小学奥数举一反三(六年级40讲全新排版)

目录

第1讲定义新运算 (1)

第2讲简便运算（一） (2)

第3讲简便运算（二） (4)

第4讲简便运算（三） (5)

第5讲简便运算（四） (8)

第6讲转化单位“1”（一） (10)

第7讲转化单位“1”（二） (11)

第8讲转化单位“1”（三） (13)

第9讲设数法解题 (15)

第10讲假设法解题（一） (17)

第11讲假设法解题（二） (18)

第12讲倒推法解题 (20)

第13讲代数法解题 (22)

第14讲比的应用（一） (24)

第15讲比的应用（二） (26)

第16讲用“组合法”解工程问题 (29)

第17讲浓度问题 (31)

第18讲面积计算（一） (33)

第19讲面积计算（二） (36)

第20讲面积计算 (38)

第21周抓“不变量”解题 (41)

第22周特殊工程问题 (44)

第23周周期工程问题 (47)

第24周比较大小 (53)

第25周最大最小问题 (57)

第26周乘法和加法原理 (60)

第27周表面积与体积（一） (62)

第28周表面积与体积（二） (66)

第29周抽屉原理（一） (70)

第30周抽屉原理（二） (73)

第31周逻辑推理（一） (76)

第32周逻辑推理（二） (80)

第33周行程问题（一） (83)

第34周行程问题（二） (86)

第35周行程问题（三） (91)

第36周流水行船问题 (94)

第37周对策问题 (96)

第38周应用同余问题 (98)

第39周“牛吃草”问题 (100)

第40周不定方程 (103)

-1- 第1讲 定义新运算

一、知识要点

定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。

定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

二、精讲精练

【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*

（5*4）。 【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a

和b 两数之和加上两数之差。这里的“*”就代表一种新运算。在定义新运算中同样规定了要先算小括号里

的。因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。

练习1：

1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。

2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4

△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。在这里“△”是新的运算符号。

练习2： 1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。 2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。求30△（5△3）。 3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。 【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，

3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此

练习3： 1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。

2．规定， ，那么8*5=________。

3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。

【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A ，那么，A 是几？

【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a －1）×a ×（a ＋1），据此，可以求出1/⑥－1/⑦

=1/

-2-

（5×6×7）－1/（6×7×8），这里的分母都比较大， 不易直接求出结果。根据1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A ，可 得出A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。即

练习4：

1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A ，那么A=________。

2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。

3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝________。 【例题5】设a ⊙b=4a －2b+1/2ab,求z ⊙（4⊙1）＝34中的未知数x 。

【思路导航】先求出小括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根据x ⊙16＝4x －2×16+1/2×x ×16 = 12x －32，然后解方程12x －32 = 34，求出x 的值。列算式为

练习5：

1．设a ⊙b=3a －2b ，已知x ⊙（4⊙1）＝7求x 。 2．对两个整数a 和b 定义新运算“△”：a △

b=

，求6△4+9△8。

3．对任意两个整数x 和y 定于新运算，“*”：x*y ＝ （其中m 是一个确定的整数）。如果1*2

＝1，那么3*12＝________。

第2讲 简便运算（一）

一、知识要点

根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一些较复杂的四则

混合运算化繁为简，化难为易。

二、精讲精练

【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）

【思路导航】先去掉小括号，使4.75和8.25相加凑整，再运用减法的性质：a －b －c = a －（b ＋c ），

使运算过程简便。所以

原式＝4.75+8.25－9.63－1.37 ＝13－（9.63+1.37） ＝13－11 ＝

2

练习1：计算下面各题。

1．6.73－2 又8/17+（3.27－1又9/17）

2. 7又5/9－（

3.8+1又5/9）－1又1/5

3. 1

4.15－（7又7/8－6又17/20）－2.125

4. 13又7/13－（4又1/4+3又7/13）－0.75

【例题2】计算333387又1/2×79+790×66661又1/4

【思路导航】可把分数化成小数后，利用积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25

＝33338.75×790+790×66661.25

＝（33338.75+66661.25）×790

＝100000×790

＝79000000

练习2：计算下面各题：

1. 3.5×1又1/4+125％+1又1/2÷4/5

2. 975×0.25+9又3/4×76－9.75

3. 9又2/5×425+

4.25÷1/60

4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7

【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3

【思路导航】此题表面看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2×30。这样一转化，就可以运用乘法分配律了。所以

