2012届烟台二模数学文科试题及答案

山东省烟台市2012高三第二次模拟考试

数学（文科）

本试题满分150分，考试时间为120分钟．

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

x(x?2)?1, 1．设全集U?R,A?x2??B??xy?ln(1?x)?，则图中阴影部分表示的集合为

A．{x|x?1} B.{x|1?x?2} C．{x|0?x?1} D．{x|x?1} 2.复数

i

(i是虚数单位)的虚部是 1?2i

111A．i B． ?i C．

555

D．?1 53. 下列函数中，既是偶函数又在?0,???上单调递增的是

1 C. y?lnx D. y?cosx 2x4．m??1是直线mx?(2m?1)y?1?0和直线3x?my?3?0垂直的

A. y?x3 B. y? A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出 了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在?50,60?元的同学有30人，则n的值为 A．90 B.100

C．900 D.1000

20 30 40 50 60 元 0.036 0.024 0.01 频率 组距 x2y226．双曲线2?2＝1（a?0,b?0)的焦距为4，一个顶点是抛物线的y?4x的焦点，则双曲线的离心

ab率e等于

A．3 B．2 C．2 D．A.若m??,n??，m//?，n//?，则?//? B.若m??,n??，l?m,l?n，则l?? C.若???,m??,n??，则m?n； D. 若m??,m//n，则n??

8．如图所示的流程图中，输出的结果是

A．5 B．20 C．60 D．120 9．函数y?cos2x的图像可以看作由

a=5，s=1 S=S×a a=a－1 a≥2 否 输出s 第1页

3 27．已知直线m、n、l不重合，平面?、?不重合，下列命题正确的是

开始 是 结束 y?

3cos2x?sinxcosx的图像（ ）得到 2??个单位长度 B．向右平移个单位长度 1212??C．向左平移单位长度 D．向右平移单位长度

66?x?1?10．已知实数x，y满足约束条件?y?2则z?2x?y的取值范围是

?x?y?0?A．向左平移

’

A．[0，1]

B．[1，2] C．[1，3]

xD．[0，2]

11.已知x0是函数f(x)?2?1的一个零点.若 x1?(1,x0)，x2?(x0,??），则 1?xA．f(x1)?0,f(x2)?0 B．f(x1)?0，f(x2)?0 C．f(x1)?0，f(x2)?0 D． f(x1)?0，f(x2)?0 12．函数y?y y y

x O x O x O

A .本大题共有4个小题，每小题B 二、填空题4分，共C 16分. 把正确答案填在答题卡的相应位置.

cosx的图像大致是 exy O D

x ????????13．已知直线l:x?2y?k?1?0被圆C:x?y?4所截得的弦AB的长为2，则OA?OB的值为

2214. 对于函数f(x)，在使f(x)?M成立的所有常数M中，我们把M的最大值称为f(x)的＂下确界＂，

则函数f(x)?1?4x?15,x?(??,)的＂下确界＂等于 5?4x4x2y2??1的15．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4，0)，顶点B在双曲线97右支上，则

sinC?sinA等于

sinB1VS?ABC的概216．已知正三棱锥S?ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P,使得VP?ABC?率是

三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 17. （本小题满分12分）

已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量m?(?1,1)，

第2页

n?(cosBcosC,sinBsinC?（1）求A的大小；

3)，且m?n. 2（2）若a?1， B?45?，求?ABC的面积. 18．（本小题满分12分）

设数列?an?满足条件:a1?8,a2?0,a3??7,且数列?an?1?an?(n?N*)是等差数列. (1)设cn?an?1?an,求数列?cn?的通项公式； (2)若bn?2?cn, 求Sn?b1?b2???bn. 19.（本小题满分12分）

已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D是这个几何体的棱的中点.

（1）求出该几何体的体积；

（2）求证：直线BC1//平面AB1D； (3)求证:平面AB1D?平面AA1D.

20．（本小题满分12分）

调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：

女生（人） 男生（人） 偏瘦 100 x 正常 173 177 肥胖 y _ 3nC1 D A1 B1 B1

视图

C A1C1A B

图1

_ 3图2z 已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15. （1）求x的值；

（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？ （3）已知y?193，z?193，肥胖学生中男生不少于女生的概率.

21．（本小题满分12分）

1x2y2已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的离心率e?，且经过点A(2 , 3)．

2ab（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线AO（O是坐标原点）与椭圆C相交于点B，试证明在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使AP?AB?BP（不需要求出点P的坐标）． 22.（本小题满分14分）

已知函数f(x)?lnx?ax?2221?a?1(a?R)． x（1）当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

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（2）当a?

