山西省太原市2016年中考数学模拟冲刺试卷（一）（解析版） 人教版

山西省太原市2016年中考数学模拟冲刺试卷（一）(解析版)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入下表相应的空格内） 1．﹣的倒数是（ ） A．

B．﹣ C．﹣ D．

2．下列各式化简结果为无理数的是（ ） A．

B．

C．

D．

3．以下是期中考试后，班里两位同学的对话： 小晖：我们小组成绩是85分的人最多；

小聪：我们小组7位同学成绩排在最中间的恰好也是85分 以上两位同学的对话反映出的统计量是（ ） A．众数和方差

B．平均数和中位数

C．众数和平均数 D．众数和中位数 4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A．

B． C． D．

5．为解方程x4﹣5x2+4=0，我们可设x2=y，则x4=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0．解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2=1，所以x=±1；当y=4时，x2=4，所以x=±2．故原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．以上解题方法主要体现的数学思想是（ ） A．数形结合 B．换元与降次

C．消元 D．公理化

6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）

A．22.5° B．25° C．23° D．20°

7．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=（ ）

A．25° B．30° C．35° D．45°

8．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B、C、D的坐标分别为B（5，0）、C（1，2）、D（2，0），则点A的坐标是（ ）

A．（2.5，5） B．（2.5，3） C．（3，5） D．（2.5，4）

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上一点，且BE=1，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路程长x之间的函数关系用图象表示应为（ ）

A． B． C． D．

10．如图，等边△OAB的边长为2，点B在x轴上，点A在双曲线y=（k≠0）上，将△OAB绕点O顺时针旋转α度（0＜α＜360°），使点A仍落在双曲线y=（k≠0）上，则α的值不可能是（ ）

A．30

B．180 C．200 D．210

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算|﹣3|﹣（﹣2）= ．

12．请写出一个图象经过点（﹣1，2），并且在第二象限内函数值随着自变量的增大而增大的函数的表达式： ．

13．如图，某工厂师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为 ．

14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在

上的点D处，折痕交OA于点C，则

的长等于 ．（结果保留π）

15．下面是一种利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1～图4四个算图所示的规律，可知图5所表示的算式为 ．

16．小明和小亮正在按以下三步做游戏：

第一步：两人同时伸出一只手，小明出“剪刀”，小亮出“布”； 第二步：两人再同时伸出另一只手，小明出“石头”，小亮出“剪刀”；

第三步：两人同时随机撤去一只手，并按下述约定判定胜负：在两人各留下的一只手中，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，“石头”胜“剪刀”，同种手势部分胜负． 则小亮获胜的概率为 ．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解不等式组

．

18．先化简，再任选一个适当的整数代入求值．

19．B，C的“矩面积”，“水平底”a：在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）． （1）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标； （2）直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．

20．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，

结果取整数，其中=1.732， =4.583）

21．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．

（1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 144 °． （2）请你将图2的统计图补充完整；

（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．

（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？

22．Rt△OAB的顶点B在x轴的正半轴上，OB=3，如图，在平面直角坐标系中，已知∠OBA=90°，sin∠AOB=．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点C（m，2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，则在x轴上是否存在点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

23．如图，CB是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，CN⊥AF于点N，BG⊥AF于点G，连接AB交CN于点M．

（1）写出与点B有关的三条不同类型的结论．若AG=3FG，求tanA的值．

24．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．如图，矩形纸片ABCD中，AB=下操作（每次折叠后均展开）．

，BC=．某课题小组利用这张矩形纸片依次进行如

如图①，第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交与点O1，设O1D的中点为D1；如图②，第二次将纸片折叠，使点B与点D1重合，折痕与BD交与点O2，设O2D3的中点为D2；