原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3

＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3）

＝1.2×（32.7+67.3）

＝1.2×100

＝120

练习3：计算：

1. 45×

2.08+1.5×37.6

2. 52×11.1+2.6×778

3. 48×1.08+1.2×56.8

4. 72×2.09－1.8×73.6

【例题4】计算：3又3/5×25又2/5＋37.9×6又2/5

【思路导航】虽然3又3/5与6又2/5的和为10，但是与它们相乘的另一个因数不同，因此，我们不

难想到把37.9分成25.4和12.5两部分。当出现12.5×6.4时，我们又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就

简便多了。所以

原式＝3又3/5×25又2/5＋（25.4+12.5）×6.4

＝3又3/5×25又2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4

＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8

＝254＋80

＝334

练习4：

计算下面各题：

1．6.8×16.8＋19.3×3.2

2．139×137/138＋137×1/138

3．4.4×57.8＋45.3×5.6

-3-

【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5

【思路导航】先分组提取公因数，再第二次提取公因数，使计算简便。所以

原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5

＝81.5×67.6＋67.6×18.5

＝（81.5＋18.5）×67.6

＝100×67.6

＝6760

练习5：

1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5

2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3

3．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5

第3讲简便运算（二）

一、知识要点

计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大。

二、精讲精练

【例题1】计算：1234＋2341＋3412＋4123

【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，且4个数字在每个数位上各出现一次，于是有

原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111

＝（1＋2＋3＋4）×1111

＝10×1111

＝11110

练习1：

1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345

2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567

3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68

【例题2】计算：2又4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28

【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘法分配律来简算。所以

原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2

＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8×7.2

＝2.8×88.8＋88.8×7.2

＝88.8×（2.8＋7.2）

＝88.8×10

＝888

练习2：计算下面各题：

1．99999×77778＋33333×66666

2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45

3．77×13＋255×999＋510

-4-

【例题3】计算（1993×1994－1）/（1993＋1992×1994）

【思路导航】仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为1992＋1）

×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简

化运算。所以

原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994）

＝（1992×1994＋1994－1）/（1993＋1992×1994）

＝1

练习3：计算下面各题：

1．（362＋548×361）/（362×548－186）

2．（1988＋1989×1987）/（1988×1989－1）

3．（204＋584×1991）/（1992×584―380）―1/143

【例题4】有一串数1，4，9，16，25，36…….它们是按一定的规律排列的，那么其中第2000个数

与2001个数相差多少？

【思路导航】这串数中第2000个数是20002，而第2001个数是20012，它们相差：20012－20002，

即

20012－20002

＝2001×2000－20002＋2001

＝2000×（2001－2000）＋2001

＝2000＋2001

＝4001

练习4：计算：

1．19912－19902 2．99992＋19999 3．999×274＋6274

【例题5】计算：（9又2/7＋7又2/9）÷（5/7＋5/9）

【思路导航】在本题中，被除数提取公因数65，除数提取公因数5，再把1/7与1/9的和作为一个数

来参与运算，会使计算简便得多。

原式＝（65/7＋65/9）÷（5/7＋5/9）

＝【65×（1/7＋1/9）】÷【5×（1/7＋1/9）】

＝65÷5

＝13

练习5：

计算下面各题：

1．（8/9＋1又3/7＋6/11）÷（3/11＋5/7＋4/9）

2．（3又7/11＋1又12/13）÷（1又5/11＋10/13）

3．（96又63/73＋36又24/25）÷（32又21/73＋12又8/25）

第4讲简便运算（三）

一、知识要点

在进行分数运算时，除了牢记运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号和数字特点，合

理地把参加运算的数拆开或者合并进行重新组合，使其变成符合运算定律的模式，以便于口算，从而简化

运算。

-5-

-6- 二、精讲精练

【例题1】