1时，讨论f(x)的单调性. 2数学（文）参考答案及评分标准

一. 选择题: BCCAB CDDAD BA 二. 填空题: 13.2 14. ?2 15. 三. 解答题

17.解：（1）?m?n，??cosBcosC?sinBsinC?37 16. 483?0. …2分 2即：cosBcosC?sinBsinC??33，?cos(B?C)??. …4分 22因为A?B?C??，所以cos(B?C)??cosA,

所以cosA?3,A?30?. ………………6分 2第4页

（2）因为A?30?,a?1,B?45?,C?105?,

又sin105??sin(45??60?)?sin45?cos60??cos45?sin60??6?24, c?asinC1?sin105?由正弦定理6?2sinA?sin30??2. …………10分 所以S12acsinB?12?1?6?223?1?ABC?2?2?4. ………12分 18．解：(1)??an?1?an?为等差数列,cn?an?1?an,??cn?为等差数列, 首项c1?a2?a1??8,c2?a3?a2??7，

公差d?c2?c1??7?(?8)?1,

?cn?c1?(n?1)d??8?(n?1)?1?n?9. ????5分 (2)bn?(n?9)?2n ，

Sn?(?8)?21?(?7)?22???(n?9)?2n， 2Sn?(?8)?22?(?7)?23???(n?9)?2n?1，

相减得：?Snn?(?8)?21?22?23???2?(n?9)?2n?1，

?Sn?(?9)?21?[21?22?23???2n]?(n?9)?2n?1,

?Sn?20?(n?10)?2n?1.

????12分

19、 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高h?3，分

（1）底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，所以

C1

面积s?12?2?3?3，

AD 1 B1

所求体积V?sh?33. ?????4分

O （2）连接A1B，且A1B?AB1?O，?正三棱柱侧面是矩形， C ∴点O是棱A1B的中点 , ??6分

A B

因为D为棱A1C1的中点.连接DO，

?DO是?A1BC1的中位?BC1//DO,又DO?平面AB1D，BC1?平面AB1D，

第5页

??2底面

线，

?BC1//平面AB1D. ?????8分

(3) 在正三棱柱ABC?A1B1C1中，三角形 A1B1C1为正三角形，?B1D?A1C1.，又由正三棱柱性质知平面A1B1C1?平面ACC1A1,

且平面A1BC11?平面ACC1A1?AC11,

B1D?平面A1B1C1，?B1D?平面AA1D, ????10分 又B1D?平面AB1D,?平面AB1D?平面AA1D. ???12分

20．解：（1）由题意可知，

x?0.15，∴x＝150（人）. ?3分 1000（2）由题意可知，肥胖学生人数为y?z?400（人）.

设应在肥胖学生中抽取m人，则

m50?，∴m?20（人） 4001000所以应在肥胖学生中抽20名. ?????7分

93，z?193，（3）由题意可知， y?z?400，且y?1满足条件的（193，207），（194，206），?，（y,z)有

（207，193），共有15组.

设事件A为“肥胖学生中男生不少于女生”，即y?z，满足条件的（193，207），（194，206），?，（y,z)有（200，200），共有8组，所以 P(A)?8. 158. ????12分 15即肥胖学生中女生少于男生的概率为

ca2?b2121.解：（1）依题意，e???,

aa2322从而b?a,

449点A(2 , 3)在椭圆上，所以2?2?1,

ab解得a?16，b?12, ???4分

22x2y2??1. ???5分 椭圆C的方程为

16122220（2）由AP?AB?BP得?ABP?90，AB?BP. ?7分

由椭圆的对称性知，B(?2 , ?3), 由AB?BP，kAB?32知kBP??, 23第6页

所以直线BP的方程为y?3??2(x?2)， 3即2x?3y?13?0. ???9分

?x2y2?1??由 ?1612

?2x?3y?13?0?得43y2?234y?315?0,

??2342?4?43?315?0, ???11分

所以直线BP与椭圆C有两个不同的交点，即在椭圆C上存在不同于A、B的点P，使

AP2?AB2?BP2. ???12分

1,x?(0,??). 22.解：（1）当a??1时，f(x)?lnx?x?－?f?(x）?12?1?2, ?f(2)?ln2?2, f?(2)?1, xx2x?曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?x?ln2. ?4分

（2）因为f(x)?lnx?ax?1?a?1， x1a?1ax2?x?1?a所以f'(x)??a?2?? x?(0,??)， 2xxx令g(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??), ????6分 （Ⅰ）当a?0时，g(x)?－x?1, x?(0,??),

所以当x?(0,1)时g(x)?0，此时f?(x)?0，函数f(x)单调递减， 当x?(1,??)时g(x)?0,此时f?(x)?0，函数f(x)单调递增. ?8分

（Ⅱ）当a?0时，由f?(x)?0， 解得：x1?1,x2?①若a?1?1, a1时, f?(x)?0, 所以函数f(x)在(0,+?)上单调递减; ?9分 2111??)单调递减，在②若0?a?时，由f?(x)?0得, x?1或x??1,所以函数f(x)在(0,1), (－1，a2a1(1, －1)上单调递增; ???11分

a1③ 当a?0时，由于?1?0,由f?(x)?0得, 0?x?1,

a?x?(0,1)时, 函数f(x)递减；x?(1,??)时, 函数f(x)递增. ?13分

综上所述：

第7页

当a?0 时，函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,??)上单调递增;

1时,函数f(x)在(0,+?)上单调递减; 2111??)上单调递减,在(1, －1)上单调递当0?a?时，函数f(x)在(0,1), (－1，2aa当a?增. ??14分

第8页

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