2017届芷兰实验学校高一数学竞赛试卷

2015年常德芷兰实验学校高一数学竞赛试卷(2015年4月25日)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是 A．2.7

B．?2.7

2C．3

B等于

D．?0.3

2．设集合A?{x|log1(x?1)??2}，B?{x|2x?x?1}，则A2 A．{x|x?0或1?x?3} C．{x|?1?x?0或1?x?3}

3．已知sin??sin?，则?与?的关系是 A．???或????? C．??(2k?1)???,k?Z

???4．下列函数中在区间?0,?上单调递增的是

?4?B．{x|x?3} D．{x|0?x?1}

B．??2k???,k?Z D．??k??(?1)k?,k?Z

????1? A．y?log2?sin?x????

6?2???????1?B．y?log2?sin?2x????

6?2??????D．y?sin3??x?

?6??y??1? C．y?sin?2x??? 6?2?5．若?sin50????tan50????sin50??xx??tan50??则

?y A．x?y?0 B．x?y?0 C．x?y?0 D．x?y?0

6．函数f(x)?ln|x?1|?x?3的零点个数为 A．0

B．1

C．2

D．3

7．记O为坐标原点，已知向量OA?(3,2)，OB?(0,?2)，又有点C，满足AC?则?ABC的取值范围为

5， 2第1页

??? A．?0，?

?6????B．?0，?

?3????C．?0，?

?2?????D．?，?

?63?8．已知k?Z，AC?(2,2)，AB?(k,2)，AB?5，则使?ABC是钝角三角形的k的值有 A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

9．设S?x2?2xy?2y2?2x?1，其中x?R,y?R，则S的最小值为 A．1

B．?1

3C．?

4D．0

10．点Q在x轴上，若存在过Q的直线交函数y?2x的图象于A,B两点，满足QA?AB，则称 点Q为“幸运点”，那么下列结论中正确的是 A．x轴上仅有有限个点是“幸运点”； B．x轴上所有的点都是“幸运点”； C．x轴上所有的点都不是“幸运点”；

D．x轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“幸运点”． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．函数y＝3cos(ωx＋φ) (ω>0，－π<φ<0)为奇函数，A，B分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且|AB|＝4，则该函数的对称轴方程为 12．已知锐角A，B满足2tan A＝tan(A＋B)，则tan B的最大值为 13．函数f(x)?3[sinx]的值域是 （其中[x]表示不超过实数x的最大整数） fx）+（f4?x）=0与 14. 已知定义域为R的函数y?f(x)对任意x?R都满足条件：（f（x?2）?f（x?2）=0，则对函数y?f(x)，给出下列结论：①y?f(x)是奇函数；

②y?f(x)是偶函数；③y?f(x)是周期函数；④y?f(x)的图象是轴对称的．其中必 定正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）

15．若n为整数，关于x的方程(x?2015)(x?n)2015?1?0有整数根，则n?

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三、解答题：本大题共3小题，共45分．

???16．（满分15分）已知函数f(x)?sin2x?23sinxcosx?sin?x??sin4??⑴求f(x)的最小正周期和f(x)的值域；

????x??．

4??????⑵若x?x0?0?x0??为f(x)的一个零点，求f(x0?)的值．

2?12?

17．（满分15分）在?ABC中， a，b，c分别是三内角A，B，C的对边， 且(2a－c)cosB－bcosC＝0. (1)求角B的值；

(2)若b＝3，设角A的大小为x，?ABC的周长为y，求y＝f (x)的最大值．

18．（满分15分）设P为曲线C1上任意一点，Q为曲线C2上任意一点。定义P、Q两点间的距离PQ的最小值为曲线C1与C2间的距离。已知曲线C1：y?x?1，曲线C2：。 x2?(y?r)2?r2（r?0）

（1）求曲线C1与曲线C2间的距离f(r)的表达式； （2）若关于r的方程f(r)?m有解，求m的取值范围。

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2015年常德芷兰实验学校高一数学竞赛试题解答

一、选择题：BCDCA DACBB

二、填空题：11、x?2k?1(k?Z)；12、三、解答题：本大题共3小题，共51分．

12；13、{,1,3}；14、①③；15、2013或2017

34??????16解：⑴f(x)?sin2x?23sinxcosx?sin?x??sin?x??