计算：（1）4445 ×37 （2） 27×1526

（1） 原式＝（1－145 ）×37 ＝1×37－145 ×37

＝37－3745

＝36845

练习1

用简便方法计算下面各题：

1. 1415 ×8

2. 225 ×126

3. 35×1136

4. 73×7475

5. 19971998 ×1999 【例题2】

计算：73115 ×18

原式＝（72+1615 ）×18

＝72×18 +1615 ×18

＝9+215

＝9215

练习2

计算下面各题：

1. 64117 ×19

2. 22120 ×121

3. 17 ×5716

4. 4113 ×34 +5114 ×45 【例题3】

计算：15 ×27+35 ×41

原式＝35 ×9+35 ×41

＝35 ×（9+41）

＝35 ×50

＝30

（2） 原式＝（26+1）×1526

＝26×1526 +1526 ＝15+1526 ＝151526

-7-

练习3

计算下面各题：

1. 14 ×39+34 ×27

2. 16 ×35+56 ×17

3. 18 ×5+58 ×5+1

8 ×10

【例题4】

计算：56 ×113 +59 ×213 +518 ×613

原式＝16 ×513 +29 ×513 +618 ×513

＝（16 +29 +618 ）×513

＝1318 ×513 ＝

518

练习4

计算下面各题： 1．

117 ×49 +517 ×19 2. 17 ×34 +37 ×16 +67 ×112

3．59 ×791617 +50×19 +19 ×517 4. 517 ×38 +115 ×716 +115 ×312 【例题5】

计算：（1）166120 ÷41 （2） 1998÷199819981999

解： （1）原式＝（164+21

20 ）÷41

＝164÷41+41

20 ÷41

＝4+120

＝4120

练习5

计算下面各题：

1. 5425 ÷17

2. 238÷238238239

3. 163113 ÷411

39

（2）原式＝1998÷

1998×1999+1998

1999

＝1998÷

1998×2000

1999

＝1998×

1999

1998×2000

＝

1999

2000

第5讲简便运算（四）

一、知识要点

前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算。

运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如1

a×(a+1)

的分数可以拆成1

a－

1

a+1；形如

1

a×（a+n）

的分数可以拆成

1

n×（

1

a－

1

a+n），形如

a+b

a×b

的分数可以拆

成1

a+

1

b等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。

二、精讲精练

【例题1】

计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…..+

1

99×100

原式＝（1－

1

2）+（

1

2－

1

3）+（

1

3－

1

4）+…..+ （

1

99－

1

100）＝1－

1

2+

1

2－

1

3+

1

3－

1

4+…..+

1

99－

1

100

＝1－

1

100

＝

99

100

练习1

计算下面各题：

1.

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…..+

1

39×40

2.

1

10×11

+

1

11×12

+

1

12×13

+

1

13×14

+

1

14×15

3.

1

2+

1

6+

1

12+

1

20+

1

30+

1

42

4. 1－

1

6+

1

42+

1

56+

1

72

【例题2】

计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…..+

1

48×50

原式＝（

2

2×4

+

2

4×6

+

2

6×8

+…..+

2

48×50

）×

1

2

＝【（

1

2－

1

4）+（

1

4－

1

6）+（

1

6－

1

8）…..+ （

1

48－

1

50）】×

1

2＝【

1

2－

1

50】×

1

2

＝

6

25

-8-

-9- 练习2

计算下面各题：

1.1

3×5 +1

5×7 +1

7×9 +…..+ 1

97×99 2.1

1×4 +1

4×7 +1

7×10 +…..+ 1

97×100

3.1

1×5 +15×9 +19×13 +…..+ 133×37 4.14 +128 +170 +1130 +1208

【例题3】

计算：113 －712 +920 －1130 +1342 －1556

原式＝113 －（13 +14 ）+（14 +15 ）－（15 +16 ）+（16 +17 ）－（17 +18 ）

＝113 －13 －14 +14 +15 －15 －16 +16 +17 －17 －18

＝1－18

＝78

练习3

计算下面各题：

1.112 +56 －712 +920 －1130

2.114 －920 +1130 －1342 +1556

3.1998

1×2 +1998

2×3 +19983×4 + 19984×5 +1998

5×6

4.6×712 －920 ×6+ 1130 ×6

【例题4】

计算：12 +14 +18 +116 +132 +164

原式＝（12 +14 +18 +116 +132 +164 +164 ）－164

＝1－164

＝6364

练习4

计算下面各题：

1. 12 +14 +18 +………+1256

2. 23 +29 +227 +281 +2243

3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

【例题5】

计算：（1+12 +13 +14 ）×（12 +13 +14 +15 ）－（1+12 +13 +14 +15 ）×（12 +13 +14 ）

设1+12 +13 +14 ＝a 12 +13 +14 ＝b

-10- 原式＝a ×（b+15 ）－（a+15

）×b ＝ab+15 a －ab －15

b ＝15

（a －b ） ＝15

练习5

1.（12 +13 +14 +15 ）×（13 +14 +15 +16 ）－（12 +13 +14 +15 +16 ）×（13 +14 +15

） 2.（18 +19 +110 +111 ）×（19 +110 +111 +112 ）－（18 +19 +110 +111 +112 ）×（19 +110 +111