如图③，第三次将纸片折叠，使点B与点D2重合，折痕与BD交与点O3，设O3D2的中点为D3； …

根据以上操作结果，回答下列问题：

（1）如图①，MN是折痕，求证：△DA′M≌△DCN；

（2）分别求出线段BO1、BO2、BO3的长，并直接写出第n次折叠后BOn的长（用含n的式子表示）；

（3）如图②，第二次折叠时，折痕一定会经过点A吗？请通过计算判断．

山西省太原市2016年中考数学模拟冲刺试卷（一）(解析版)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母号填入下表相应的空格内） 1．﹣的倒数是（ ） A．

B．﹣ C．﹣ D．

【考点】倒数．

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案． 【解答】解：﹣的倒数是﹣， 故选：B．

【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数倒数的关键．

2．下列各式化简结果为无理数的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】立方根；算术平方根；零指数幂． 【分析】先将各选项化简，然后再判断． 【解答】解：A、B、（C、D、故选：C．

【点评】本题考查了无理数、立方根及零指数幂的知识，属于基础题．

3．以下是期中考试后，班里两位同学的对话： 小晖：我们小组成绩是85分的人最多；

小聪：我们小组7位同学成绩排在最中间的恰好也是85分 以上两位同学的对话反映出的统计量是（ ） A．众数和方差

B．平均数和中位数

=2

=﹣3，是有理数，故A选项错误；

﹣1）0=1，是有理数，故B选项错误； ，是无理数，故C选项正确； =2，是有理数，故D选项错误；

C．众数和平均数 D．众数和中位数

【考点】统计量的选择．

【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．

【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数， 故选D．

【点评】本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小．

4．如图所示的几何体的俯视图是（ ）

A． B． C．D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中并且注意虚线和实线的不同．

【解答】解：从上往下看，易得一个正方形，其中右半部分一道实线， 如图所示：

故选C．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

5．为解方程x4﹣5x2+4=0，我们可设x2=y，则x4=y2，原方程可化为y2﹣5y+4=0．解得y1=1，y2=4，当y=1时，x2=1，所以x=±1；当y=4时，x2=4，所以x=±2．故原方程的解为x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．以上解题方法主要体现的数学思想是（ ） A．数形结合 B．换元与降次

C．消元 D．公理化

【考点】换元法解一元二次方程．

【分析】根据把x4换为y2，体现了换元的数学思想，把一元四次方程x4﹣5x2+4=0，变为一元二次方程y2﹣5y+4=0，又体现了降次的数学思想．

【解答】解：本题体现了两个重要的数学数学，换元和将次的数学思想， 故选B．

【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，掌握高次方程的解法是换元和将次是解题的关键．

6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）

A．22.5° B．25° C．23° D．20° 【考点】正方形的性质．

【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=∠BCA=45°； △ACE中，AC=AE，则：

∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°； ∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°． 故选A．

【点评】此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．

7．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=（ ）

A．25° B．30° C．35° D．45°

【考点】平行线的性质；等边三角形的性质．

【分析】先根据∠1=25°得出∠3的度数，再由△ABC是等边三角形得出∠4的度数，根据平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°， ∴∠1=∠3=25°． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∴∠4=60°﹣25°=35°， ∴∠2=∠4=35°． 故选C．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

8．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B、C、D的坐标分别为B（5，0）、C（1，2）、D（2，0），则点A的坐标是（ ）

A．（2.5，5） B．（2.5，3） C．（3，5） D．（2.5，4） 【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系． 【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB， 且B（5，0）、D（2，0）， ∴

=，

∵C（1，2）， ∴A（2.5，5）． 故选：A．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E是BC边上一点，且BE=1，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路程长x之间的函数关系用图象表示应为（ ）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】将点P的运动路程长x分成0＜x≤3，3＜x≤5，5＜x≤7三种情况结合图形求解，利用排除法就可以得出解答．

