定积分的应用练习题

题型

1. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2. 由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积

内容

一．微元法及其应用 二．平面图形的面积

1.直角坐标系下图形的面积

2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积

1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积

四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用

1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用

题型

题型I微元法的应用

题型II求平面图形的面积

题型III求立体的体积

题型IV定积分在经济上的应用 题型V定积分在物理上的应用

自测题六

解答题

4月25日定积分的应用练习题

一．填空题

1. 求由抛物线线y?x2?2x，直线x?1和x轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线x?y?4y,x?2y及直线y?4 所围成图形的面积为 4.曲线y?22x?13x相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 35. 双纽线r2?为 ． 6.椭圆?3sin2?相应于??2????2上的一段弧所围成的图形面积

?x?acost?1(a?0,b?0)所围成的图形的面积为

?y?bsint?1二．选择题

1. 由曲线y?x,x?y所围成的平面图形的面积为（ ） A．

221213 B． C． D． 33222. 心形线r?a(1?cos?)相应于??x?2?的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）

A．

3?23?23?2a B． a C． a D． 3?a2 248ex?e?x3. 曲线y?相应于区间[0,a]上的一段弧线的长度为 （ ）

2

ea?e?aea?e?aea?e?aea?e?a?1 D．?1 A． B． C．

22224. 由曲线y?ex,x?0,y?2所围成的曲边梯形的面积为（ ）。

A.lnydy B.

1?2?e20edy C.lnydy D.

1x?ln2??2?e?dx

2x1三．解答题

x21. 求曲线y?2x,xy?2,y?所围成的平面图像的面积.

4

2. 求C的值（0＜C＜1＝，使两曲线y?x2与y?Cx3所围成图形的面积为

3. 已知曲线x?ky2(k?0)与直线y??x所围图形的面积为

4. 求a的值，使曲线y?a(1?x2)(a?0)与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的平面图形的面积最小．

5.在第一象限内求曲线y??x2?1上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积最小，并求此最小面积

2 39，试求k的值． 48y2x2?1与?y2?1所围公共图形的面积 6. 求椭圆x?332

7.求由下列各平面图形的面积：

（1）r?2acos? （2）r?2sin?与r?1的公共部分 （3）r?3(1?cos?) （4）r?2sin?与r2?cos2?的公共部分

8. 求由下列曲线所围区域的面积:(②,③,④图应补全)

y 0 图7.1-4④ x

y y1

y 1 0 ax0 图7.1-4② ①内摆线

图7.1-4x

0 图7.1-4③ 1 x x?acos3t,y?asin3t(a?0); ②

x?t?t3,y?1?t4;

③x?cos4t,y?sin4t,t??0,

4月26日定积分的应用练习题

基础题：

1. 由曲线y?sinx和它在x????223; ④. x?2t?t,y?2t?t??2??2处的切线以及直线x??所围成的图形的面积是

__________,以及它绕x轴旋转而成的旋转体的体积为__________ 2. 星形线x?acost，y?asin3t的全长为________

3. 由抛物线y?x2及y2?x所围成图形的面积，并求该图形绕x轴旋转所成旋转体的体

积为__________

32?x?1?3被抛物线y2?x截得的一段弧的长度为__________ 3325. 求抛物线y?2x?x与x轴所围成的图形绕y轴旋转所成的旋转体体积为___________

4. 半立方抛物线y?26. 由y?x,x?2,y?0所围成的图形，分别绕x轴及y轴旋转，计算所得两个旋转体的体积分别为

______________

37.由曲线x?（ ）

y,x?4和x轴所围成的平面图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为

A． 16? B． 32? C． 8? D． 4?

ex?e?x8. 曲线y?相应于区间[0,a]上的一段弧线的长度为 （ ）

2ea?e?aea?e?aea?e?aea?e?a?1 D．?1 A． B． C．

22229． 水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m，高为3m，水面超过门顶2m，则闸门上所受水的压力为（ ）

A． 245kN B． 245N C． 205．8N D． 205．8kN 10．（.1）由曲线y?x2,y? x所围成的图形绕x轴旋转生成的旋转体的体积为 ．

（2）由双曲线y?1和直线x??e,x??1与x轴围成的平面图形绕y轴旋转生成的旋x13x相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 ． 3转体的体积为 ．

（3）曲线y?x? (4) 曲线x2?(y?5)2?16绕x轴旋转所得旋转体的体积为 ． 11. 如右图，阴影部分面积为（ ） A．?a[f(x)?g(x)]dx

cbb

B．?a[g(x)?f(x)]dx??c[f(x)?g(x)]dx C．?a[f(x)?g(x)]dx??c[g(x)?f(x)]dx D．?a[g(x)?f(x)]dx

12.如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，

记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．

13. 求曲线y?bbb

x?0?x?4?上的一条切线，使此切线与直线x?0， x?4以及曲线

y?x所围成的平面图形的面积最小

14. 曲线y?2?2x2和y?1?x2围成一平面图形．求 (1)该平面图形的面积．

(2)将该平面分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积． 15. 求曲线??x?a(cost?tsint)(0?t?2?)的弧长

?y?a(sint?tcost)16. 一截面为等要梯形的贮水池，上底宽6m,下底宽4m，深2m，长8m．要把满池水全部抽到距水池上方20m的水塔中，问需要做多少功？

17. 有一立体以抛物线y2?2x与直线x?2所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形，求其体积。

2Dy?2x118．设是由抛物线和直线x?a,y?0所围成的平面区域，D2是由抛物线

y?2x2和直线x?a,x?2及y?0所围成的平面区域，其中0?a?2.试求：

（1）D1绕

y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2.

（2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等.

22y?2xy?x19．设平面图形由曲线，与直线x?1所围成.

（1）求该平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

（2）求常数a，使直线x?a将该平面图形分成面积相等的两部分.

20．设由抛物线y?x2(x?0)，直线y?a2(0?a?1)与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V1(a)，由抛物线y?x2(x?0)，直线y?a2(0?a?1)与直线x?1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为V2(a)，另

V(a)?V1(a)?V2(a)，试求常数a的值，使V(a)取得最小值。

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