） 3.（1+11999 +12000 +12001 ）×（11999 +12000 +12001 +12002 ）－（1+11999 +12000 +12001 +12002

）×（11999 +12000 +12001

）

第6讲 转化单位“1”（一）

一、知识要点

把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。

如果甲是乙的a/b ，乙是丙的c/d ，则甲是丙的ac/bd ；如果甲是乙的a/b ，则乙是甲的b/a ；如果甲的a/b 等于乙的c/d ，则甲是乙的c/d ÷a/b ＝bc/ad ，乙是甲的a/b ÷a/b ＝ad/bc 。

二、精讲精练

【例题1】乙数是甲数的2/3，丙数是乙数的4/5，丙数是甲数的几分之几？

2/3×4/5＝8/15

练习1：

1．乙数是甲数的3/4，丙数是乙数的3/5，丙数是甲数的几分之几？

2．一根管子，第一次截去全长的1/4，第二次截去余下的1/2，两次共截去全长的几分之几？

3．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的1/4。想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？

【例题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的1/4，第二周修的相当于第一周的4/5，第二周修了多少米？

解一：8000×1/4×4/5＝1600（米）

解二：8000×（1/4×4/5）＝1600（米）

答：第二周修了1600米。

练习2：用两种方法解答下面各题：

1．一堆黄沙30吨，第一次用去总数的1/5，第二次用去的是第一次的1又1/4倍，第二次用去黄沙多少吨？

2．大象可活80年，马的寿命是大象的1/2，长颈鹿的寿命是马的7/8，长颈鹿可活多少年？

3．仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的1/5，第二次取出余下的1/3，第二次取出多少吨？

【例题3】晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了余下的2/5，第二天比第一天多

看了15页，这本书共有多少页？

解：15÷【（1－1/4）×2/5－1/4】＝300（页）

答：这本书有300页。

练习3：

1．有一批货物，第一天运了这批货物的1/4，第二天运的是第一天的3/5，还剩90吨没有运。这批货

物有多少吨？

2．修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的1/4，第二天修了余下的2/3，已知这两天共修

路1200米，这条公路全长多少米？

3．加工一批零件，甲先加工了这批零件的2/5，接着乙加工了余下的4/9。已知乙加工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？

【例题4】男生人数是女生人数的4/5，女生人数是男生人数的几分之几？

解：把女生人数看作单位“1”。1÷4/5＝5/4

把男生人数看作单位“1”。5÷4＝5/4

练习4：

1．停车场里有小汽车的辆数是大汽车的3/4，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？

2．如果山羊的只数是绵羊的6/7，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？

3．如果花布的单价是白布的1又3/5倍，则白布的单价是花布的几分之几？

【例题5】甲数的1/3等于乙数的1/4，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？

解：1/4÷1/3＝3/4 1/3÷1/4＝1又1/3

答：甲数是乙数的3/4，乙数是甲数的1又1/3。

练习5：

1．甲数的3/4于乙数的2/5，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？

2．甲数的1又2/3倍等于乙数的5/6，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？

3．甲数是丙数的3/4，乙数是丙数的2/5，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？（想一想：这题与第一题有什么不同？）

第7讲转化单位“1”（二）

一、知识要点

我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我们的解题思路，提高

我们的思维能力。

二、精讲精练

【例题1】甲数是乙数的2/3，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？

解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的3/4×2/3＝1/2，

丙：216÷（1+3/4+3/4×2/3）＝96 乙：96×3/4＝72 甲：72×2/3＝48

解法二：可将“乙数是丙数的3/4”转化成“丙数是乙数的4/3”，把乙数看作单位“1”。乙：216÷

（2/3+1+4/3）＝72 甲：72×2/3＝48 丙：72÷3/4＝96

解法三：将条件“甲数是乙数的2/3”转化为“乙数是甲数的3/2”，再将条件“乙数是丙数的3/4”转

化为“丙数是乙数的4/3”，以甲数为单位“1”。

-11-

甲：216÷（1+3/2+3/2×4/3）＝48 乙：48×3/2＝72 丙：72×4/3＝96

答：甲数是48，乙数是72，丙数是96。

练习1：下面各题怎样计算简便就怎样计算：

1．甲数是乙数的5/6，乙数是丙数的3/4，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？

2．橘子的千克数是苹果的2/3，香蕉的千克数是橘子的1/2，香蕉和苹果共有220千克，橘子有多少千克？

3．某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的9/10，初二的学生数是初三学生数的1又1/4倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？