【解答】解：当0＜x≤3时，点P在AD上运动，如图所示

y=×2×x=x，当x=3时，y=3，故D错误；

当3＜x≤5时，点P在DC上运动，如图所示

y=S梯形AECD﹣S△PEC﹣S△ADP=（3+2）×2﹣×3×（x﹣3）﹣×2×（5﹣x）=当x=5时，y=2，故B错误；

x+

当5＜x≤7，点P在CE上运动，如图所示

y=S△AEP=×2×（5﹣x）=5﹣x，故C错误； 故答案为：A

【点评】本题考查的是函数的图象与几何变换，动点问题函数图象，随着动点的变化，面积也发生着变化，得出它们之间的函数关系并反映在函数图象上，解题的关键是要根据自变量的取值范围进行分类讨论．

10．如图，等边△OAB的边长为2，点B在x轴上，点A在双曲线y=（k≠0）上，将△OAB绕点O顺时针旋转α度（0＜α＜360°），使点A仍落在双曲线y=（k≠0）上，则α的值不可能是（ ）

A．30 B．180 C．200 D．210

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质找出点A的坐标，由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数系数k的值，由此即可得出反比例函数的解析式．根据旋转的性质找出旋转后的点A的坐标，再验证旋转后点A的坐标是否在反比例函数图象上，由此即可得出结论．

【解答】解：∵等边△OAB的边长为2，点B在x轴上， ∴点A的坐标为（1，

），

∵点A在双曲线y=（k≠0）上， ∴k=1×

=

．

，

A、当α=30°时，点A的横坐标为2cos（60°﹣30°）=点A的纵坐标为2sin（60°﹣30°）=1． ∵

×1=

，

∴顺时针旋转30°时，点A在反比例函数图象上； B、当α=180°，点A的坐标为（﹣1，﹣∵﹣1×（﹣

）=

，

），

∴顺时针旋转180°时，点A在反比例函数图象上； D、结合A、B可知：

顺时针旋转210°时，点A在反比例函数图象上； 故选C．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及旋转的性质，解题的关键是求出反比例函数的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数的系数k是关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算|﹣3|﹣（﹣2）= 5 ． 【考点】有理数的减法；绝对值．

【分析】根据绝对值的性质，有理数减法，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．

【解答】解：|﹣3|﹣（﹣2）， =3+2， =5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．

12．请写出一个图象经过点（﹣1，2），并且在第二象限内函数值随着自变量的增大而增大的函数的表达式： y=﹣（答案不唯一） ．

【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．

【分析】首先根据增减性确定函数的类型，然后点已知点的坐标代入求得解析式即可． 【解答】解：∵第二象限内函数值随着自变量的增大而增大， ∴设反比例函数的解析式为y=，

∵经过点（﹣1，2），

∴反比例函数的解析式为y=﹣， 故答案为：y=﹣（答案不唯一）．

【点评】考查了反比例函数的性质，能够根据其在某一象限内的增减性确定函数的类型是解答本题的关键，难度不大．

13．如图，某工厂师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为 2m2 ．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程求解即可．

【解答】解：设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为（x﹣1）m， 根据题意得：x（2x﹣1）=15，

解得：x1=3，x2=﹣（不合题意舍去）， 小正方形的边长为（x﹣1）=3﹣1=2，

裁剪后剩下的阴影部分的面积=15﹣22﹣32=2（m2）， 答：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2． 故答案为：2m2．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够根据小正方形的边长表示出大正方形的边长，难度不大．

14．如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在

上的点D处，折痕交OA于点C，则

的长等于 5π ．（结果保留π）

【考点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）．

【分析】先证明△ODB是等边三角形，得到∠DOB=60°，根据弧长公式即可解决问题． 【解答】解：连结OD， ∵△BCD是由△BCO翻折得到， ∴∠CBD=∠CBO，∠BOD=∠BDO， ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠OBD， ∴∠ODB=2∠DBC， ∵∠ODB+∠DBC=90°， ∴∠ODB=60°， ∵OD=OB

∴△ODB是等边三角形， ∴∠DOB=60°， ∵∠AOB=110°，

∴∠AOD=∠AOB﹣∠DOB=50°， ∴弧AD的长=故答案为：5π．

=5π．

【点评】本题考查翻折变换、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是等边三角形的发现，属于中考常考题型．