4??4???1?cosx222??22? ??3sinx2?sxin?xcosxs?inx????2??2?cos222??????11??3sin2x?cos2x??2sin?2x???．???????4分

6?22?所以f(x)的最小正周期T??；???????5分 ?????35?由?1?sin?2x???1，得f(x)的值域为??,?．???????7分

6???22???1??1??⑵f(x)?2sin?2x???，由题设知f(x0)?0?sin?2x0????，???????8分

6?26?4??由0?x0??2???6?2x0??6???5????，结合sin?2x0???0知??2x0??0，

6?666???15?可得cos?2x0???．???????10分

6?4???????????????sin2x0?sin??2x0?????sin?2x0??cos?cos?2x0??sin

6?66?66?6?????1315115?3??????，???????13分

4242815?3115?3?2?1?????????15分 ?f(x0?)?2sin2x0??2?82412217解：(1)由正弦定理得(2sin A－sin C)cos B－sin Bcos C＝0， 即2sin Acos B－sin Ccos B－sin Bcos C＝0，

得2sin Acos B－sin(B＋C)＝0，因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA， 得2sin Acos B－sin A＝0，

1π

因为sin A≠0，所以cos B＝，又B为三角形的内角，所以B＝.???????8分

23

πab3

(2)由b＝3，B＝及正弦定理得＝＝＝2，

3sin Asin B322π??2π2π

－x0

2π?π

－x＝23sin?x＋?＋3，???????13分 于是y＝a＋b＋c＝3＋2sin x＋2sin??3??6?2πππ5ππππ

由0

3666623

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18解：（1）曲线C2表示以A(0，r)为圆心，r为半径的圆。 设P(t，t2?1)为曲线C1：y?x2?1上任意一点。 则PA2?t2?(t2?1?r)2?t4?(2r?1)t2?(r?1)2?(t2?2r?1时，PA222r?124r?3)?。 242由于r?0，所以当t?有最小值

4r?3。 4∴ PA的最小值为4r?3。???????4分 2当34r?3?r，即r?时，f(r)?0。???????7分

2234r?34r?3?r，即0?r?时，f(r)??r。

222当???∴ f(r)?????0r?324r?33?r0?r?22。???????9分

（2）问题等价于求函数f(r)的值域。

3tt2?31131??t2?t???(t?1)2?1， 法一：当0?r?时，设4r?3?t，则y??2244244其中，3?t?3，由二次函数的图象知y?(0，

33)，又r?时，y?0

22?3?综上所述，f(r)的值域为?0，?。

?2?? ∴ m的取值范围为?0，??3?。 ??????? 15分 ??2?法二：设0?r1?r2?3，则r1?r2?0，2?(4r1?3?4r2?3)?0。 24r1?34r2?3(4r1?3)?(4r2?3)?r1??r2??(r1?r2) ∴ f(r1)?f(r2)?222(4r1?3?4r2?3)第5页

?2?(4r1?3?4r2?3)4r1?3?4r2?3?(r1?r2)?0

3232∴ f(r1)?f(r2)，f(r)在区间(0，)上为减函数，r?(0，)时，f(r)的值域为(0，3 )。2又r??33?时，f(r)?0。因此，f(r)的值域为?0，?。

?22?? ∴ m的取值范围为??0，3??2??。 ????????第6页

15分

?2?(4r1?3?4r2?3)4r1?3?4r2?3?(r1?r2)?0

3232∴ f(r1)?f(r2)，f(r)在区间(0，)上为减函数，r?(0，)时，f(r)的值域为(0，3 )。2又r??33?时，f(r)?0。因此，f(r)的值域为?0，?。

?22?? ∴ m的取值范围为??0，3??2??。 ????????第6页

15分

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