【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的3/5等于黄气球的2/3，蓝气球有24只，红气球和黄气球各有多少只？

解法一：将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“黄气球的只数是红气球的（3/5÷2/3）＝9/10”。先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。

红气球：（62－24）÷（1+3/5÷2/3）＝20（只）黄气球：62－24－20＝18（只）

解法二：将条件“红气球的3/5等于黄气球的2/3”转化为“红气球的只数是黄气球的（2/3÷3/5）＝10/9”。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。

黄气球：（62－24）÷（1+2/3÷3/5）＝18（只）红气球：62－24－18＝20（只）

答：红气球有20只，黄气球有18只。

练习2：

1．甲数的2/3等于乙数的5/6，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？

2．今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的2/3正好是乙得奖金的4/7，甲、乙两人各得奖金多少元？

3．商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的1/4等于苹果重量的1/3，梨子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？

【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的2/5，甲校的女生数是甲校学生数的3/10，乙校的男生数是乙校学生数的21/50，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？

解法一：把乙校学生数看作单位“1”。【2/5×3/10+（1－21/50）】÷（1+2/5）＝1/2

解法二：把甲校学生数看作单位“1”。（5/2－5/2×2150+3/10）÷（1+5/2）＝1/2

答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的1/2。

练习3：

1．在一座城市中，中学生数是居民的1/5，大学生是中学生数的1/4，那么占大学生总数的2/5的理工科大学生是居民数的几分之几？

2．某人在一次选举中，需3/4的选票才能当选，计算2/3的选票后，他得到的选票已达到当选票数的5/6，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？

3．某校有3/5的学生是男生，男生的1/20想当医生，全校想当医生的学生的3/4是男生，那么全校女生的几分之几想当医生？

【例题4】仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走2/5，面粉运作1/10后，仓库里剩下大米和面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？

解法一：将大米的袋数看作单位“1”

（1－2/5）÷（1－1/10）＝2/3 2000÷（1+2/3）＝1200（袋）2000－1200＝800（袋）

解法二：将面粉的袋数看作单位“1”

（1－1/10）÷（1－2/5）＝3/2 2000÷（1+3/2）＝800（袋）2000－800＝1200（袋）

答：大米原有1200袋，面粉原有800袋。

练习4：

1．甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的2/3、乙完成自己的1/4时，两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？

2．一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二天卖出余下的2/7，第三、四天共卖出这批水果的-12-

一半，这批水果有多少千克？

3．甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他的任务的20％，乙减少他的任务的20％，

那么甲打的字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？

【例题5】400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20棵，每个女生植树15棵。除抽出25％的

男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？

解：20×（1－25％）×400

＝20×0.75×400

＝6000（棵）

答：共植树6000棵。

练习5：

1．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的1/3放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的1/3

放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？

2．师徒两人加工同样多的零件，师傅要10分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零件168个，如果

要在相同的时间内完成，两人各应加工零件多少个？

3．有5元和2元的人民币若干张，其金额之比为15：4。如果5元人民币减少6张，则两种人民币的

张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？

第8讲转化单位“1”（三）

一、知识要点

解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不变的量，把不变的量看作单位“1”，将已知条

件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几，再列式解答。

二、精讲精练

【例题1】有两筐梨。乙筐是甲筐的3/5，从甲筐取出5千克梨放入乙筐后，乙筐的梨是甲筐的7/9。甲、乙两筐梨共重多少千克？

解：5÷（5/（5+3）－9/（7+9））＝80（千克）

答：甲、乙两筐梨共重80千克。

练习1：

1．某小学低年级原有少先队员是非少先队员的1/3，后来又有39名同学加入少先队组织。这样，少

先队员的人数是非少先队员的7/8。低年级有学生多少人？

2．王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的1/19，后来从合格产品中又发现了2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？