15．下面是一种利用图形计算正整数乘法的方法，请根据图1～图4四个算图所示的规律，可知图5所表示的算式为 321×123=39483 ．

【考点】规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类．

【分析】由图形可知：图1中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为11，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即11×11=121；图2中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为11，它们为两个因数，即21×11=231；图3中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为21，右下方的两组交点个数逆时针排列为12，它们为两个因数，即21×12=252；图4中标的数字的个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的两组交点个数逆时针排列为31，右下方的两组交点个数逆时针排列为21，它们为两个因数，即31×12=372；由此得出图5中标的数字个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的三组交点个数逆时针排列为321，右下方的三组交点个数逆时针排列为123，它们为两个因数，即321×123=39483．

【解答】解：图5中标的数字个位逆时针顺序排列正是结果，左下方的三组交点个数逆时针 排列为321，右下方的三组交点个数逆时针排列为123，它们为两个因数，即321×123=39483．故答案为：321×123=39483．

【点评】此题考查了图形的变化规律，关键在于认真正确的对每个图形进行分析归纳规律，得出规律解决问题．

16．小明和小亮正在按以下三步做游戏：

第一步：两人同时伸出一只手，小明出“剪刀”，小亮出“布”； 第二步：两人再同时伸出另一只手，小明出“石头”，小亮出“剪刀”；

第三步：两人同时随机撤去一只手，并按下述约定判定胜负：在两人各留下的一只手中，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，“石头”胜“剪刀”，同种手势部分胜负． 则小亮获胜的概率为

．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，小亮获胜的有1种情况， ∴小亮获胜的概率为， 故答案为：．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，根据规则找到获胜情况是关键．

三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解不等式组

．

【考点】解一元一次不等式组．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：

，由①得，x＜4，由②得，x＞﹣3，

故不等式组的解集为：﹣3＜x＜4．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键． 18．先化简

【考点】分式的化简求值．

，再任选一个适当的整数代入求值．

【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式=有意义的条件取x=2代入计算即可． 【解答】解：原式=

÷

，再根据分式

=

=，

=3．

当x=2时，原式=

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

19．B，C的“矩面积”，“水平底”a：在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．已知点A（1，2），B（﹣3，1），P（0，t）． （1）若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标； （2）直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值． 【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．

【分析】（1）求出“水平底”a的值，再分t＞2和t＜1两种情况求出“铅垂高”h，然后表示出“矩面积”列出方程求解即可；

（2）根据a一定，h最小时的“矩面积”最小解答． 【解答】解：（1）由题意：“水平底”a=1﹣（﹣3）=4， 当t＞2时，h=t﹣1， 则4（t﹣1）=12， 解得t=4，

故点P的坐标为（0，4）； 当t＜1时，h=2﹣t， 则4（2﹣t）=12，

解得t=﹣1，

故点P的坐标为（0，﹣1），

所以，点P的坐标为（0，4）或（0，﹣1）；

（2）∵a=4，

∴t=1或2时，“铅垂高”h最小为1，

此时，A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，读懂题目信息，理解“水平底”a、“铅垂高”h、“矩面积”的定义是解题的关键．

20．如图，书桌上的一种新型台历和一块主板AB、一个架板AC和环扣（不计宽度，记为点A）组成，其侧面示意图为△ABC，测得AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm，现为了书写记事方便，须调整台历的摆放，移动点C至C′，当∠C′=30°时，求移动的距离即CC′的长（或用计算器计算，结果取整数，其中

=1.732，

=4.583）

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D，先在△ABC中，由勾股定理求出BC=3cm，再解Rt△A′DC′，得出A′D=2cm，C′D=2

cm，在Rt△A′DB中，由勾股定理求出BD=

cm，然后根据

CC′=C′D+BD﹣BC，将数据代入，即可求出CC′的长． 【解答】解：过点A′作A′D⊥BC′，垂足为D． 在△ABC中，∵AC⊥BC，AB=5cm，AC=4cm， ∴BC=3cm．

