，那么也就是背对背跑，这两人（或物体）的距离会有“增加——减少——增加——减少——增加……”的现象；如果不是面对面跑，而是同向跑，那么速度快的，就会比速度慢的先多跑1圈，然后多跑2圈，3圈，…….这两人（或物体）的距离也会有“增加——减少——增加——减少——增加……”的现象.对于这些情况，只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下，就可以明白.

在行程问题中还有一类顺逆航行的问题.如果航行的工具是轮船，那么常用的相等关系是：顺水速度=静水速度＋水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度.

如果航行的工具是飞机，那么常用的相等关系是：顺风速度＝无风时飞机速度＋风速；逆风速度＝无风时飞机速度－风速.

例1 一条环形跑道长400米.甲练习骑自行车，平均每分钟行驶550米；乙练习长跑，平均每分钟跑250米.两人同时、同地、同向出发，经过多少时间，两人首次相遇？

分析 本题是行程问题的追及问题.它有两个相等关系：甲的路程－乙的路程＝环形跑道－圆的周长；甲用的时间=乙用的时间.

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