3．某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男生，这时女生占总人

数的48％。现在有男生多少人？

【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的3/8。后来又买进20根长跳绳，这时长跳绳

的根数占长、短跳绳总数的7/12。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根？

解法一：根据短跳绳的根数没有变，我们把短跳绳看作单位“1”。可以得出原来的长跳绳根数占短跳

绳根数的3/（8-3），后来长跳绳是短跳绳的7/（12-7）。这样就找到了20根长跳绳相当于短跳绳的（7/（12-7）

-13-

－3/（8-3）），从而求出短跳绳的根数。再用短跳绳的根数除以（1－7/12）就可以求出这个学校现有跳绳的总数。即

20÷【7/（12-7）－3/（8-3）】÷（1－7/12）＝60（根）

解法二：把短跳绳看作单位“1”，原来的总数是短跳绳的8/（8-3），后来的总数是短跳绳的12/（12-7）。

所以20÷（12/（12-7）－8/（8-3））÷（1－7/12）＝60（根）

答：这个学校现有长、短跳绳的总数是60根。

练习2：

1．阅览室看书的同学中，女同学占3/5，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学中，女同学占4/7，原来阅览室一共有多少名同学在看书？

2．一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖后，奶糖只占25％，这堆糖中有奶糖多少千克？

3．数学课外兴趣小组，上学期男生占5/9，这学期增加21名女生后，男生就只占2/5了，这个小组现有女生多少人？

【例题3】有两段布，一段布长40米，另一段长30米，把两段布都用去同样长的一部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的3/5，每段布用去多少米？

解：40－（40－30）÷（1－3/5）＝15（米）

答：每段布用去15米。

练习3：

1．有两根塑料绳，一根长80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的2/7，两根绳各剪去多少米？

2．今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的5/12时，儿子多少岁？

3．仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓库里所剩的大米袋数时面粉的3/4，仓库里原有大米和面粉各多少袋？

4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队的1/2，乙队筑的路时其他三个队的1/3，丙队筑的路时其他三个队的1/4，丁队筑了多少米？

【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中黑白电视机占1/5，后来又运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又运进黑白电视机多少台？

解：630×（1－1/5）÷（1－30％）－630＝90（台）

答：又运进黑白电视机90台。

练习4：

1．书店运来科技书和文艺书共240包，科技书占1/6。后来又运来一批科技书，这时科技书占两种书总和的3/11，现在两种书各有多少包？

2．某市派出60名选手参加田径比赛，其中女选手占1/4，正式比赛时，有几名女选手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的2/11。问：正式参赛的女选手有多少人？

3．把12千克的盐溶解于120千克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水中含盐8％，要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？

4．东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨占水果总数的1/5；下午又运进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的2/5，下午运进梨多少千克？

【例题5】一堆煤，运走的比总数的2/5多120吨，剩下的比运走的5/6多60吨，这堆煤原有多少吨？

解：（120+120×5/6+60）÷（1―2/5―2/5×5/6）＝1050（吨）

答：这堆煤原有1050吨。

练习5：

1．修一条路，第一天修了全长的2/5多60米，第二天修的长度比第一天的3/4多35米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？

2．修一条路，第一天修了全长的2/5多60米，第二天修的长度比第一天的3/4少35米，这两天共修-14-

路420米，这条路全长多少米？

3．某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的2/5，第二天修了剩下部分的5/9又20米，第三天修的

是第一天的1/4又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？

第9讲设数法解题

一、知识要点

在小学数学竞赛中，常常会遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，但仔细分析就会

发现，题目中缺少的条件对于答案并无影响，这时就可以采用“设数代入法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然假设的这个数要尽量的方便计算），然后求出解答。

二、精讲精练

【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（）个△。

解：由第一个等式可以设△＝3，□＝2，代入第二式得☆＝5，再代入第三式左边是12，所以右边括

号内应填4。

说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。

练习1：

1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（）个○。

2．五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊矮5厘米，甲与

戊谁高，高几厘米？

3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运60吨到乙仓库，从乙仓库运45吨到丙仓库，

从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多？哪个最少？最多的比最少的多多少吨？

【例题2】足球门票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加1/5，问一张门票降价多少元？

【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件，实际上观众人数于答案无关，我们可以随便假设一

个观众数。为了方便，假设原来只有一个观众，收入为15元，那么降价后有两个观众，收入为15×（1+1/5）

＝18元，则降价后每张票价为18÷2＝9元，每张票降价15－9＝6元。即：

15－15×（1+1/5）÷2＝6（元）

答：每张票降价6元。

说明：如果设原来有a名观众，则每张票降价：

15－15a×（1+1/5）÷2a＝6（元）

练习2：

1．某班一次考试，平均分为70分，其中3/4及格，及格的同学平均分为80分，那么不及格的同学平

均分是多少分？

2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加了20％，小学生

占学生总数的40％，小学生增加百分之几？

3．五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生是全部男生的2/5，

全部女生人数占全年级人数的几分之几？

【例题3】小王在一个小山坡来回运动。先从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原路下山，每分钟