当动点C移动至C′时，A′C′=AC=4cm． 在△A′DC′中，∵∠C′=30°，∠A′DC′=90°， ∴A′D=A′C′=2cm，C′D=

A′D=2

cm．

在△A′DB中，∵∠A′DB=90°，A′B=5cm，A′D=2cm，

∴BD=

∴CC′=C′D+BD﹣BC=2∵

=1.732，

+

=cm， ﹣3，

=4.583，

∴CC′=2×1.732+4.583﹣3≈5． 故移动的距离即CC′的长约为5cm．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，难度适中，关键是把实际问题转化为数学问题加以计算．

21．甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．

（1）在图1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 144 °． （2）请你将图2的统计图补充完整；

（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．

（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？

【考点】扇形统计图；条形统计图；算术平均数；中位数． 【分析】（1）根据扇形统计图中所标的圆心角的度数进行计算；

（2）根据10分所占的百分比是90°÷360°=25%计算总人数，再进一步求得8分的人数，即可补全条形统计图；

（3）根据乙校人数得到甲校人数，再进一步求得其9分的人数，从而求得平均数和中位数，并进行综合分析；

（4）观察两校的高分人数进行分析． 【解答】解：（1）利用扇形图可以得出：

“7分”所在扇形的圆心角=360°﹣90°﹣72°﹣54°=144°；

（2）利用扇形图：10分所占的百分比是90°÷360°=25%， 则总人数为：5÷25%=20（人）， 得8分的人数为：20×如图；

（3）根据乙校的总人数，知甲校得9分的人数是20﹣8﹣11=1（人）． 甲校的平均分：（7×11+9+80）÷20=8.3分； 中位数为7分．

由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断， 乙校的成绩较好．

（4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得

（10分）的有8人，而乙校得（10分）的只有5人，所以应选甲校．

=3（人）．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 理解中位数和众数的概念．

22．Rt△OAB的顶点B在x轴的正半轴上，OB=3，如图，在平面直角坐标系中，已知∠OBA=90°，sin∠AOB=．反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点C（m，2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，则在x轴上是否存在点P，使得PA+PC最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；轴对称-最短路线问题．

【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）首先求得点A关于x轴的对称点的坐标，然后求得直线A′C的解析式后求得其与x轴的交点即可求得点P的坐标．

【解答】解：（1）∵∠OBA=90°，sin∠AOB=，可设AB=4a，OA=5a， ∴OB═∴a=1， ∴AB=4，

∴点A的坐标为（3，4），

=3a，又OB=3，

∵点A在其图象上， ∴4=， ∴k=12；

∴反比例函数的解析式为y=

（2）在x轴上存在点P，使得PA+PC最小．理由如下： ∵点C（m，2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，k=12， ∴2=

，

；

∴m=6，即点C的坐标为（6，2）；

作点A（3，4）关于x轴的对称点A′（3，﹣4），如图，连结A′C． 设直线A'C的解析式为：y=kx+b， ∵A′（3，﹣4）与（6，2）在其图象上， ∴

，解得

，

∴直线A'C的解析式为：y=2x﹣10， 令y=0，解得x=5，

∴P（5，0）可使PA+PC最小．

【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数定义，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题．正确求出解析式是解题的关键．

23．如图，CB是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，CN⊥AF于点N，BG⊥AF于点G，连接AB交CN于点M．

（1）写出与点B有关的三条不同类型的结论．若AG=3FG，求tanA的值．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）由切线的性质和圆的性质即可得出结论；

（2）连接OB，由AG=3FG，推出FG=OG=OF，得到OG=OB，根据直角三角形的性质得到∠GBO=30°，即可求得∠A=

=30°，于是得到结果．

【解答】解：（1）与点B有关的结论：OB⊥BC，AB⊥BF，OA=OB，BC=CM；

（2）如图，连接OB， ∵AG=3FG， ∴FG=OG=OF， ∴OG=OB， ∵BG⊥AF， ∴∠GBO=30°，

∴∠BOG=60°，∵OB=OA， ∴∠A=∴tan∠A=

=30°， ．

【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，熟记直角三角形的性质是解题的关键．

24．如图，Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．

（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据旋转的性质可求出C的坐标和A的坐标，又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，求出a和b的值即可求出该抛物线的解析式；

（2）四边形PEFM的周长有最大值，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10，利用函数的性质即可求出四边形PEFM的周长的最大值；

（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，由（1）可求出抛物线的顶点坐标，过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交点坐标．

【解答】解：（1）因为OA=4，AB=2，把△AOB绕点O逆时针旋转90°， 可以确定点C的坐标为（2，4）；由图可知点A的坐标为（4，0）， 又因为抛物线经过原点，故设y=ax2+bx把（2，4），（4，0）代入，

得解得

，

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；

（2）四边形PEFM的周长有最大值，理由如下：

由题意，如图所示，设点P的坐标为P（a，﹣a2+4a）则由抛物线的对称性知OE=AF， ∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，

则矩形PEFM的周长L=2[4﹣2a+（﹣a2+4a）]=﹣2（a﹣1）2+10， ∴当a=1时，矩形PEFM的周长有最大值，Lmax=10；

（3）在抛物线上存在点N，使O（原点）、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形，理由如下：

∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4可知顶点坐标（2，4），

∴知道C点正好是顶点坐标，知道C点到x轴的距离为4个单位长度，

过点C作x轴的平行线，与x轴没有其它交点，过y=﹣4作x轴的平行线，与抛物线有两个交点，

这两个交点为所求的N点坐标所以有﹣x2+4x=﹣4 解得x1=2+∴N点坐标为N1（2+

，﹣4），N2（2﹣

，﹣4）．

，x2=2﹣

【点评】本题考查了旋转的性质、利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的最大值问题和函数图象的交点问题，题目的综合性很强，对学生的综合解题能力要求很高．

25．如图，矩形纸片ABCD中，AB=下操作（每次折叠后均展开）．

，BC=．某课题小组利用这张矩形纸片依次进行如

如图①，第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交与点O1，设O1D的中点为D1；如图②，第二次将纸片折叠，使点B与点D1重合，折痕与BD交与点O2，设O2D3的中点为D2；

如图③，第三次将纸片折叠，使点B与点D2重合，折痕与BD交与点O3，设O3D2的中点为D3； …

根据以上操作结果，回答下列问题：

（1）如图①，MN是折痕，求证：△DA′M≌△DCN；

（2）分别求出线段BO1、BO2、BO3的长，并直接写出第n次折叠后BOn的长（用含n的式子表示）；

（3）如图②，第二次折叠时，折痕一定会经过点A吗？请通过计算判断．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）首先证明DM=DN，再根据AAS即可判断． （2）根据题意求出BO1、BO2、BO3，寻找规律后即可解决问题．

（3）结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A．作AE⊥BD垂足为E，求出BE的长，证明点E与点O2重合即可．

【解答】（1）证明：如图①中，

∵四边形MNDA′是由四边形MNBA翻折得到，

∴∠ABN=∠A′DN=90°，∠BNM=∠MND， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ADC=90°， ∴∠BNM=∠DMN=∠DNM， ∴DM=DN， ∵∠A′DN=∠ADC， ∴∠A′DM=∠NDC， 在△DA′M和△DCN中，

，

∴△DMA′≌△DNC．

（2）如图③中，

，

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=90°，AB=CD=∴BD=

=

，BC=AD==4，

，

∵BO1=O1D=BD=2=

，

BO2=BD1==

，

BO3=BD2==… BOn=

．

，

（3）如图②中，结论：第二次折叠时，折痕一定会经过点A． 理由：作AE⊥BD垂足为E．

∵∠AEB=∠BAD=90°，∠ABE=∠BAD， ∴△ABE∽△DBA， ∴∴

==

， ，

∴BE=， ∵BO2=，

∴点E与点O2重合，

∴第二次折叠时，折痕一定会经过点A．

【点评】本题考查四边形的综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/22r5.html