跑240米，又从原路上山，每分钟跑150米，再从原路下山，每分钟跑200米，求小王的平均速度。

【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200，设一个单程是1200米。则

（1）四个单程的和：1200×4＝4800（米）

（2）四个单程的时间分别是；

-15-

1200÷200＝6（分）

1200÷240＝5（分）

1200÷150＝8（分）

1200÷200＝6（分）

（3）小王的平均速度为：

4800÷（6+5+8+6）＝192（米）

答：小王的平均速度是每分钟192米。

练习3：

1．小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原路下山的平均速度。

2．张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时只行10千米，张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米？

3．小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米？

【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多1/5，女孩平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均身高是多少？

【思路导航】题中没有男、女孩的人数，我们可以假设女孩有5人，则男孩有6人。

（1）总身高：115×【5+5×（1+1/5）】＝1265（厘米）

（2）由于女孩平均身高是男孩的（1+10％），所以5个女孩的身高相当于5×（1+10％）＝5.5个男孩的身高，因此男孩的平均身高为：

1265÷【（1+10％）×5+6】＝110（厘米）

答：这个班男孩平均身高是110厘米。

练习4：

1．某班男生人数是女生的2/3，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为132厘米。问：女生平均身高是多少厘米？

2．某班男生人数是女生的4/5，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是130厘米，求男、女生的平均身高各是多少？

3．一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？

【例题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。

问狗再跑多远，马可以追到它？

【思路导航】马跑一步的距离不知道，跑3步的时间也不知道，可取具体数值，并不影响解题结果。

设马跑一步为7，则狗跑一步为4，再设马跑3步的时间为1，则狗跑5步的时间为1，推知狗的速度为20，马的速度为21。那么，

20×【30÷（21－20）】＝600（米）

练习5：

1．猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？

2．猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗可以追到它？

3．狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？

-16-

第10讲假设法解题（一）

一、知识要点

假设法解体的思考方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推算。有些题目用假

设法思考，能找到巧妙的解答思路。

运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另

一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据它与实际条件的矛盾求解。

二、精讲精练

【例题1】

甲、乙两数之和是185，已知甲数的1/4与乙数的1/5的和是42，求两数各是多少？

【思路导航】假设将题中“甲数的1/4”、“乙数的1/5”与“和为42”同时扩大4倍，则变成了“甲

数与乙数的4/5的和为168”，再用185减去168就是乙数的1/5。

解：乙：（185－42×4）÷（1－1/5×4）＝85

答：甲数是100，乙数是85。

练习1：

1．甲、乙两人共有钱150元，甲的1/2与乙的1/10的钱数和是35元，求甲、乙两人各有多少元钱？

2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的1/7，乙队人数的1/3，共抽调78人，甲、乙两个

消防队原来各有多少人？

3．海洋化肥厂计划第二季度生产一批化肥，已知四月份完成总数的1/3多50吨，五月份完成总数的

2/5少70吨，还有420吨没完成，第二季度原计划生产多少吨？

【例题2】

彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩色电视机卖出1/9，则比黑白电视机多5台。问：两种电

视机原来各有多少台？

【思路导航】从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出1/9后剩下的一样多。

黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1－1/9）＝8/9。

（250+5）÷（1+1－1/9）＝135（台）

250－125＝115（台）

答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。

练习2：

1．姐妹俩养兔120只，如果姐姐卖掉1/7，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多少只兔？

2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出1/3后，比足球少1个，原来篮球和足球各有多少个？

3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉1/20，还比鸭多17只，小明家原来养的鸡和鸭各有

多少只？

【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个，已知师傅加工零件个数的3/8与徒弟加工零件个数的

4/7的和为49个，师、徒各加工零件多少个？

【思路导航】假设师、徒两人都完成了4/7，一个能完成（105×4/7）＝60个，和实际相差（60－49）

＝11个，这11个就是师傅完成将零件的3/8与完成加工零件的4/7相差的个数。这样就可以求出师傅加工

了【11÷（4/7－3/8）】＝56个。即：

师傅：（105×4/7－49）÷（4/7－3/8）＝56（个）

徒弟：105－56＝49（个）

答：师傅加工了56个，徒弟加工了49个。

练习3：

1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的2/5和黑白电视机的3/7，共卖出

57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？

2．甲、乙两个消防队共有336人，抽调甲队人数的5/7、乙队人数的3/7，共抽调188人参加灭火。

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问：甲、乙两个消防队原来各有多少人？

3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的1/4和足球个数的1/3后，还剩下46个，买来排球和足球各是多少个？

【例题4】甲、乙两数的和是300，甲数的2/5比乙数的1/4多55，甲、乙两数各是多少？

【思路导航】甲数的2/5与乙数的2/5的和就是甲、乙两数的2/5，是300×2/5＝120，因为甲数的2/5比乙数的1/4多55，所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的1/4与乙数的2/5的和。

乙：（300×2/5－55）÷（2/5+1/4）＝100

甲：300－100＝200

答：甲数是200，乙数是100。

练习4：

1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的2/5比绵羊的1/2多50只，这个畜牧场有山羊、绵羊各多少只？

2．师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的5/8比徒弟加工零件个数的2/3多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？

3．某校六年级甲、乙两个班共种100棵树，乙班种的1/10比甲班种的1/3少16棵，两个班各种多少棵？

【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加1/6，女学生减少1/5，共有710人，本学期男、女学生各有多少人？

【思路导航】假设本学期女学生不是减少1/5，而是增加1/6，半学期应该有750×（1+1/6）＝875人，比实际多875－710＝165人，这165人是假设女学生也增加1/6多出的人数，而实际女学生减少1/5，所以，这165人对应着女学生的（1/5+1/6）＝11/30。

上学期女生：【750×（1+1/6）－710】÷（1/5+1/6）＝450（人）

本学期女生：450×（1－1/5）＝360（人）

本学期男生：710－360＝350（人）

答：本学期男学生有350人，女学生有360人。

练习5：

1．金放在水里称，重量减轻1/19，银放在水里称，重量减少1/10，一块重770克的金银合金，放在水里称是720克，这块合金含金、银各多少克？

2．某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中招的新生比去年增加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？

3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加3/8，黄球减少2/5后，红球与黄球的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？

第11讲假设法解题（二）

一、知识要点

已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系，要求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。

应用题中的变倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数量关系比较复杂，但解答时的关键仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化前后的相差数相当于单位“1”的

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几分之几，从而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎刃而解了。

二、精讲精练

【例题1】两根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的长度是第二根剩

下的长度的5倍，第二根原来有多少米？

【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第二根剩下长度的3倍，而

事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的长度的（5－3）＝2倍。

（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）

答：第二根原来有12米。

练习1：

1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书的本数是王阳的

10倍，两人原来各有书多少本？

2．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，小学增加400棵，

则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？

3．两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩下的重量是第二

堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？

【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本4.40元的故事

书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？

【思路导航】假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地花去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱

的3倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15.20元就对应着陈

刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。

【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）

答：陈刚原来有零花钱7.44元。

练习2：

1．甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则甲书架上的书是

乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？

2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加了20人，牛庄

小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有

学生多少人？

3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球，

若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？

【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的1/2，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚的2/3，两人原来

各有彩笔多少枝？

【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的1/2，则小红只需买（5×1/2）＝2又1/2枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2又1/2＝2又1/2 枝。将小刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红

多买了2又1/2 ，相当于（2/3－1/2）＝1/6。

小刚原来：（5－5×1/2）÷（2/3－1/2）－5＝10（枝）

小红原来：10×1/2＝5（枝）

答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。

练习3：

1．小华今年的年龄是爸爸年龄的1/6，四年后小华的年龄是爸爸的1/4，求小华和爸爸今年的年龄各

是多少岁？

2．小红今年的年龄是妈妈的3/8，10年后小红的年龄是妈妈的1/2，小红今年多少岁？

3．甲书架上的书是乙书架上的5/7，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的书是乙书架上的

4/5，甲、乙两各书架原来各有多少本书？

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